高考数学 第十一节 函数的值域与最值教材Word文件下载.docx

1、（2）确定函数值域取决于这一函数的定义域和对应法则一般地，若一个函数的定义域和对应法则中有一个不相同，求得的函数值域就可能不同，即使是对于同一个对应法则给出的函数，若改变了它的定义域，所求的值域也可能不同2函数的最大值与最小值的定义（1）定义一般地，设函数yf（x）的定义域为D，x0D.如果对于任意的xD，均有f（x）f（x0），则称f（x0）为函数f（x）的最大值，记作f（x）maxf（x0）；如果对于任意的xD，均有f（x）f（x0），则称f（x0）为函数f（x）的最小值，记作f（x）minf（x0）（2）对最值的理解从图象上看，函数的最大值就是图象上最高处点的纵坐标；函数的最小值就是图象

2、上最低处点的纵坐标函数yf（x）的图象如图所示可知当x时函数的最大值为1，当x1时最小值为.从定义中可以看出函数的最大值是函数值域中的最大者，函数的最小值是函数值域中的最小者因此要证明或判断一个数是函数的最大（小）值，就必须证明或判断值域中的其他数都比它小（大），有时需要用到有关不等式的知识极值与最值极值是函数的局部性质，极大（小）值是函数在某一区间上的最大（小）值，而最大值与最小值则分别是函数在整个定义域内的最大的函数值和最小的函数值并不是所有的函数都有最大值与最小值如：函数yx3（xR）在定义域内就没有最大值，也没有最小值3函数值域的求法（1）列举法即直接根据函数的定义域与对应法则将函数值

3、一一求出来写成集合形式这种方法只适于值域B中元素为有限或虽然是无限但却是与自然数有关的集合荻里克莱函数：f（x）函数的值域为0,1（2）逐层求值域法：逐层求值域法就是根据x的取值范围一层一层地去求函数的值域例如：求函数f（x），x2,5的值域x2,52x4,1012x9，3，函数f（x）的值域为，逐层求值域法适用于函数解析式中只有一个地方出现变量x.（3）分离常数法形如y（a0）的函数，这种类型的函数值域经常使用“分离常数法”求解（4）配方法配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如F（x）af 2（x）bf（x）c的函数的值域问题，均可使用配方法（5）换元法运用代数或三角代换，将所给函数化

4、成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如yaxb（a、b、c、d均为常数，且a0）的函数常用此法求解在用换元法求值域时一定要注意新元的范围对值域的影响（6）判别式法把函数转化成关于x的二次方程F（x，y）0，通过方程有实根，判别式0，从而求得原函数的值域，形如y（a1，a2不同时为零）的函数的值域常用此法求解注意事项：函数的定义域应为R；分子、分母没有公因式（7）利用函数的有界性形如sinf（y），x2g（y），axh（y）等，因为|sin|1，x20，ax0可解出y的范围，从而求出其值域或最值（8）数形结合法若函数的解析式的几何意义较明显，诸如距离、斜率等，可用数与形结合的方法（

5、9）重要不等式利用均值不等式：ab2，ab2，a2b22ab.用此法求函数值域时，要注意条件“一正，二定，三相等”如：利用ab2求某些函数值域（或最值）时应满足三个条件：a0，b0；ab（或ab）为定值；取等号条件ab.三个条件缺一不可（10）利用函数的单调性单调函数的图象是一致上升或一致下降的，因此若函数在端点处有定义，则函数在端点处取最值即若f（x）在a，b上单调递增，则y最小f（a），y最大f（b）；若f（x）在a，b上单调递减，则y最小f（b），y最大f（a）如果函数在端点处没有定义，则不可能在端点处取得最值关于自变量x的一次根式，如yaxb，若ad0，则用单调性求值域或最值；若ad0

6、，则用换元法形如yx（k0）的函数在不能用重要不等式的情况下（等号不成立），可考虑用函数的单调性，当x0时，函数yx（k0）的单调减区间为（0，单调增区间为，）平时，大家把函数yx（k0，x0）叫做对号函数（图象形如“”），其分界点为（，2），至于x0的情况，可根据函数的奇偶性加以解决（11）导数法：利用导函数求最值导函数法求值域的方法我们将在后面学习4条件最值所谓条件最值，即函数在一定条件下才能取得最值，或者说函数的最值受到某种条件的制约和影响因此，在求条件最值时，一定要注意所求最值是否符合条件；尤其是实际应用题，要检查所求最值是否符合实际意义下列问题都是条件最值（1）已知x2y2x，求u3

