光子气体与它的热力学函数关系Word格式.docx

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（1）光子随时在产生或漂灭，故粒子数不能固定；

（2）由于光子具有相同的速度（光速）,故不存在速度分布；

（3）普通气体分子之间按速度的平衡分布，是通过分子之间相互碰撞与相互作用机制实现的.而光子气体中的光子彼此并不碰撞，其间的平衡分布，只在辐射场中有某种能够吸收和辐射光子的物体存在时才能建立起来.在吸收或辐射过程中，一种频率的光子将转变成另一种频率的光子.正是光子气体与普通气体之间的这些差异，从而导致光子气体具有与普通气体不同的热力学性质和特征函数。

2热辐射和平衡辐射

只要温度不是绝对零度，任何物体的表面都会向外发射各种波长的，频谱为连续的电磁波。

温度升高，物体在单位时间内从单位面积表面上向外发射的辐射总能量也之增加。

一定时间内辐射能量随波长的分布也与温度有关，简单来说爱热的固体会辐射电磁波，称为热辐射。

一般情形下热辐射的强度和强度按频率的分布与辐射体的温度和性质有关。

如果辐射体对电磁波的吸收和辐射达到平衡，热辐射的特性将只取决于温度，于热辐射的其它特性无关，称为平衡辐射。

.

考虑一个封闭的空窖，窖壁保持一定的温度。

窖壁将不断向空窖发射并吸收电磁波，窖内辐射场与窖壁达到平衡后，二者具有共同的温度，显然空窖内的辐射就是平衡辐射。

平衡辐射包含各种频率，沿各个方向传播的电磁波.这些电磁波的振幅和相位是无规的。

有热力学的一般论据可以证明，窖内平衡辐射是空间均匀和各向同性的。

它的内能密度和内能密度按频率的分布只取决于温度，与空窖的其它特性无关。

现在根据热力学理论导出窖内平衡辐射的热力学函数.这里要用到电磁理论关于辐射压强与辐射能量密度之间的关系：

（2-1）

将窖内平衡辐射看作热力学系统.选温度和体积为状态参量.由于空窖辐射是均匀的,其内能密度只是温度的函数.空窖辐射的内能可以表为利用热力学公式

（2-2）

根据式可得，即

（2-3）

积分可得

（2-4）

现在求出空窖辐射的熵，将式（2-3）的和式（2-1）的代入热力学基本方程

（2-5）

式（2-5）中没有积分常数，因为时不存在辐射场。

吉布斯函数。

将式（2-1）,（2-3）,（2-5）代入，可得平衡辐射的吉布斯函数为零。

G=0（2-6）

统计物理可以导出平衡辐射的热力学函数.将看到式（2-6）是平衡辐射光子数不守恒的。

如果在窖壁开一小孔，电磁辐射将从小孔射出.假设小孔足够小，使窖内辐射场的平衡状态不受显著破坏。

以表示单位时间内通过小孔的单位面积向一侧辐射的辐射能量，称为辐射通量密度。

辐射通量密度与辐射内能密度之间存在以下关系：

（2-7）

图（1-1）

上式证明如下。

考虑在单位时间内通过面积元向一侧辐射的能量.如果投射到上的是一束传播方向与的法线方向平行的平面电磁波，则单位时间内通过向一侧辐射的能量为。

各向同性的辐射场包含各种传播方向，因此传播方向在立体角的辐射内能密度将为。

单位时间内，传播方向在立体角内，通过向一侧辐射的能量为，其中与传播方向与法线方向的夹角，如图（1-1）所示.对所有传播方向求积分，就可以得到单位时间内通过向一侧辐射的总辐射能量：

这就证明了式（2-7）。

将式（2-3）代入式（2-7），得

（2-8）

（2-8）称为斯特藩—玻耳式斯曼定律。

3用能量均分定律讨论热辐射

我们根据能量均分定律讨论平衡辐射问题。

前面讨论过这个问题,考虑一个封闭的空窖原子不断地向空窖发射并从空窖吸收电磁波，经过一定的时间后，空窖内的电磁辐射与窖壁达到平衡，称为平衡辐射，二者具有共同的温度。

空窖内的辐射场可以分解为无穷多个单色平面波的叠加.如果采用周期性边界条件，单色平面波的电场分量可表为

（3-1）

其中是圆频率，是波矢，的三个分量的可能值为

（3-2）

有两个偏振方向。

这两个偏振方向与垂直，并且相互垂直.单色平面波的磁场分量也有相应的表示。

将式（3-2）代入波动方程

（3-3）

可得，与间的关系：

（3-4）

具有一定波矢和一定偏振的单色平面波可以看作辐射场的一个自由度。

应用不确定关系的方法求得在体积内，在的波矢范围内，辐射场的自由度数为利用式（3-4）将换为，容易求出，在体积内，在的圆频率范围内，辐射场的振动自由度数为

（3-5）

根据能量均分定律，温度为时，每一振动自由度得平均能量为。

所以在体积内，在范围内平均辐射的内能为

（3-6）

这结果是瑞利和金斯得到的，称为瑞利金斯公式.

