压轴题放缩法技巧全总结文档格式.docx
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因为,于是
例5.已知,求证:
.
首先可以证明:
所以要证
只要证:
故只要证,
即等价于,
即等价于
而正是成立的,所以原命题成立.
例6.已知,,求证:
从而
例7.已知,,求证:
证明:
,
因为
,所以
二、函数放缩
例8.求证：
先构造函数有,从而
cause
例9.求证:
构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案
函数构造形式:
例10.求证:
提示:
当然本题的证明还可以运用积分放缩
如图,取函数,
首先:
从而,
取有,,
所以有,,…,,,相加后可以得到:
另一方面,从而有
所以有,所以综上有
例11.求证:
和.解析:
构造函数后即可证明
例12.求证:
叠加之后就可以得到答案
例13.证明:
构造函数,求导,可以得到:
,令有,令有,
所以,所以,令有,
所以,所以
例14.已知证明.
然后两边取自然对数,可以得到
然后运用和裂项可以得到答案）
放缩思路：
。
于是，
即
注：
题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；
当然，本题还可用结论来放缩：
，
例16.已知函数若
设函数
∴函数）上单调递增，在上单调递减.∴的最小值为，即总有
而
令则
例15.已知函数是在上处处可导的函数,若在上恒成立.
函数上是增函数；
当；
已知不等式时恒成立，
所以函数上是增函数
因为上是增函数,所以
两式相加后可以得到
……
相加后可以得到:
令,有
又,所以
三、分式放缩
姐妹不等式:
和
记忆口诀”小者小,大者大”
解释:
看b,若b小,则不等号是小于号,反之.
例19.姐妹不等式:
也可以表示成为
和
利用假分数的一个性质可得
例20.证明:
运用两次次分式放缩:
相乘,可以得到:
所以有
四、分类放缩
例21.求证:
例22.在平面直角坐标系中,
轴正半轴上的点列与曲线（≥0）上的点列满足，直线在x轴上的截距为.点的横坐标为,.
证明&
gt;
&
4，;
证明有，使得对都有&
lt;
依题设有：
，由得：
,又直线在轴上的截距为满足
显然，对于，有
证明：
设，则
设，则当时，
所以，取，对都有：
故有&
成立。
例23.已知函数，若的定义域为[－1，0]，值域也为[－1，0].若数列满足，记数列的前项和为，问是否存在正常数A，使得对于任意正整数都有？
并证明你的结论。
首先求出,∵
∴,∵,,…
,故当时,,
因此，对任何常数A，设是不小于A的最小正整数，
则当时,必有.
故不存在常数A使对所有的正整数恒成立.
例24.设不等式组表示的平面区域为,
设内整数坐标点的个数为.设,
当时,求证:
容易得到,所以,要证只要证,因为
,所以原命题得证
五、迭代放缩
例25.已知,求证:
当时,
通过迭代的方法得到,然后相加就可以得到结论
例26.设,求证:
对任意的正整数k,若k≥n恒有:
|Sn+k－Sn|&
1n
又
六、借助数列递推关系
例27.求证:
设则
,从而
,相加后就可以得到
例28.求证:
例29.若,求证:
所以就有
七、分类讨论
例30.已知数列的前项和满足证明：
对任意的整数，有
容易得到,
由于通项中含有，很难直接放缩，考虑分项讨论：
当且为奇数时
（减项放缩），于是
①当且为偶数时
②当且为奇数时
（添项放缩）由①知由①②得证。
八、线性规划型放缩
例31.设函数.若对一切，，求的最大值。
由知
由此再由的单调性可以知道的最小值为，最大值为
因此对一切，的充要条件是，
即，满足约束条件，
由线性规划得，的最大值为5．
九、均值不等式放缩
例32.设求证
此数列的通项为
，，
①应注意把握放缩的“度”：
上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放过“度”了！
②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里
其中，等的各式及其变式公式均可供选用。
例33.已知函数，若，且在[0，1]上的最小值为，求证：
例34.已知为正数，且，试证：
对每一个，.