7、x2y2的最值（2）已知y2x，求d的最小值二元函数的条件最值，一般都是根据条件将二元函数化为一元函数但要特别注意自变量的范围.典 例 对 对 碰题型一 求函数的值域例1求下列函数的值域：（1）y，x3，1；（2）y2x；（3）yx4；（4）y；（5）y；（6）ylog3xlogx31；（7）y.解析（1）反函数法由y得x.3x1，31.解得y3，得y，3（2）（换元法）令t（t0），则x.yt2t1（t）2.当t，即x时，ymax，无最小值（3）用三角换元法令x3cos，0，则y3cos43sin3sin（）4.0，sin（）1.1y34，ymax34，ymin1.（4）（判别式法）观察函数

8、式，可用判别式法将已知的函数式变形为yx22yx3y2x24x7，（y2）x22（y2）x3y70.显然y2（用判别式之前，首先须讨论x2的系数）将上式视作关于x的一元二次方程xR，即上述关于x的一元二次方程有实根，所以2（y2）24（y2）（3y7）0.解这个不等式得y2.又y2，函数的值域为，2）（5）（有界性法）利用三角函数的有界性较数形结合y为点（2,0）与点（cosx，sinx）连线的斜率的过程要简单将原函数化为sinxycosx2y，（sinxcosx）2y.令cos，且sin，得sin（x），1，平方得3y21.y.（6）（不等式法）原函数式化为ylog3x1.当x1时，log3

9、x0，故有y211.当且仅当log3x，即log3x1，即x3时等号成立当0x1时，log3x0，log3x0.ylog3x1（log3x）1213.综上可知，函数的值域为y|y3或y1（7）（数形结合法）如图，函数yf（x）的几何意义为：平面内一点P（x,0）到两点A（3,4）和B（5,2）距离之和就是y的值由平几知识，找出B关于x轴的对称点B（5，2）连AB交x轴于一点P为所求的点，最小值y|AB|10.所以y10，）点评求函数值域的方法很多，但是每种方法都有各自适用的题型，每种方法也都有各自的特点，在求值域时要针对题目的特征，灵活的选用求值域的方法，并注意每种方法容易出错的地方，例如：用

10、不等式法时是否满足“一正，二定，三相等”，用换元法时应注意到新元的范围，用判别式法时定义域是否是自然定义域等.变式迁移1求下列函数的值域：（1）y；（2）y；（3）y；（4）y2x.解析（1）由y得，2x.2x0，0y1或y1，原函数的值域为（，1）（1，）（2）原式等价于y1，显然0，y1.函数的值域为（，1）（1，）（3）解法一2xx2（x）2，此时有三种情况，若（x）20，则y0；若（x）20，则y无意义；若0（x）2，则y.函数的值域为（，0），）解法二x2且x1，所给的函数式可以转化为yx2yx2y10，必有实数满足这个方程，并对任何实数x，都有y0，于是（y）24y（12y）0，解

11、得y（，0），）当x2或x1时函数式无意义，（4）设t0，则xt21（t0），y2（t21）t2（t）2，t0，y，），函数y2x的值域是，）.题型二 对号函数求最值例2已知函数yx有如下性质：如果常数a0，那么该函数在（0，上是减函数，在，）上是增函数（1）如果函数yx在（0,4上是减函数，在4，）上是增函数，求实常数b的值；（2）设常数c1,4，求函数f（x）x（1x2）的最大值和最小值分析利用函数yx（a0）的性质寻找解题途径解析（1）由yx在（0,4上是减函数，在4，）上是增函数，yx（a0）的性质知4,2b16，b4.（2）由于c1,4，则12，又x1,2，由yx（a0）的性质知当x时，f（x）取最小值为2，又f（1）1c，f（2）2，而f（1）f（2）1，当2c4时，f（1）f（2）即f（x）最大值为f（1）1c.当1c2时，f（1）f（2），f（x）最大值为f（2）2.当c2时，f（1）f（2）3，这时f（x）最大值在x1或x2时解得其值为3.变式迁移2求函数yx（2x9）的值域解析yxx11.2x9，1x18，令x1t1,8则yt1由对号函数的单调性可知t4，y5，.题型三 条件最值例3设x，y0,2xy6，求Z