高考数学 第十一节 函数的值域与最值教材Word文件下载.docx

高考数学 第十一节 函数的值域与最值教材Word文件下载.docx

《高考数学 第十一节 函数的值域与最值教材Word文件下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学 第十一节 函数的值域与最值教材Word文件下载.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

（2）确定函数值域取决于这一函数的定义域和对应法则．一般地，若一个函数的定义域和对应法则中有一个不相同，求得的函数值域就可能不同，即使是对于同一个对应法则给出的函数，若改变了它的定义域，所求的值域也可能不同．

2．函数的最大值与最小值的定义

（1）定义

一般地，设函数y＝f（x）的定义域为D，x0∈D.如果对于任意的x∈D，均有f（x）≤f（x0），则称f（x0）为函数f（x）的最大值，记作f（x）max＝f（x0）；

如果对于任意的x∈D，均有f（x）≥f（x0），则称f（x0）为函数f（x）的最小值，记作f（x）min＝f（x0）．

（2）对最值的理解

①从图象上看，函数的最大值就是图象上最高处点的纵坐标；

函数的最小值就是图象上最低处点的纵坐标．

函数y＝f（x）的图象如图所示．

可知当x＝时函数的最大值为1，当x＝－1时最小值为－.

②从定义中可以看出函数的最大值是函数值域中的最大者，函数的最小值是函数值域中的最小者．

因此要证明或判断一个数是函数的最大（小）值，就必须证明或判断值域中的其他数都比它小（大），有时需要用到有关不等式的知识．

③极值与最值

极值是函数的局部性质，极大（小）值是函数在某一区间上的最大（小）值，而最大值与最小值则分别是函数在整个定义域内的最大的函数值和最小的函数值．

④并不是所有的函数都有最大值与最小值．

如：

函数y＝x3（x∈R）在定义域内就没有最大值，也没有最小值．

3．函数值域的求法

（1）列举法

即直接根据函数的定义域与对应法则将函数值一一求出来写成集合形式．这种方法只适于值域B中元素为有限或虽然是无限但却是与自然数有关的集合．

荻里克莱函数：

f（x）＝

函数的值域为{0,1}．

（2）逐层求值域法：

逐层求值域法就是根据x的取值范围一层一层地去求函数的值域．

例如：

求函数f（x）＝，x∈[2,5]的值域．

∵x∈[2,5]

∴2x∈[4,10]

1－2x∈[－9，－3]

∈[－，－]

∴函数f（x）的值域为[－，－]．

逐层求值域法适用于函数解析式中只有一个地方出现变量x.

（3）分离常数法

形如y＝（a≠0）的函数，这种类型的函数值域经常使用“分离常数法”求解．

（4）配方法

配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如F（x）＝a[f2（x）＋bf（x）＋c]的函数的值域问题，均可使用配方法．

（5）换元法

运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如y＝ax＋b±

（a、b、c、d均为常数，且a≠0）的函数常用此法求解．

在用换元法求值域时一定要注意新元的范围对值域的影响．

（6）判别式法

把函数转化成关于x的二次方程F（x，y）＝0，通过方程有实根，判别式Δ≥0，从而求得原函数的值域，形如y＝（a1，a2不同时为零）的函数的值域常用此法求解．

注意事项：

①函数的定义域应为R；

②分子、分母没有公因式．

（7）利用函数的有界性

形如sinα＝f（y），x2＝g（y），ax＝h（y）等，因为|sinα|≤1，x2≥0，ax＞0可解出y的范围，从而求出其值域或最值．

（8）数形结合法

若函数的解析式的几何意义较明显，诸如距离、斜率等，可用数与形结合的方法．

（9）重要不等式

利用均值不等式：

a＋b≥2，

ab≤2，a2＋b2≥2ab.

