江苏专用版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何91直线的方程教师用书文苏教版Word文档下载推荐.docx

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斜截式

y＝kx＋b

不含垂直于x轴的直线

两点式

＝

不含直线x＝x1（x1≠x2）和直线y＝y1（y1≠y2）

截距式

＋＝1

不含垂直于坐标轴和过原点的直线

一般式

Ax＋By＋C＝0（A，B不全为0）

平面直角坐标系内的直线都适用

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×

”）

（1）根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.（　√　）

（2）坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.（　×

　）

（3）直线的倾斜角越大，其斜率就越大.（　×

（4）直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.（　×

（5）斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.（　×

（6）经过任意两个不同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线都可以用方程（y－y1）（x2－x1）＝（x－x1）（y2－y1）表示.（　√　）

1.（2016·

常州模拟）若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为（1，－1），则直线l的斜率为________.

答案　－

解析　设P（m,1），Q（7，n），

由题意知　解得

所以P（－5,1），Q（7，－3），所以k＝＝－.

2.直线x－y＋a＝0的倾斜角为________.

答案　60°

解析　化直线方程为y＝x＋a，∴k＝tanα＝.

∵0°

≤α<

180°

，∴α＝60°

3.如图所示，直线l过点P（－1,2），且与以A（－2，－3），B（3,0）为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围为__________.

答案　（－∞，－]∪[5，＋∞）

解析　设PA与PB的倾斜角分别为α、β，直线PA的斜率k1＝5，

直线PB的斜率k2＝－.

当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由α增到90°

，斜率的变化范围为[5，＋∞）；

当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角为90°

增至β，斜率的变化范围为（－∞，－]，

故直线l的斜率的取值范围是（－∞，－]∪[5，＋∞）.

4.（教材改编）直线l：

ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a＝______.

答案　1或－2

解析　令x＝0，得直线l在y轴上的截距为2＋a；

令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1＋.

依题意2＋a＝1＋，解得a＝1或a＝－2.

5.过点A（2，－3）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________.

答案　3x＋2y＝0或x－y－5＝0

解析　①当直线过原点时，直线方程为y＝－x，即3x＋2y＝0；

②当直线不过原点时，设直线方程为－＝1，即x－y＝a，将点A（2，－3）代入，得a＝5，即直线方程为x－y－5＝0.故所求直线的方程为3x＋2y＝0或x－y－5＝0.

题型一　直线的倾斜角与斜率

例1　

（1）（2016·

镇江模拟）直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是________.

（2）直线l过点P（1,0），且与以A（2,1），B（0，）为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为__________________.

答案　

（1）[0，]∪[，π）

（2）（－∞，－]∪[1，＋∞）

解析　

（1）设直线的倾斜角为θ，则有tanθ＝－sinα.

因为sinα∈[－1,1]，所以－1≤tanθ≤1，又θ∈[0，π），

所以0≤θ≤或≤θ<

π.

（2）如图，∵kAP＝＝1，kBP＝＝－，

∴k∈（－∞，－]∪[1，＋∞）.

引申探究

1.若将本例

（2）中P（1,0）改为P（－1,0），其他条件不变，求直线l斜率的取值范围.

解　∵P（－1,0），A（2,1），B（0，），

∴kAP＝＝，kBP＝＝.

如图可知，直线l斜率的取值范围为.

2.若将本例

（2）中的B点坐标改为（2，－1），其他条件不变，求直线l倾斜角的范围.

解　如图，直线PA的倾斜角为45°

，

直线PB的倾斜角为135°

由图象知l的倾斜角的范围为[0°

，45°

]∪[135°

思维升华　直线倾斜角的范围是[0，π），而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论.由正切函数图象可以看出，当α∈时，斜率k∈[0，＋∞）；

当α＝时，斜率不存在；

当α∈时，斜率k∈（－∞，0）.

　（2016·

淮安模拟）若直线l：

y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是________________.

答案　（，）

解析　∵直线l恒过定点（0，－）.

作出两直线的图象，如图所示，

从图中看出，直线l的倾斜角的取值范围应为（，）.

题型二　求直线的方程

例2　根据所给条件求直线的方程：

（1）直线过点（－4,0），倾斜角的正弦值为；

（2）经过点P（4,1），且在两坐标轴上的截距相等；

（3）直线过点（5,10），且直线到原点的距离为5.

解　

（1）由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式.

设倾斜角为α，则sinα＝（0<

α<

π），

从而cosα＝±

，则k＝tanα＝±

故所求直线方程为y＝±

（x＋4）.

