大学物理21习题详细答案Word下载.docx
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带电半球壳在O点的总电场强度
由于，，
所以
方向沿x轴负向
12-7．如习题12-7图所示，A、B为真空中两个平行的“无限大”均匀带电平面，已知两平面间的电场强度为E0，两平面外侧电场强度大小都是，方向如图。
求两平面A、B上的面电荷密度A和B。
[解]无限大平面产生的电场强度为
则
解得
12-8．一半径为R的带电球体，其体电荷密度分布为=Ar（r≤R），（r>
R），A为常量。
试求球内、外的场强分布。
[解]在带电球体内外分别做与之同心的高斯球面。
应用高斯定理有
q为高斯球面内所包围的电量。
设距球心r处厚度为dr的薄球壳所带电量为dq
r≤R时
解得（r≤R）（或）
r>
R时高斯面内包围的是带电体的总电量Q
应用高斯定理
（r>
R）（或）
当A>
0时，电场强度方向均径向向外；
当A<
0时，电场强度方向均指向球心。
12-9．有一带电球壳，内、外半径分别为R1和R2，体电荷密度，在球心处有一点电荷Q，求当A取什么值时，球壳区域内（R1<
r<
R2）的场强E的大小与r无关。
[解]以同心球面为高斯面，电通量为
当时与r无关。
因此得证。
12-10．一球体内均匀分布着体电荷密度为的正电荷，若保持电荷分布不变，在该球体内挖去半径为r的一个小球体，球心为O，两球心间距离，如习题12-10图所示。
求：
（1）在球形空腔内，球心O处的电场强度；
（2）在球体内点P处的电场强度E。
设O、O、P三点在同一直径上，且=d。
[解]在空腔内分别填上密度为的电荷和密度为的电荷。
（1）处的电场强度是密度为的大球和的小球所产生的电场强度的叠加。
大球产生电场强度：
在球体内做半径为d的同心高斯球面，应用高斯定理
而小球产生电场强度由于对称性为0
因此点的电场强度
（2）P点的电场强度也是两球电场强度的叠加。
同理大球产生的电场强度
小球产生的电场强度
合电场强度
12-11．一半径为R的带电球体，其体电荷密度分布为
（r≤R）
R）
试求：
（1）带电球体的总电量；
（2）球内外各点的场强；
（3）球内外各点的电势。
[解]
（1）带点球体的总电量：
（2）在带电球体内外分别做与之同心的高斯球面。
为高斯球面内所包围的电量。
R时高斯面内包围的是带电体的总电量q
R）方向沿径向（或）
当q>
当q<
（3）
12-12．如习题12-12图所示，在Oxy平面内有与y轴平行、位于和处的两条无限长平行均匀带电直线，电荷线密度分别为+和。
求z轴上任一点的电场强度。
[解]无限长带电直线在线外任一点的电电场强度度
所以P点的电场强度
由对称性知合电场强度的z方向分量为零，x方向分量
而
所以方向指向x轴负方向
12-13．如习题12-13图所示，在半径为R，体电荷密度为的均匀带电球体内点处放一个点电荷q。
点O、P、N、M处的场强（、O、P、N、M在一条直线上）。
[解]由电场叠加原理
12-14．如习题12-14图所示一环形薄片由细绳悬吊着，环的外半径R，内半径为R/2，并有电量Q均匀分布在环面上。
细绳长3R，也有电量Q均匀分布在绳上，试求圆环中心处的电场强度（圆环中心在细绳的延长线上）。
【解】：
以悬点为坐标原点，建立竖直向下为x轴的正方向，在x位置处任取一微元dx，在圆环中处的电场强度为
则这个细绳上的电荷在圆心处产生的电场强度为
环形薄片上的电荷在圆心处产生的电场强度为零，因此所有电荷在环心处产生的电场强度为
方向竖直向下
12-15．电量q均匀分布在长为2l的细杆上，求在杆外延长线上与杆端距离为a的点P的电势（以无穷远为零电势点）。
[解]取如图所示的电荷元dq，，它在P点产生的电势为
则整个带电直线在P点产生的电势为
12-16．习题12-16图为两个半径均为R的非导体球壳，表面上均匀带电，带电量分别为+Q和-Q，两球心距离为d（d>
>
2R），求两球心间的电势差。
[解]设带正电的球壳中心的电势为，带负电的为。
根据电势叠加原理有