用此法求函数值域时，要注意条件“一正，二定，三相等”．如：

利用a＋b≥2求某些函数值域（或最值）时应满足三个条件：

①a＞0，b＞0；

②a＋b（或ab）为定值；

③取等号条件a＝b.三个条件缺一不可．

（10）利用函数的单调性

①单调函数的图象是一致上升或一致下降的，因此若函数在端点处有定义，则函数在端点处取最值．即

若f（x）在[a，b]上单调递增，则y最小＝f（a），y最大＝f（b）；

若f（x）在[a，b]上单调递减，则y最小＝f（b），y最大＝f（a）．

如果函数在端点处没有定义，则不可能在端点处取得最值．

②关于自变量x的一次根式，如y＝ax＋b＋，若ad＞0，则用单调性求值域或最值；

若ad＜0，则用换元法．

③形如y＝x＋（k＞0）的函数．在不能用重要不等式的情况下（等号不成立），可考虑用函数的单调性，当x＞0时，函数y＝x＋（k＞0）的单调减区间为（0，]，单调增区间为[，＋∞）．平时，大家把函数y＝x＋（k＞0，x＞0）叫做对号函数（图象形如“√”），其分界点为（，2），至于x＜0的情况，可根据函数的奇偶性加以解决．

（11）导数法：

利用导函数求最值．导函数法求值域的方法我们将在后面学习．

4．条件最值

所谓条件最值，即函数在一定条件下才能取得最值，或者说函数的最值受到某种条件的制约和影响．因此，在求条件最值时，一定要注意所求最值是否符合条件；

尤其是实际应用题，要检查所求最值是否符合实际意义．

下列问题都是条件最值．

（1）已知x2＋y2＝x，求u＝3x2＋y2的最值．

（2）已知y2＝x，求d＝的最小值．

二元函数的条件最值，一般都是根据条件将二元函数化为一元函数．但要特别注意自变量的范围.

典例对对碰

题型一求函数的值域

例1求下列函数的值域：

（1）y＝，x∈[－3，－1]；

（2）y＝2x＋；

（3）y＝x＋4＋；

（4）y＝；

（5）y＝；

（6）y＝log3x＋logx3－1；

（7）y＝＋.

解析　

（1）反函数法

由y＝得x＝.

∵－3≤x≤－1，∴－3≤≤－1.

解得≤y≤3，得y∈[，3]．

（2）（换元法）令t＝（t≥0），则x＝.

∴y＝－t2＋t＋1＝－（t－）2＋.

∴当t＝，即x＝时，ymax＝，无最小值．

（3）用三角换元法．

令x＝3cosθ，θ∈[0，π]，则

y＝3cosθ＋4＋3sinθ＝3sin（θ＋）＋4.

∵0≤θ≤π，≤θ＋≤，

∴－≤sin（θ＋）≤1.

∴1≤y≤3＋4，

∴ymax＝3＋4，ymin＝1.

（4）（判别式法）观察函数式，可用判别式法将已知的函数式变形为

yx2＋2yx＋3y＝2x2＋4x－7，

（y－2）x2＋2（y－2）x＋3y＋7＝0.

显然y≠2（用判别式之前，首先须讨论x2的系数）．将上式视作关于x的一元二次方程．

∵x∈R，即上述关于x的一元二次方程有实根，所以

[2（y－2）]2－4（y－2）（3y＋7）≥0.

解这个不等式得－≤y≤2.

又y≠2，∴函数的值域为[－，2）．

（5）（有界性法）利用三角函数的有界性较数形结合[y＝为点（2,0）与点（cosx，－sinx）连线的斜率]的过程要简单．

将原函数化为sinx＋ycosx＝2y，

（sinx·

＋cosx）＝2y.

令cosφ＝，且sinφ＝，

得sin（x＋φ）＝，≤1，

平方得3y2≤1.

∴－≤y≤.

（6）（不等式法）原函数式化为y＝log3x＋－1.

当x＞1时，log3x＞0，

故有y≥2－1＝1.

当且仅当log3x＝，即log3x＝1，

即x＝3时等号成立．

当0＜x＜1时，log3x＜0，－log3x＞0.

∴y＝log3x＋－1

＝－（－log3x－）－1

≤－2－1＝－3.

