储油罐的变位识别与罐容表同济大学数学系Word文档格式.docx
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一、问题重述
作为加油站最重要的产品——燃料油，其储量、损耗将直接关系到加油站的经济利益，而储油罐容积表的精确与否又直接决定了油站是否可以进行完善的进销存控制。
通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。
按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。
原题中的附件1为利用小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体）分别对罐体无变位和倾斜角为=4.1°
的纵向变位两种情况做实验而得的实验数据。
根据这些数据，研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。
对于实际储油罐（主体为圆柱体，两端为球冠体），建立罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间的一般关系。
根据附件2中罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据，利用所建模型确定变位参数，给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值，并进一步分析检验所建模型的正确性与方法的可靠性。
二、问题分析
小椭圆型储油罐在纵向变位后两端的截面均为椭圆圆弧与平行于该椭圆长轴的直线所围成的特殊弓形，小椭球型储油罐可以看成由无数个弓形拼接而成。
每个弓形的高度在沿着油面的方向上成线性分布，根据椭圆弧与平行于其长轴的直线所形成的弓形面积与，以椭圆中心点为圆心，椭圆短半轴为半径的圆弧与相应直线所围成的弓形面积成比例的关系，可以推算出截面椭圆的面积，然后再沿着油面所在方向积分算出储油罐的储油容积，从而确定储油罐变位对罐容表的影响。
对于椭圆，有；
而对于圆，有。
所以有，则，即如图椭圆下部分阴影部分的面积可用圆的同高度的弓形面积的倍代替。
图2：
椭圆油面横截面示意图
根据附表1提供的数据，我们发现在进出油油位大致相等时，无变位和倾斜变位时储油罐的油量初值、累加进油量和累加出油量之和为一常数，并且总小于储油罐的理论总容积4108.06升。
例如，在无变位的情况下，罐内油量初值为262L，进油使油位高度为450.40mm累加进油量为1100升，出油使油位高度为451.43mm时，累加出油量为2602.72升，所得和为3964.72升；
进油使油位高度为678.54mm和出油使油位高度为678.63mm时的数据之和亦为3964.72升。
在倾斜变位的情况下，同理比较得出在进出油油位大致相等时三者之和为常数3512.73升。
因此，我们可以肯定，当进油使罐内油量达到一定的值但并没有满负荷时便开始出油。
利用上述规律和时间上的关系，我们推测当累加进油量达到附件1中所给数据的最大值时便不再进油，开始出油。
对于实际储油罐，油罐主体为圆柱体，两端为球冠体，油罐的体积可以分为圆柱体和两端球冠体两部分。
中间圆柱体的体积可以同前面椭圆柱体体积的求法，求出截面弓形的面积再沿油面水平线积分而得。
球冠体中储油的容量，相当于一个球被两个平面（一个为油罐变位后油面，另一个则为球冠体底部圆平面）所截后剩余的体积。
利用高等数学中积分即可求出该部分的体积。
考虑到球冠体为一个中心对称图形，所以在储油罐发生纵向倾斜和横向偏转时对罐容表的影响等价于储油罐仅发生纵向倾斜或横向偏转时对罐容表所产生的影响。
储油罐纵向倾斜时对罐容表标定的影响同第
（1）问；
而发生横向偏转时，只要根据油位探针浸入油里的长度与纵向偏转角β的关系将其转化为过球冠体截面圆中心的铅垂线的长度，即可按纵向倾斜所用的方法求得。
三、模型假设
（1）罐体变位时倾斜的角度都非常小，倾斜角度不超过5°
，倾斜时油罐内的油面在达到累加进油量最大时不会接触到油罐的上顶面，在达到累加出油量最大时不会接触到油罐的下底面。
（2）注油时注入的油全部进入油罐中，不会粘到注油口管壁上；
出油时油亦不会粘到管壁上。
（3）油的体积不受温度的影响。
（4）不考虑油的挥发。
（5）油位探针的底端点和油罐相连，不会随油罐的倾斜而发生偏移。
（6）油位探针经过截面圆或椭圆的中心。
（7）当累加进油量达到一定值时（此时储油罐内油量并未满载）便开始出油。
四、符号说明
h
油浮子到油位探针底端点的长度
a
椭圆的长半轴长度
b
椭圆的短半轴长度
