第二章力矩有固定转动轴物体的平衡Word文档下载推荐.docx

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1．为什么要引进力矩

力对质点运动的作用效果取决于它的大小和方向。

而力对物体转动的作用效果不仅与力的大小和方向有关，还与力的作用点的位置有关，为了描写力的大小、方向和作用点对物体转动的作用效果，需要引进力矩这个物理量。

力臂：

力的作用线与转动轴之间的距离称为力臂。

力矩：

力（F）和力臂（L）的乘积称为力对转动轴的力矩。

2．关于力的作用线与转动轴的距离

力的作用线是力的方向上的一条假想的直线。

力的作用线与转动轴的距离实际上涉及到两条线之间的距离。

一般情况下确定空间中任意两条直线间的距离比较麻烦。

我们所讨论的仅限于力的作用线都在同一个与转动轴相垂直的平面内，若该平面与转动轴的交点称为O，那么我们需考虑的空间中两条直线（力的作用线与转动轴线）间距离的问题便简化为一个点（O点）与一条直线（力的作用线）间距离的问题。

3．求力矩的两种基本方法

（1）先求力臂的方法：

先求力臂，再求力矩的方法计算力臂的要点是，从转动轴作力的作用线的垂线，其垂线长即为该力对于转动轴的力臂。

力臂的计算通常要用到三角函数。

（2）力的分解方法：

先将力正交分解为两个分力，然后分别计算两个分力对转动轴的力矩，该力的力矩就等于这两个分力力矩的代数和（注意力矩正负的判断）。

在一般情况下，可使其中一个分力的作用线过转动轴，其力臂为零，因而力矩为零，这时只要计算另一个分力的力矩即可。

三、例题分析

【示例】如图2-1（a）所示，长度为l＝1m的杆OB可绕通过O点垂直于纸面的轴转动，绳AB的拉力为20N，杆OB刚好水平，AB与OB的夹角为30°

。

求拉力的力矩。

【解答】分别用先求力臂的方法和力的分解方法计算。

（1）先求出拉力F的力臂。

如图2-1（b）所示，对于转轴O来说，力F的力臂为L＝lsinθ，其中θ＝30°

，因此拉力F对于转轴O的力矩为

M＝FL＝Flsinθ＝20×

1×

sin30°

N·

m＝10N·

m。

（2）先将拉力F分解为垂直于杆方向的分力F1＝Fsinθ，以及沿杆方向的分力F2＝Fcosθ，如图2-1（c）所示。

其中沿杆方向的分力F1指向转轴，相应的力臂为零，所以相应的力矩也为零。

而垂直于杆方向的分力F1的力臂就等于OB的长度l，因此相应的力矩为

M＝F1l＝Fsinθl＝20×

×

1N·

两者结果完全相同。

四、基本训练

1．用一把柄的长度为25cm的扳手拧紧一尺汽车轮胎上的螺帽，如图所示。

如果你在扳手的一端沿与扳手柄成60°

角的方向上用200N的力拉扳手，则所施的力矩是多少？

2．图中各物体都受到几个力的作用，并且可以分别绕通过O点且垂直于纸面的轴转动，画出图中各个力以O点为转动轴的力臂；

哪些力矩是引起顺时针方向转动的力矩？

哪些是引起逆时针方向转动的力矩？

哪些力对O点的力矩为零？

3．OA是一根长为l，质量为m的均匀铁棒，可绕O点的轴自由转动，问：

当恒定外力F将它拉到如图所示位置的过程中，该棒所受的重力是否改变？

重力对O点的力臂和力矩是否改变？

怎样改变？

F对O点的力臂和力矩是否改变？

4．如图所示，直杆OA可绕通过O点，且垂直于纸面的轴转动，杆的A端分别受到F1、F2、F3、F4的作用。

已知力的作用线都在纸面内，且这四个力的矢量末端均落在一条与OA平行的虚线上，设它们对O轴的力矩分别为M1、M2、M3、M4，则这四个力矩大小的关系是（）

（A）M1＞M2＞M3＞M4

（B）M1＝M2＝M3＝M4

（C）M1＜M2＜M3＜M4

