数学与文化是与非的观念Word文档下载推荐.docx

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”叔本华（Schopenhauer），一位在现代哲学史上占有重要地位的哲学家，也把算术说成是最低级的精神活动，他之所以持这种态度，是基于算术能通过机器来运算这一事实。

由于学校数学教学的影响，这些权威性的论断和流行的看法，竟被认为是正确的!

但是一般人忽视数学的观点仍然是错误的。

数学学科并不是一系列的技巧。

这些技巧只不过是它微不足道的方标题是本文译者加的，副标题为原标题面：

它们远不能代表数学，就如同调配颜色远不能当作绘画一样。

技巧是将数学的激情、推理、美和深刻的内涵剥落后的产物。

如果我们对数学的本质有一定的了解，就会认识到数学在形成现代生活和思想中起重要作用这一断言并不是天方夜谭。

因此，让我们看一看20世纪人们对这门学科的态度。

首先，数学主要是一种寻求众所周知的公理法思想的方法。

这种方法包括明确地表述出将要讨论的概念的定义，以及准确地表述出作为推理基础的公设。

具有极其严密的逻辑思维能力的人从这些定义和公设出发，推导出结论。

数学的这一特征由17世纪一位着名的作家在论及数学和科学时，以某种不同的方式表述过：

“数学家们像恋人。

……承认一位数学家的最初的原理，那么他由此将会推导出你也必须承认的另一结论，从这一结论又推导出其他的结论。

”

仅仅把数学看作一种探求的方法，就如同把达?

芬奇“最后的晚餐”看作是画布上颜料的组合一样。

数学也是一门需要创造性的学科。

在预测能被证明的内容时，和构思证明的方法时一样，数学家们利用高度的直觉和想象。

例如，牛顿和开普勒就是极富于想象力的人，这使得他们不仅打破了长期以来僵化的传统，而且建立了新的、革命性的概念。

在数学中，人的创造能力运用的范围，只有通过检验这些创造本身才能决定。

有些创造性成果将在后面讨论，但这里只需说一下现在这门学科已有八十多个广泛的分支就够了。

如果数学的确是一种创造性活动，那么驱使人们去追求它的动力是什么呢?

研究数学最明显的、尽管不一定是最重要的动力是为了解决因社会需要而直接提出的问题。

商业和金融事务、航海、历法的计算、桥梁、水坝、教堂和宫殿的建造、作战武器和工事的设计，以及许多其他的人类需要，数学能对这些问题给出最完满的解决。

在我们这个工程时代，数学被当作普遍工具这一事实更是毋庸置疑。

数学的另外一个基本作用（的确，这一点在现代特别突出），那就是提供自然现象的合理结构。

数学的概念、方法和结论是物理学的基础。

这些学科的成就大小取决于它们与数学结合的程度。

数学已经给互不关联的事实的干枯骨架注入了生命，使其成了有联系的有机体，并且还将一系列彼此脱节的观察研究纳入科学的实体之中。

智力方面的好奇心和对纯思维的强烈兴趣，激励许多数学家研究数的性质和几何图形，并且取得了富有创造性的成果。

今天很受重视的概率论，就开始于牌赌中的一个问题——一场赌博在结束之前就被迫中止了，那么赌注如何分配才合理?

另外一个与社会需要或科学没有什么联系的最突出的成就，就是由古代希腊人创造出来的，他们把数学转变成了抽象的、演绎的和公理化的思想系统。

事实上，数学学科中一些最伟大的成就——射影几何、数论、超穷数理论和非欧几何，这里我只提到我们将要讨论的内容——都是为了解决纯智力的挑战。

进行数学创造的最主要的趋策力是对美的追求。

罗素，这位抽象数学思想的大师曾直言不讳地说：

数学，如果正确地看它，则具有……至高无上的美——正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美，这种美不是投合我们天性的微弱的方面，这种美没有绘画或音乐的那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地。

