高中数学学年最新北师大版数学必修四教学案第一章9三角函数的简单应用文档格式.docx
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故函数解析式为y＝Acost＋b.由t＝0时，y＝1.5得A＋b＝1.5，
由t＝3时，y＝1.0得b＝1，∴A＝0.5，
故函数解析式为y＝0.5cost＋1.
（2）由题意可知，当y>
1时才对冲浪者开放，
即0.5cost＋1>
1，cost>
0，
则2kπ－<
t<
2kπ＋，k∈Z，
即12k－3<
12k＋3（k∈Z），
又∵8≤t≤20，∴k＝1，∴9<
15，
故在规定时间从上午8：
00到晚上20：
00，有6个小时的时间可供冲浪者进行活动，开放冲浪场所的具体时间段为上午9：
00到下午15：
00.
根据给出的函数模型，利用表中的数据，找出变化规律，运用已学的知识与三角函数的知识，求出函数解析式中的参数，将实际问题转化三角方程或三角不等式，然后解方程或不等式，可使问题得以解决．
练一练
1．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12h，低潮时水的深度为8.4m，高潮时为16m，一次高潮发生在10月10日4：
00.每天涨潮落潮时，水的深度d（m）与时间t（h）近似满足关系式d＝Asin（ωt＋φ）＋h（A>
0）．
（1）若从10月10日0：
00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深d（m）和时间t（h）之间的函数关系；
（2）10月10日17：
00该港口水深约为多少？
（保留一位小数）
（3）10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3m?
解：
（1）依题意知T＝＝12，
故ω＝，h＝＝12.2，
A＝16－12.2＝3.8，
所以d＝3.8sin（t＋φ）＋12.2；
又因为t＝4时，d＝16，所以sin（＋φ）＝1，
所以φ＝－，所以d＝3.8sin（t－）＋12.2.
（2）t＝17时，d＝3.8sin（－）＋12.2
＝3.8sin＋12.2≈15.5（m）．
（3）令3.8sin（t－）＋12.2＜10.3，
有sin（t－）＜－，
因此2kπ＋＜t－＜2kπ＋（k∈Z），
所以2kπ＋＜t＜2kπ＋2π，k∈Z，
所以12k＋8＜t＜12k＋12.
令k＝0，得t∈（8，12）；
令k＝1，得t∈（20，24）．
故这一天共有8小时水深低于10.3m.
2．如图所示的为一个观览车示意图，该观览车的半径为4.8m，圆上最低点与地面的距离为0.8m，60s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面的距离为h.
（1）求h与θ之间的函数关系式；
（2）设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t之间的函数关系式；
（3）求缆车首次到达最高点所用的时间．
[尝试解答]
（1）以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则以Ox为始边，OB为终边的角为θ－，
故点B的坐标为
（4.8cos（θ－），4.8sin（θ－）），
∴h＝5.6＋4.8sin（θ－）＝5.6－4.8cosθ（θ≥0）．
（2）点A在圆上转动的角速度是rad/s，
故t秒转过的弧度数为t，
∴h＝5.6－4.8cos，t∈[0，＋∞）．
（3）到达最高点时，h＝10.4m.
由cost＝－1，得×
t＝π，∴t＝30.
∴缆车首次到达最高点所用的时间为30s.
解答三角函数应用题的一般步骤：
练一练
2．如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行，已知圆环的半径为m，
圆环的圆心距离地面的高度为1m，蚂蚁每分钟爬行一圈，若蚂蚁的起始位置在最低点P0处．
（1）试确定在时刻t（单位：
s）时蚂蚁距离地面的高度h（单位：
m）；
（2）在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，有多长时间蚂蚁距离地面超过m?
（1）以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设ts时蚂蚁到达点P，则蚂蚁转过的角的弧度数为t＝t，
于是点P的纵坐标y＝sin（t－）＝－cost.
∴h＝1＋y＝1－cost（t≥0）．
（2）由1－cost>
得cost<
，
又由0≤t≤60，得0≤t≤2π，
∴<
，解得10<
50.
所以一圈内有40s的时间蚂蚁距离地面超过m.