（D）以上说法都不对

5．在如图所示的绞盘的把手上，应至少施以多大的力，才能使紧绕在滚筒上的绳子产生2500N的拉力？

滚筒和把手的尺寸如图中所示。

6．联系本节课本开头的跷跷板游戏情景，求解如下问题：

如图所示，杠杆AB可绕通过O点，且垂直于纸面的轴转动。

它受到两个力作用，力FA的大小为80N，其作用线与AO的夹角为θ＝60°

；

FB的大小为30N，方向与OB垂直。

AO＝0.8m，OB＝2.2m。

求FA和FB对于转轴O的力矩。

7．一根长为L、重为G的均匀杆，一端搁在光滑水平地面上，另一端为转轴，如图所示。

杆与水平地面的夹角为θ，则杆所受重力对转轴的力矩为_______。

如果地面对杆的支持力为F，则支持力F对转轴的力矩为__________。

8．如图所示，AB是一根质量为m、长度为L的均匀金属杆，静止在水平位置，其A端用细绳悬挂，细绳与水平面的夹角为θ；

转轴在C点，BC长L/4，问：

这根金属杆的AC段和CB段的重力对C点的力矩分别是多少？

如果细绳的拉力为T，那么该拉力对C点的力矩又是多少？

9．如图所示，小型臂式起重设备的吊杆质量为150kg，其重心与转轴O的距离是吊杆长度的。

当吊杆与水平方向的夹角为θ＝30°

时，最大安全负载为3000N。

如果这一最大负载是由O处的转轴所能承受的最大力矩所确定的，那么当θ＝45°

和60°

时，这台起重机的最大安全负载分别是多少？

10．如图所示，重为G的L型匀质杆的一端O通过铰链与墙体连接，一个力F作用在B端，当F与水平面成α＝45°

角时，杆的OA边恰好静止在水平方向。

已知OA长为2L，AB长为L。

试分别用先求力臂的方法和力的分解方法计算力对转轴O的力矩M。

11．有一块均匀的直角三角形木板ABC，可绕通过C点且垂直于纸面的轴转动，如图（a）所示。

现用力使它的BC边从水平位置转至竖直位置，在此过程中，重力对转轴的力矩大小随α角变化的图线是图（b）中的（）

12．将一个横卧的油桶推上高为h的台阶。

油桶的半径为R（R＞h），竖直向上的推力F，作用在桶的最左边的一点，同时F2作用在桶的最高点，如图所示。

则推力F1和F2对转动轴O的力矩各是多少？

B有固定转动轴物体的平衡条件

理解有固定转动轴的物体的平衡，知道转动平衡状态，理解有固定转动轴的物体的“力矩平衡条件”；

会利用力矩盘实验探究有固定转动轴的物体的平衡条件；

会运用力矩平衡条件求解有关问题，解释生活和生产中的实际问题。

通过力矩盘实验，经历和感受从实验中归纳出力矩平衡条件的探究过程，了解运用力矩平衡条件设计出千姿百态、风格迥异的各种桥梁和大型建筑，领略科学美。

1．理解力矩平衡条件

有固定转动轴的物体处于平衡状态（即静止或匀速转动状态）时，施加在该物体上所有力的力矩应当满足的条件称为“力矩平衡条件”。

力矩平衡条件可用公式表示为：

M逆＝M顺，其中M逆和M顺分别表示从转轴的一个方向上看，能引起物体沿逆时针和顺时针方向转动的所有力矩之和。

2．运用力矩平衡条件解决问题的一般步骤

①明确作为研究对象的物体，以及转动轴；

②分析物体上所受的力的大小、方向、作用点，画出受力图。

凡是其作用线通过转轴的力可不考虑（通过转轴的力的力臂为零，因此力矩为零）；

③得出每个力对转动轴的力臂和力矩，确定每个力矩究竟是顺时针力矩还是逆时针力矩；

④列出力矩平衡条件方程，解出未知量。

3．关于转动轴的确定

在我们所讨论的问题中，“固定转动轴”比较明显，如杠杆的支点、圆盘的轴心，但是在实际中，有些问题中的转动轴并不十分明显，有些甚至没有明显的转动轴（见A节基本训练中的第12题、本节基本训练中的第9题），这时常常需要根据“转动趋势”来确定转动轴。