一种真实的喜悦的精神，一种精神上的亢奋，一种觉得高于人的意识——这些是至善至美的标准，能够在诗里得到，也能够在数学里得到。

除了完善的结构美以外，在证明和得出结论的过程中，运用必不可少的想象和直觉也给创造者提供了高度的美学上的满足。

如果美的组成和艺术作品的特征包括洞察力和想象力，对称性和比例、简洁，以及精确地适应达到目的的手段，那么数学就是一门具有其特有完美性的艺术。

尽管历史已清楚地表明，上述所有因素推动了数学的产生和发展，但是依然存在许多错误的观点。

有这样的指责（经常是用来为对这门学科的忽视作辩解的），认为数学家们喜欢沉湎于毫无意义的臆测;

或者认为数学家们是笨拙和毫无用处的梦想家。

对这种指责，我们可以立刻作出使其无言以对的驳斥。

事实证明，即使是纯粹抽象的研究，更不用说由于科学和工程的需要而进行的研究了，也是有极大用处的。

圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）自被发现二干多年来，曾被认为不过是“富于思辨头脑中的无利可图的娱乐”，可是最终它却在现代天文学、仿射运动理论和万有引力定律中发挥了作用。

另一方面，一些“具有社会头脑”的作家断言：

数学完全或者主要是由于实际需要，如需要建筑桥梁、制造雷达和飞机而产生或发展的。

这种断言也是错误的。

数学已经使这些对人类方便有用的东西成为可能，但是伟大的数学家在进行思考和研究时却很少把这些放在心上。

有些人对实际应用漠不关心，这可能是因为他们成果的应用在几百年后才实现。

毕达哥拉斯和柏拉图的唯心主义数学玄想，比起货栈职员采用“+”号和“一”号的实际行动来（这曾使某一作家深信“数学史上的一个转折点乃是由日常的社会活动所致”），所作的贡献要大得多。

确实，几乎每一个伟大的人物所考虑的都是他那个时代的问题，流行的观点会制约和限制他的思想。

如果牛顿早生二百年，他很有可能会成为一位出色的神学家。

伟大的思想家追求时代智力风尚，就如同妇女在服饰上赶时髦一样。

即使是把数学作为纯粹业余爱好的富有创造性的天才，也会去研究令专业数学家和科学家感到十分激动的问题。

但是，那些“业余爱好者”和数学家们一般并不十分关心他们工作的实用价值。

实用的、科学的、美学的和哲学的因素，共同促进了数学的形成。

把这些做出贡献、产生影响的因素中的任何一个除去，或者抬高一个而去贬低另外一个都是不可能的，甚至不能断定这些因素中谁具有相对的重要性。

一方面，对美学和哲学因素作出反应的纯粹思维，决定性地塑造了数学的特征，并且作出了像欧氏几何和非欧几何这样不可超越的贡献。

另一方面，数学家们登上纯思维的顶峰不是靠他们自己一步步攀登，而是借助于社会力量的推动。

如果这些力量不能为数学家们注入活力，那么他们就立刻会身疲力竭;

然后他们就仅仅只能维持这门学科处于孤立的境地。

虽然在短时期内还有可能光芒四射，但所有这些成就会是昙花一现。

数学的另一个重要特征是它的符号语言。

如同音乐利用符号来代表和传播声音一样，数学也用符号表示数量关系和空间形式。

与日常讲话用的语言不同，日常语言是习俗的产物，也是社会和政治运动的产物，而数学语言则是慎重地、有意地而且经常是精心设计的、凭借数学语言的严密性和简洁性，数学家们就可以表达和研究数学思想，这些思想如果用普通语言表达出来，就会显得冗长不堪。