下表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表（时间近似到0.1小时）
日期
1月
1日
2月
28日
3月
21日
4月
27日
5月
6日
6月
8月
13日
9月
20日
10月
25日
12月
位置
序号x
1
59
80
117
126
172
225
263
298
355
白昼
时间
y（小时）
5.6
10.2
12.4
16.4
17.3
19.4
8.5
5.4
（1）以日期在365天中的位置序号x为横坐标，白昼时间y为纵坐标，画出这些数据的散点图；
（2）试选用一个函数来近似描述一年中白昼时间y与日期位置序号x之间的函数关系；
（注：
一年按365天计算）
（3）用
（2）中的函数模型估计该地一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时．
[巧思] 解答本题的关键是根据表中数据准确画出散点图，再根据散点图的特征确定函数模型，并求出其解析式，进而可解答问题（3）．
[妙解]
（1）如图所示
（2）由散点图知白昼时间与日期序号之间的函数关系近似为y＝Asin（ωx＋φ）＋t，
由图形知函数的最大值为19.4，最小值为5.4，
即ymax＝19.4，ymin＝5.4，
由19.4－5.4＝14，得A＝7；
由19.4＋5.4＝24.8，得t＝12.4；
又T＝365，∴ω＝.
当x＝172时，x＋φ＝，
∴φ＝－.
∴y＝7sin＋12.4（1≤x≤365，x∈N＋）．
（3）由y>
15.9，得sin>
x－<
＋<
x<
＋，
∴112≤x≤232.
∴该地大约有121天白昼时间大于15.9小时．
1．将单摆的摆球拉至平衡位置左侧无初速释放，并同时开始计时，取平衡位置为坐标原点，且向右为正，则下列振动图像中正确的是（ ）
解析：
选D 依题意t＝0时，位移y最小．
2．某人的血压满足函数关系式f（t）＝24sin160πt＋110，其中f（t）为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为（ ）
A．60 B．70
C．80D．90
选C T＝＝，∴f＝＝80.
3.如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，－），角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图像大致为（ ）
选C 根据点P的坐标可得∠xOP0＝，故∠xOP＝t－，设P（x，y），则由三角函数的定义，可得sin∠xOP＝，即sin（t－）＝⇒y＝2sin（t－），因此点P到x轴的距离d＝|y|＝2|sin（t－）|，根据解析式可得C选项图像符合条件．
4.如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离scm和时间ts的函数关系式为s＝6sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为________．
T＝＝1.
答案：
1
5．一个物体相对于某一固定位置的位移y（cm）和时间t（s）之间的对应值如表所示：
0.1
0.2
0.3
0.4
0.6
0.7
0.8
－4.0
－2.8
0.0
2.8
4.0
则可近似地描述该物体的位移y和时间t之间关系的一个三角函数为________．
由表中数据可设函数解析式为：
y＝Asin（ωt＋φ）（A>
0），则A＝4，T＝0.8，ω＝＝＝，将（0，－4）代入函数解析式中，有sinφ＝－1，得到φ＝－，故函数解析式为y＝4sin＝－4cost.
y＝－4cost
6.如果某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin（ωx＋φ）＋b.如图所示．
（1）求这一天的最大用电量及最小用电量；
（2）写出这段曲线的函数解析式．
（1）最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．
（2）观察题图可知，从8～14时的图像是y＝Asin（ωx＋φ）＋b的半个周期的图像，
∴A＝×
（50－30）＝10，b＝×
（50＋30）＝40.
∵×
＝14－8，∴ω＝.
∴y＝10sin＋40.
将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝，
∴所求解析式为y＝10sin＋40，x∈[8，14]．
一、选择题
1．为了使函数y＝sinωx（ω>
0）在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是（ ）
A．98π B.π
C.πD．100π
选B 由49T≤1，得T≤，即≤，ω≥π.
2.如图为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y（m）与时间x（s）满足函数关系y＝Asin（ωx＋φ）＋2，则有（ ）
A．ω＝，A＝3B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5D．ω＝，A＝5
选A 依题意A＝3，且水轮每15s转一圈，故周期T＝15，ω＝＝.
3．一简谐运动的图像如图，则下列判断正确的是（ ）
A．该质点的振动周期为0.7s
B．该质点的振幅为5cm
C．该质点在0.1s和0.5s时速度最大
D．该质点在0.3s和0.7s时加速度最大
选B 周期为2×
（0.7－0.3）＝0.8s，故A错；
由题中图像可知，振幅为5cm，故B正确；
在最高点时，速度为零，加速度最大，故C，D错．
4．下表是某城市2011年月平均气温（单位：
°
F）.
月份
2
4
5
平均气温
21.4
26.0
36.0
48.8
59.1
68.6
7
8
10
11
73.1
71.9
64.7
53.5
39.8
27.7
若用x表示月份，y表示平均气温，则下面四个函数模型中最合适的是（ ）
A．y＝26cosxB．y＝26cos＋46
C．y＝－26cos＋46D．y＝26cosx＋46
选C 由数据得到，从1月到7月是上升的趋势，只有C满足要求．
二、填空题
5．一根长lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s（cm）与时间t（s）的函数关系式是s＝3cos（t＋），其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1s时，线长l等于____
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