由得，又，故，而，
令，则=，因为，倒序相加得=，
而，
则=
，所以
，即对每一个，.
例35.求证
不等式左
=，
原结论成立.
例36.已知,求证:
经过倒序相乘,就可以得到
例37.已知,求证:
其中:
因为
从而,所以.
例38.若,求证:
因为当时,,所以,所以,当且仅当时取到等号.
所以所以
例39.已知,求证:
例40.已知函数f=x2－k&
#8226;
2lnx.k是奇数,n∈N*时,
[f’]n－2n－1&
f’≥2n.
由已知得，
当n=1时，左式=右式=0.∴不等式成立.
,左式=
令
由倒序相加法得：
所以综上，当k是奇数，时，命题成立
例41.（XX年东北三校）已知函数
（1）求函数的最小值，并求最小值小于0时的取值范围；
（2）令求证：
★例42.已知函数,.对任意正数,证明：
．
对任意给定的,,由,
若令
，则
①,而
②
（一）、先证；
因为，，，
又由
，得
．
（二）、再证；
由①、②式中关于的对称性，不妨设．则
（ⅰ）、当，则，所以，因为
，此时．
（ⅱ）、当③，由①得,，，
④
同理得⑤，于是
⑥
今证明
⑦,因为
只要证
，即
，也即
，据③，此为显然．
因此⑦得证．故由⑥得
综上所述，对任何正数，皆有．
例43.求证:
一方面:
十、二项放缩
,,
例44.已知证明
45.设，求证：
数列单调递增且
引入一个结论：
若则（证略）
整理上式得（）
以代入（）式得
即单调递增。
此式对一切正整数都成立，即对一切偶数有，又因为数列单调递增，所以对一切正整数有。
①上述不等式可加强为简证如下：
利用二项展开式进行部分放缩：
只取前两项有对通项作如下放缩：
故有
②上述数列的极限存在，为无理数；
同时是下述试题的背景：
已知是正整数，且
（1）证明；
（2）证明（01年全国卷理科第20题）
简析对第
（2）问：
用代替得数列是递减数列；
借鉴此结论可有如下简捷证法：
数列递减，且故即。
当然，本题每小题的证明方法都有10多种,如使用上述例5所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决！
详见文[1]。
例46.已知a+b=1,a&
0,b&
0,求证：
因为a+b=1,a&
0,可认为成等差数列，设，
例47.设，求证.
观察的结构，注意到，展开得
，即，得证.
例48.求证:
参见上面的方法,希望读者自己尝试!
）
例42.已知函数，满足：
①对任意，都有；
②对任意都有.
（I）试证明：
为上的单调增函数；
（II）求；
（III）令，试证明：
本题的亮点很多,是一道考查能力的好题.
运用抽象函数的性质判断单调性:
因为,所以可以得到,
也就是,不妨设,所以,可以得到,也就是说为上的单调增函数.
此问的难度较大,要完全解决出来需要一定的能力!
首先我们发现条件不是很足,,尝试探索看看按中的不等式可以不可以得到什么结论,一发现就有思路了!
由可知,令,则可以得到
,又,所以由不等式可以得到,又
,所以可以得到
①
接下来要运用迭代的思想:
因为,所以,,
,,,
在此比较有技巧的方法就是:
,所以可以判断
③
当然,在这里可能不容易一下子发现这个结论,所以还可以列项的方法,把所有项数尽可能地列出来,然后就可以得到结论.
所以,综合①②③有=
在解决的通项公式时也会遇到困难.
,所以数列的方程为,从而,
一方面,另一方面
所以,所以,综上有
例49.已知函数f&
#61480;
x&
#61481;
的定义域为[0,1]，且满足下列条件：
①对于任意[0,1]，总有，且；
②若则有
（Ⅰ）求f&
0&
的值；
（Ⅱ）求证：
f&
≤4；
（Ⅲ）当时，试证明：
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