这种简洁性有助于思维的效率。

J．K．杰罗姆（J．K．Jerome），为了需要求诸于代数符号，在下面一段描写中，尽管与数学无关，却清楚地表现了数学的实用性和明了性：

当一个12世纪的青年堕入情网时，他不会后退三步，看着他心爱的姑娘的眼睛，对他说她是世界上最漂亮的人儿。

他说他要冷静下来，仔细考虑这件事。

如果他在外面碰上一个人，并且打破了他的脑袋——我指另外一个人的脑袋——于是那就证明了他的——前面那个小伙子——姑娘是个漂亮姑娘。

如果是另外一个小伙子打破了他的脑袋——不是他自己的，你知道，而是另外那个人的——对第二个小伙子来说的另外一个。

因为另外一个小伙子只是对他来说是另外一个，而不是对前面那个小伙子——那么，如果他打破了他的头，那么他的姑娘——不是另外一个小伙子，而是那个小伙子，他……。

瞧：

如果A打破了月B脑袋，那么A的姑娘是一个漂亮的姑娘。

但如果B打破了A的头，那么A的姑娘就不是一个漂亮的姑娘，而B的姑娘是一个漂亮的姑娘。

简洁的符号能够使数学家们进行复杂的思考时应付自如，但也会使门外汉听数学讨论如坠五里云雾。

数学语言中使用的符号十分重要，它们能区别日常语言中经常引起混乱的意义。

例如，英语中使用“is”一词时，就有多种不同的意义。

在“他在这儿”（Heishere）这个句子中，“is”就表示一种物理位置。

在“天使是白色的”（Anangeliswhite）这个句子中，它表示天使的一种与位置或物理存在无关的属性。

在“那个人正在跑”（Themanisrunning）这个句子中，这个词"

is”表示的是动词时态。

在“二加二等于四"

（TwoandTwoarefour）这个句子中，is的形式被用于表示数字上的相等。

在“人是两足的能思维的哺乳动物”（Menarethetwo—leggedthinkingmammals）这个句子中，is的形式被用来断言两组之间的等同。

当然，在一般日常会话中引用各种各样不同的词来解释is的所有这些意义，不过是画蛇添足，因为尽管有这些意义上的混乱，人们也不会因此产生什么误会。

但是，数学的精确性——它与科学和哲学的精确性一样，要求数学领域的研究者们更加谨慎。

数学语言是精确的，它是如此精确，以致常常使那些不习惯于它特有形式的人觉得莫名其妙。

如果一个数学家说：

“今天我没看见一个人”（Ididnotseeonepersontoday），那么他的意思可能是他要么一个人也没看见，要么他看见了许多人。

一般人则可能简单地认为他一个人也没看见。

数学的这种精确性，在一个还没有认识到它对于精密思维的重要性的人看来，似乎显得过于呆板，过于拘泥于形式。

然而任何精密的思维和精确的语言都是不可分割的数学风格以简洁和形式的完美作为其目标，但有时由于过分地拘泥于形式上的完美和简洁，以致丧失了精确竭力要达到的清晰。

假定我们想用一般术语表述图1所示的内容，我们很有可能说：

“有一个直角三角形，画两个以该三角形的直角边作为其边的正方形，然后再画一个以该三角形斜边作为其边的正方形，那么第二个正方形的面积就等于前面两个正方形面积之和。

”但是没有一个数学家会用这样的方式来表达自己的想法。

他会这样说：

“直角三角形直角边的平方和等于斜边的平方。

”这种简洁的用词使表述更为精炼，而且这种数学表达式具有重要的意义，因为它的确是言简意赅。

还有，由于这种惜墨如金的做法，任何数学文献的读者有时会发现自己的耐心受到了极大的考验。

数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言。

数学更主要的是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时影响着政治家和神学家的学说;

满足了人类探索宇宙的好奇心和对美妙音乐的冥想;

甚至可能有时以难以察觉到的方式但无可置疑地影响着现代历史的进程。

数学是一门知识体系，但是它却不包含任何真理。

与之相反的观点却认为数学是无可辩驳的真理的汇集，认为数学就像是信仰《圣经》的教徒们从上帝那儿获得最后的启示录一样，这是一个难以消除的、流传甚广的谬论。

直到1850年为止，甚至数学家们也赞同这种谬论。

幸运的是，19世纪发生的一些数学事件（这些我们随后将进行讨论）向这