高中数学第二单元平面向量231向量数量积的物理背景与定义学案北师大版必修4Word文档格式.docx

高中数学第二单元平面向量231向量数量积的物理背景与定义学案北师大版必修4Word文档格式.docx

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思考2　对于两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·

b，即a·

b＝|a|·

|b|cosθ，那么a·

b的运算结果是向量还是数量？

特别地，零向量与任一向量的数量积是多少？

梳理　向量数量积的定义

____________叫做向量a和b的数量积（或内积），记作a·

b＝|a||b|cosa，b.

知识点四　向量数量积的性质

思考1　设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·

b等于多少？

反之成立吗？

思考2　当a与b同向时，a·

b等于什么？

当a与b反向时，a·

特别地，a·

a等于什么？

思考3　︱a·

b︱与︱a||b︱的大小关系如何？

为什么？

对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？

梳理　两个向量内积有如下重要性质

（1）如果e是单位向量，则a·

e＝e·

a＝__________（a≠0）.

（2）a⊥b⇒a·

b＝____，且a·

b＝________⇒a⊥b（a≠0，b≠0）.

（3）a·

a＝______或|a|＝________.

（4）cos〈a，b〉＝________________（|a||b|≠0）.

（5）|a·

b|________|a||b|.

类型一　求两向量的数量积

例1　已知|a|＝4，|b|＝5，当

（1）a∥b；

（2）a⊥b；

（3）a与b的夹角为30°

时，分别求a与b的数量积.

反思与感悟　求平面向量数量积的步骤：

（1）求a与b的夹角θ，θ∈[0°

，180°

]；

（2）分别求|a|和|b|；

（3）求数量积，即a·

|b|cosθ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·

”连接，而不能用“×

”连接，也不能省去.

跟踪训练1　已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°

，则·

等于（　　）

A.－a2B.－a2C.a2D.a2

类型二　求向量的模

引申探究

若本例中条件不变，求|2a＋b|，|a－2b|.

例2　已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，求|a＋b|，|a－b|.

反思与感悟　此类求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝，勿忘记开方.

跟踪训练2　已知|a|＝|b|＝5，且|3a－2b|＝5，求|3a＋b|的值.

类型三　求向量的夹角

例3　设n和m是两个单位向量，其夹角是60°

，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角.

反思与感悟　当求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是[0，π].

跟踪训练3　已知a·

b＝－9，a在b方向上的正射影的数量为－3，b在a方向上的正射影的数量为－，求a与b的夹角θ.

1.已知|a|＝8，|b|＝4，〈a，b〉＝120°

，则向量b在a方向上的正射影的数量为（　　）

A.4B.－4C.2D.－2

2.设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·

b等于（　　）

A.1B.2C.3D.5

3.若a⊥b，c与a及与b的夹角均为60°

，|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则（a＋2b－c）2＝________.

4.在△ABC中，||＝13，||＝5，||＝12，则·

的值是________.

5.已知正三角形ABC的边长为1，求：

（1）·

；

（2）·

（3）·

.

1.两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正（当a≠0，b≠0,0°

≤θ<

90°

时），也可以为负（当a≠0，b≠0,90°

<

θ≤180°

时），还可以为0（当a＝0或b＝0或θ＝90°

时）.

2.两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆.

3.在a·

b＝|a||b|cosθ中，|b|cosθ和|a|cosθ分别叫做b在a方向上的正射影的数量和a在b方向上的正射影的数量，要结合图形严格区分.

4.求射影有两种方法

（1）b在a方向上的正射影的数量为|b|cosθ（θ为a，b的夹角），a在b方向上的正射影的数量为|a|cosθ.

（2）b在a方向上的正射影的数量为，a在b方向上的正射影的数量为.

5.两非零向量a，b，a⊥b⇔a·

b＝0，求向量模时要灵活运用公式|a|＝.

答案精析

问题导学

知识点一

思考1　存在夹角，不一样．

思考2　如图，延长AB至点D，使AB＝BD，则＝a，

∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°

，则∠CBD＝120°

，故向量a与b的夹角为120°

梳理　

（1）∠AOB　〈a，b〉　0≤〈a，b〉≤π

〈b，a〉　

（2）〈a，b〉＝　a⊥b

知识点二

思考　向量b在轴上的射影是一个向量，其在轴上的坐标为数量，其符号取决于夹角θ的范围：

当θ为锐角时，该数量为正值；

当θ为钝角时，该数量为负值；

当θ为直角时，该数量为0；

当θ＝0°

时，该数量为|b|；

当θ＝180°

时，该数量为－|b|.

梳理　轴l　轴l的方向

知识点三

思考1　W＝|F||s|cosθ.

思考2　a·

b的运算结果是数量．

0·

a＝0.

梳理　|a||b|cosa，b

知识点四

思考1　a⊥b⇔a·

b＝0.

思考2　a与b同向时，a·

b＝|a||b|；

b＝－|a||b|；

a·

a＝a2＝|a|2或|a|＝.

b︱≤︱a||b︱，设a与b的夹角为θ，

则a·

b＝|a||b|cosθ.

两边取绝对值得|a·

b|＝|a||b||cosθ|≤|a||b|.

当且仅当|cosθ|＝1，

即cosθ＝±

1，θ＝0或π时，取“＝”.

所以|a·

b|≤|a||b|.

cosθ＝.

梳理　

（1）|a|cos〈a，e〉　

（2）0　0

（3）|a|2　.　（4

（5）≤

题型探究

例1　解　

（1）当a∥b时，若a与b同向，则θ＝0°

，a·

|b|cos0°

＝4×

5＝20；

若a与b反向，则θ＝180°

，

∴a·

|b|cos180°

5×

（－1）＝－20.

（2）当a⊥b时，θ＝90°

|b|cos90°

＝0.

（3）当a与b的夹角为30°

时，

|b|cos30°

＝10.

跟踪训练1　D

例2　解　a·

b＝|a||b|cosθ

＝5×

＝.

|a＋b|＝

＝

＝＝5.

|a－b|＝

解　a·

＝，

|2a＋b|＝

|a－2b|＝

跟踪训练2　|3a＋b|＝20.

例3　解　∵|n|＝|m|＝1且m与n的夹角是60°

∴m·

n＝|m||n|cos60°

＝1×

1×

|a|＝|2m＋n|＝

＝＝，

|b|＝|2n－3m|＝

b＝（2m＋n）·

（2n－3m）

＝m·

n－6m2＋2n2

＝－6×

1＋2×

1＝－.

设a与b的夹角为θ，

则cosθ＝＝＝－.

又∵θ∈[0，π]，

∴θ＝，故a与b的夹角为.

跟踪训练3　θ＝120°

当堂训练

1．D　2.A　3.11　4.－25

5．解　

（1）∵与的夹角为60°

∴·

＝||||cos60°

（2）∵与的夹角为120°

＝||||cos120°

＝－.

（3）∵与的夹角为60°