【示例】如图2-2（a）所示，一根长4m的木杆，假定下端用铰链固定在地面上，杆的顶端有根水平电线向左拉，拉力FT恒为500N。

杆的右边用一根长度为4m的钢绳将杆垂直固定在地面上。

（1）如果钢绳上端A离地面的高度为3.5m，此时钢绳受到的拉力是多少？

（2）为了使钢绳受到的拉力最小，其上端A离地面的高度应是多少？

此时钢绳受到的拉力又是多少？

【解析】设杆长为L；

钢绳的拉力为F；

钢绳的长度为l，其上端A离地面的高度为x，下端B到铰链的距离为y，钢绳与杆的夹角为α，如图2-2（b）所示。

（1）有三个力作用在杆上：

水平电线对杆的拉力FT，钢绳的拉力F，在铰链处地面对杆的支持力。

其中地面对杆的支持力对转轴的力矩为零；

R对转动轴的力矩为M逆＝FTL；

F对转轴的力矩为M顺＝Fxsinα。

由力矩平衡条件，得

Fxsinα＝FTL

考虑到sinα＝＝，并将已知量FT＝500N、L＝4m、x＝4m、x＝3.5m代入，由上式可得解：

F＝＝N＝1180.3N。

（2）由上面的力矩平衡条件，考虑到sinα＝，可得

F＝

为了得到最后结果，需应用F最小的条件。

要使F最小，xy必需最大。

考虑到2xy＝x2＋y2－（x－y）2＝l2－（x－y）2，可见要使xy最大，应取x＝y，故

X＝y＝＝m＝2.83m。

因此，

F＝＝N＝1000N。

即钢绳应固定在杆上离地面高度为2.83m处，此时钢绳受到的拉力最小，为1000N。

1．如图所示，T型架ABO可绕过O点且垂直于纸面的轴自由转动，现在其A端和B端分别施以力F1和F2，它们的方向如图所示。

则关于这两个力的力矩M1和M2的下列说法正确的是（）

（A）都会引起物体顺时针方向转动

（B）都会引起物体逆时针方向转动

（C）M1会引起物体逆时针方向转动，M2会引起物体顺时针方向转动

（D）M1会引起物体顺时针方向转动，M2会引起物体逆时针方向转动

2．如图所示，一根均匀直杆OA可绕过O点且垂直于纸面的轴转动。

为了测量杆的质量，用一个F＝12N的水平力在A端将它拉到与竖直方向成30°

角的位置并处于静止状态，杆的质量是多少？

3．一架简单的起重机结构示意图如图所示。

设均匀杆OB长为L，重为G1，B端所挂物件的重力为G2。

杆可绕过O点且垂直于纸面的轴自由转动。

杆的B端用轻质钢绳紧拉，系于地面上的A点。

杆与地面成60°

角，钢绳与地面成30°

角。

此时钢绳AB的拉力对O点的力臂为_______；

悬挂物体轻质钢绳的拉力对O点的力矩为____，钢绳AB的拉力为_______。

4．道路上有时使用的交通指示牌及其支架如图所示。

若指示牌的质量为5kg，它悬挂在长度为3m的水平杆AB的一端，杆CD的长度为2m，θ＝30°

，这些杆的质量都不计，求CD杆中的拉力。

5．从图（a）起重吊车工作时的情景可抽象出一个如图（b）所示的关于力矩平衡的物理问题。

质量为m＝500kg，长度OA＝6m的均质吊杆OA可绕通过O点且垂直于纸面的轴转动，吊杆与地面的夹角为α＝45°

A处吊挂物件的质量为M＝2000kg。

撑杆BC此时与吊杆间的夹角为β＝30°

，OC＝2.5m。

求撑杆的支撑力FT。

6．如图所示，已知O为杆的中点，G＝200N，杆的质量忽略不计。

分别沿DA（水平向左）、DB（与杆垂直）、