综上可知，函数的值域为{y|y≤－3或y≥1}．

（7）（数形结合法）如图，函数y＝f（x）的几何意义为：

平面内一点P（x,0）到两点A（－3,4）和B（5,2）距离之和就是y的值．由平几知识，找出B关于x轴的对称点B′（5，－2）连AB′交x轴于一点P为所求的点，最小值y＝|AB′|＝＝10.所以y∈[10，＋∞）．

点评　求函数值域的方法很多，但是每种方法都有各自适用的题型，每种方法也都有各自的特点，在求值域时要针对题目的特征，灵活的选用求值域的方法，并注意每种方法容易出错的地方，例如：

用不等式法时是否满足“一正，二定，三相等”，用换元法时应注意到新元的范围，用判别式法时定义域是否是自然定义域等.

变式迁移1

求下列函数的值域：

（1）y＝；

（2）y＝；

（3）y＝；

（4）y＝2x－.

解析　

（1）由y＝得，2x＝.

∵2x＞0，∴＞0⇒y＞1或y＜－1，

∴原函数的值域为（－∞，－1）∪（1，＋∞）．

（2）原式等价于y＝1－，

显然≠0，∴y≠1.

∴函数的值域为（－∞，1）∪（1，＋∞）．

（3）解法一　∵2＋x－x2＝－（x－）2＋≤，

此时有三种情况，若－（x－）2＋＜0，则y＜0；

若－（x－）2＋＝0，则y无意义；

若0＜－（x－）2＋≤，

则y＝≥.

∴函数的值域为（－∞，0）∪[，＋∞）．

解法二　∵x≠2且x≠－1，

∴所给的函数式可以转化为yx2－yx－2y＋1＝0，

∵必有实数满足这个方程，并对任何实数x，都有y≠0，

于是Δ＝（－y）2－4y（1－2y）≥0，

解得y∈（－∞，0）∪[，＋∞）．

当x＝2或x＝－1时函数式无意义，

（4）设t＝≥0，则x＝t2＋1（t≥0），

∴y＝2（t2＋1）－t＝2（t－）2＋，

∵t≥0，

∴y∈[，＋∞），

∴函数y＝2x－的值域是[，＋∞）.

题型二对号函数求最值

例2已知函数y＝x＋有如下性质：

如果常数a＞0，那么该函数在（0，]上是减函数，在[，＋∞）上是增函数．

（1）如果函数y＝x＋在（0,4]上是减函数，在[4，＋∞）上是增函数，求实常数b的值；

（2）设常数c∈[1,4]，求函数f（x）＝x＋（1≤x≤2）的最大值和最小值．

分析　利用函数y＝x＋（a＞0）的性质寻找解题途径．

解析　

（1）由y＝x＋在（0,4]上是减函数，在[4，＋∞）上是增函数，y＝x＋（a＞0）的性质知

＝4,2b＝16，∴b＝4.

（2）由于c∈[1,4]，则1≤≤2，又x∈[1,2]，

由y＝x＋（a＞0）的性质知当x＝时，f（x）取最小值为2，又f

（1）＝1＋c，f

（2）＝2＋，

而f

（1）－f

（2）＝－1＝，

∴当2＜c≤4时，f

（1）＞f

（2）．

即f（x）最大值为f

（1）＝1＋c.

当1≤c＜2时，f

（1）＜f

（2），

∴f（x）最大值为f

（2）＝2＋.

当c＝2时，f

（1）＝f

（2）＝3，

这时f（x）最大值在x＝1或x＝2时解得其值为3.

变式迁移2

求函数y＝x＋（2≤x≤9）的值域．

解析　y＝x＋＝x－1＋＋1.

∵2≤x≤9，∴1≤x－1≤8，

令x－1＝t∈[1,8]

则y＝t＋＋1

由对号函数的单调性可知t＋∈[4，]，

∴y∈[5，].

题型三条件最值

例3设x，y≥0,2x＋y＝6，求Z＝