即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.

（2）设直线l在x，y轴上的截距均为a.

若a＝0，即l过点（0,0）及（4,1），

∴l的方程为y＝x，即x－4y＝0.

若a≠0，则设l的方程为＋＝1，

∵l过点（4,1），∴＋＝1，

∴a＝5，

∴l的方程为x＋y－5＝0.

综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.

（3）当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0；

当斜率存在时，设其为k，

则所求直线方程为y－10＝k（x－5），

即kx－y＋（10－5k）＝0.

由点到直线的距离公式，得＝5，解得k＝.

故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.

综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.

思维升华　在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；

若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.

　求适合下列条件的直线方程：

（1）经过点P（3,2）且在两坐标轴上的截距相等；

（2）过点A（－1，－3），斜率是直线y＝3x的斜率的－倍；

（3）过点A（1，－1）与已知直线l1：

2x＋y－6＝0相交于B点且AB＝5.

解　

（1）设直线l在x，y轴上的截距均为a，

若a＝0，即l过点（0,0）和（3,2），

∴l的方程为y＝x，即2x－3y＝0.

∵l过点（3,2），∴＋＝1，

∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0，

综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.

（2）设所求直线的斜率为k，依题意k＝－×

3＝－.

又直线经过点A（－1，－3），

因此所求直线方程为y＋3＝－（x＋1），

即3x＋4y＋15＝0.

（3）①过点A（1，－1）与y轴平行的直线为x＝1.

解方程组

求得B点坐标为（1,4），此时AB＝5，即x＝1为所求.

②设过A（1，－1）且与y轴不平行的直线为

y＋1＝k（x－1）（k≠－2），

得两直线交点为

则B点坐标为（，）.

∴（－1）2＋（＋1）2＝52，

解得k＝－，∴y＋1＝－（x－1），

即3x＋4y＋1＝0.

综上可知，所求直线方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.

题型三　直线方程的综合应用

命题点1　与基本不等式相结合求最值问题

例3　已知直线l过点P（3,2），且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程.

解　方法一　设直线方程为＋＝1（a>

0，b>

0），

把点P（3,2）代入得＋＝1≥2，得ab≥24，

从而S△AOB＝ab≥12，当且仅当＝时等号成立，这时k＝－＝－，从而所求直线方程为2x＋3y－12＝0.

方法二　依题意知，直线l的斜率k存在且k<

0.

则直线l的方程为y－2＝k（x－3）（k<

且有A，B（0,2－3k），

∴S△ABO＝（2－3k）

≥

＝×

（12＋12）＝12.

当且仅当－9k＝，即k＝－时，等号成立.

即△ABO的面积的最小值为12.

故所求直线的方程为2x＋3y－12＝0.

命题点2　由直线方程解决参数问题

例4　已知直线l1：

ax－2y＝2a－4，l2：

2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值.

解　由题意知直线l1，l2恒过定点P（2,2），直线l1在y轴上的截距为2－a，直线l2在x轴上的截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×

2×

（2－a）＋×

（a2＋2）＝a2－a＋4＝2＋，当a＝时，面积最小.

思维升华　与直线方程有关问题的常见类型及解题策略

（1）求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.

（2）求直线方程.弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程.

（3）求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.

　设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的直线mx－y－m＋3＝0交于点P（x，y），则PA＋PB的最大值是________.

答案　2

解析　因为m∈R，所以定点A（0,0），B（1,3），

又1×

m＋m×

（－1）＝0，

所以这两条直线垂直，则PA2＋PB2＝AB2＝10，

则PA＋PB＝

≤＝2，

当且仅当PA＝PB时，等号成立.

9.求与截距有关的直线方程

典例　设直线l的方程为（a＋1）x＋y＋2－a＝0（a∈R）.

（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；

（2）若l在两坐标轴上的截距互为相反数，求a.

错解展示

现场纠错

解　

（1）当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，∴a＝2，方程即为3x＋y＝0.

当直线不经过原点时，截距存在且均不为0.

∴＝a－2，即a＋1＝1.

∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.

综上，直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.

（2）由＝－（a－2）得a－2＝0或a＋1＝－1，

∴a＝2或a＝－2.

纠错心得　在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解.

1.直线x＝的倾斜角等于________.

答案　

解析　由直线x＝，知倾斜角为.

2.（2016·

无锡模拟）过点（2,1）且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小的直线方程是________.

答案　x＝2

解析　∵直线y＝－x－