以椭圆短轴长为直径的园的面积
S
椭圆的面积
α
罐体变位纵向倾斜角度（弧度）
β
罐体变位横向偏转角度（弧度）
γ
以椭圆短轴为直径的圆上的弓形所对应圆心角的一半（弧度）
R
实际储油罐两端球冠体所对应的球的半径
储油罐储油体积
r
球冠体底面圆半径，为常数
五、模型建立和求解
1、小椭圆型储油罐罐体变位对罐容表的影响
建立如下图所示的直角坐标系：
图3：
油罐倾斜侧面坐标系示意图图4：
椭圆截面坐标示意图
，①
当y<
b时，γ=，
则γ=，γ=
，②
当y>
图5：
椭圆截面
则γ=，γ=
，③
故椭圆截面面积为S=，y<
，y>
将①、②、③代入上式得
S＝，
，
储油罐储油容积为
上述定积分采用MATLAB编程解出，具体程序见附录。
再将附件1中的数据导入MATLAB可以描绘出计算值与实际值之间的关系图（如下）
图6：
无变位时进出油计算量与实际量之间对比曲线
图7：
倾斜时计算量与实际量之间对比曲线
我们用模型计算的数据与附件一中所给数据进行比较，得出了误差曲线（误差=计算量—实际值）
图8：
倾斜进油与出油误差对比
图9：
无变位进油与出油的误差对比
在图中可以看出无变位进油与无变位出油的误差曲线基本是重合的，而倾斜进油与倾斜出油曲线也是大致重合的，并且误差的值不是很大，在误差允许范围内。
这就说明了所建模型是可靠的，与所给数据吻合。
2、油罐罐体变位后标定罐容表的数学模型
（1）储油罐变位后两端球冠体储油体积
利用勾股定理得
R=1.625m
建立如图所示的坐标系：
BC直线表示油罐倾斜后正面示意图中油面所在位置，过O点做BC的垂线，垂足记为A。
B（1.625-1,-1.5）,直线BC的斜率为图10：
球冠体侧面示意图
直线BC的方程为
④
直线OA的方程为⑤
联立④⑤得垂足A（，）
OA=
AC=
AB=
BC=AC-AB
记n=AB，m=AC
⑥
横向偏转角度β时
将代替⑥式中的得到，
则右侧球冠体中储油体积为图11横向倾斜示意图
⑦
同理，左侧球冠体中储油体积。
储油罐除去两端球冠体而剩下中间圆柱体的储油体积为
=，y>
r⑧
y<
中间圆柱体体积为
所以实际储油罐的储油容量为
⑨
将⑥、⑦、⑧代入⑨式，可以得到实际储油罐的储油量就是一个关于，的函数，我们想利用附件二中的600组数据对其利用待定系数法而得到的值，但是这需要极其巨大的计算量即使使用计算机也是不容易实现的。
所以我们想到对附件二中的数据进行处理：
求得每一高度与前一高度的差值，即得dh，再将该高度对应的出油量（—dV）与dh的比值，即可将600个数据简化为一条关于的函数。
做出—的图像如下（即红色图像）
图12：
—的图像及其拟合函数曲线
图中黑色曲线为对图像进行二次函数拟合得出的曲线
其函数表达式为：
其中，a=；
b=；
c=。
再取抛物线中具有代表意义的点（如顶点）进行待定系数，再通过枚举法，不断缩小α、β的范围，从而求出α，β。
最终求得,（程序见附录）。
利用所得的就可以算出罐体变位后高度间隔为10cm的罐容表标定值：
表一：
罐体变位后油位间隔高度为10cm的罐容表标定值
油位高度（mm）
罐容表标定值（L）
300
2226.52
1600
33085.66
400
3707.56
1700
500
5438.88
1800
38686.93
600
7378.96
1900
41442.96
700
9496.75
2000
44148.35
800
11766.79
2100
46786.86
900
14166.94
2200
49341.63
1000
16677.30
2300
51794.84
1100
19279.49
2400
54127.39
1200
21956.23
2500
56318.30
1300
24691.00
2600
58343.88
1400
27467.84
2700
60176.14
1500
30271.18
可靠度检测
因为已知α、β的值，首先用附件二中第一行中数据即显示油高算出一个初始的理论储油量V0，然后再用这个初始油量减去出油量,得到每一高度时的理论储油量Vi；
再应用所建模型的公式，已知α、β、h可以算出储油量的计算值。
这样就可对两组储油量值进行比较，两组数据的差值即为该高度的计算误差（误差图像如下），并求出误差的标准差为6.0068L。
图13：
误差图像
从图像中也可看出误差的变化很小，本身也是极小的数，也就说明了建立的模型是可靠的，有很高可信度。
六、模型评价
第一问中的模型使用微积分的形式，具体地求出了油位高度一定时储油罐的储油容
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