根据瑞利和金斯公式，在有限温度下平衡辐射的总能量是发散的。

（3-7）

在前面讨论过，平衡辐射的能量与温度的四次方成正比，是一个有限值：

（3-8）

因此式（3-8）与实验结果不符.有式（3-8）还可以得出平衡辐射的定容热容量也是发散的结论.据此辐射场不可能与其它物体（例如窖壁）达到热平衡，这是与常识不符的.可以看出导致这个荒谬的根据原因是，根据经典电动力学辐射场具有无穷多个振动自由度，而根据经典统计的能量均分定律每个振动自由度在温度为时的平均能量为。

由此可以看出，经典物理存在根据刑的原则困难.综上所示，经典统计的能量均分定律既得到一些与实验相符的结果，又有许多结论与实验不符。

这些问题在量子理论中得到解决。

4热力学量的统计表达式

4.1总分数和内能的统计表达式

系统的平均总分子数由下式给出：

（4-1）

引入一个函数，名为巨配分函数，其定义为：

（4-2）

取对数（4-3）

系统的平均总粒子数可通过表示为

（4-4）

内能是系统中粒子无规运动总能量的统计平均值。

所以

（4-5）

系统的粒子无规运动总能量统计平均值可通过表示为

（4-6）

4.2广义作用力的统计表达式

外界对系统的广义作用力是的统计平均值：

，

（4-7）

可将可通过表示为

（4-8）

上式的一个重要特例（4-10）

4.3熵的统计表达式

由式（4-4）和式（4-6）以（4-10）及（3-8）的

（4-11）

注意上面引入的是的函数，其全微分为

（4-12）

故有（4-13）

上式指出是的积分因子。

在热力学部分学过，对于开放系统有积分因子，使:

（4-14）

比较可得（4-15）

所以（4-16）

积分可得（4-17）

将式（4-3）代入式（4-17），与是比较就可得

（4-18）

5光子气体的热力学函数

根据热力学量的统计表达式推求光子气体的热力学函数。

对于光子气体，巨配分函数的对数为

（5-1）

引入变量。

可将上式表为

（5-2）

应用分部积分方法：

上式有第一项为零，因此

（5-3）

求得巨配分函数的对数后，根据式（4-6）和式（4-10）即可求出光子气体的内能和压强。

光子气体的内能为（5-4）

光子气体的压强为（5-5）

光子气体的熵为（5-6）

光子气体的焓为（5-7）

光子气体的自由能为（5-8）

光子气体的吉布斯函数为（5-9）

6结论

以上计算得知，光子气体的内能、压强、熵、焓和自由能都是温度的函数，因而与普通气体一样都具有热力学特征，但吉布斯函数等于零，它们与普通气体有些差异。

对于普通气体,上述各热力学量与温度一次方成正比。

而光子气体的内能、压强、焓和自由能热力学量却与温度的四次方成正比，光子气体的熵与热力学量却与温度的三次方成正比，光子气体的吉布斯函数与温度无关。

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致谢

大学五年很快就要结束了，在这宝贵的四年学习过程中，我认识了物理系的各级领导、老师和我亲爱的同学们，得到了他们热心的帮助和关心，使我能够顺利的完成学业，同时我的道德修养在身边优秀的老师和同学的感染下得到了很大的提高，在此向他们表示我最衷心的感谢！

感谢我的指导老师，感谢对我毕业论文的细心指导，阿力甫。

沙吾提老师严谨细致、认真负责的工作态度是我学习的典范，这对我以后走上工作岗位有很大的帮助。

同时我要感谢我大学五年认识的所有好朋友，有了他们的陪伴、支持、鼓励，我的大学生活才有意义，从他们身上我学到了很多我没有的品质，我将永远珍惜这难得的友谊。

到论文的顺利完成，有很多的可敬的老师、同学、朋友给了我真挚的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意！

再次对阿力甫。

沙吾提老师表示最诚挚的谢意和祝福！