两球心间的电势差
12-17.两根半径都是R的无限长直线，彼此平行放置，两者轴线间距为d（d>
2R），单位长度上的带电量分别为+和-,求两直线间的电势差。
[解一]由高斯定理可求出，两导线之间任一点的电电场强度度为
两导线间的电势差为
[解二]由带正电直导线产生电势差为
由带负电直导线产生电势差为
因此两导线间的电势差为
12-18.如习题12-18图所示，电荷面密度分别为+和-的两块无限大均匀带电平面，处于与平面垂直的x轴上的-a和+a的位置上。
设坐标原点O处的电势为零，试求空间的电势分布并画出其曲线。
[解]无限大带电平板外电场强度的大小为
空间的电场强度：
电势：
电势分布曲线：
12-19.如习题12-19图所示，两无限长的同轴均匀带电圆筒，内筒半径为R1，单位长度带电量为1，外筒半径为R2，单位长度带电量为2。
图中a、b两点间的电势差Uab；
当零参考点选在轴线处时，求Ua。
[解]以垂直于轴线的端面与半径为r，长为l，过所求场点的同轴柱面为封闭的高斯面。
根据高斯定理
所以
12-20.如习题12-20图所示，一半径为R的均匀带正电圆环，其线电荷密度为。
在其轴线上有A、B两点，它们与环心的距离分别为，。
一质量为m、带电量为q的粒子从点A运动点B，求在此过程中电场力作的功。
[解]由于带电圆环轴线上一点的电电场强度度为
所以A、B两点间的电势差为
因此从点A运动点B电场力作功
12-21.如习题12-21图所示，半径为R的均匀带电球面，带电量为q。
沿径矢方向上有一均匀带电细线，线电荷密度为，长度为l，细线近端离球心的距离为r0。
设球面和线上的电荷分布不受相互作用的影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能（设无穷远处的电势为零）。
[解一]取坐标如图，在距原点为x处取线元dx，dx的电量为，该线元在带电球面电场中所受电场力为
整个细线所受电场力为
dq在q的电场中具有电势能
第十三章
13-3．如习题13-3图所示，将一块原来不带电的金属板B移近一块已带有正电荷Q的金属板A，平行放置。
设两板面积都是S，板间距为d，忽略边缘效应，试求：
（1）板B不接地时，两板间的电势差；
（2）板B接地时，两板间的电势差。
[解]由例题13-1的结论知：
两带电导体平板相向面上电荷面密度大小相等符号相反，而相背面上电荷面密度大小相等符号相同，因此：
（1）板B不接地时，A、B两板上的电荷分布如图13-3
（1）所示：
因而板间电场强度为
电势差为
（2）板B接地时，A、B两板上的电荷分布如图13-3
（2）所示，
故板间电场强度为，电势差为
13-4两块靠近的平行金属板间原为真空。
使两板分别带上电荷面密度为0的等量异号电荷，这时两板间电压为U0=300V。
保持两板上电量不变，将板间一半空间充以相对电容率为r=5的电介质，如习题13-4图所示，试求：
（1）金属板间有电介质部分和无电介质部分的E和D，以及板上自由电荷密度；
（2）金属板间电压和电介质上、下表面的束缚电荷面密度。
13-5．如习题13-5图所示，三个无限长的同轴导体圆柱面A、B和C，半径分别为RA、RB、RC。
圆柱面B上带电荷，A和C都接地。
求B的内表面上线电荷密度1和外表面上线电荷密度2之比值1/2。
[解]由A、C接地
由高斯定理知
因此
13-6．如习题13-6图所示，一厚度为d的无限大均匀带电导体板，单位面积上两表面带电量之和为。
试求离左表面的距离为a的点与离右表面的距离为b的点之间的电势差。
[解]导体板内场强，由高斯定理可得板外场强为
故A、B两点间电势差为
13-7．为了测量电介质材料的相对介电常数，将一块厚为1.5cm的平板材料慢慢地插进一电容器的距离为2.0cm的两平行板中间，插入过程中电容器的电荷保持不变。
插入之后两板间的电势差减小到原来的60％，试求电介质的相对介电常数。
[解]设两平行板间距离为d，介质板厚度为，插入前电容器电势差为U，插入后为，电容器上面电荷密度为。
插入介质板前电容器内场强，电势差
插入介质板后，电容器内空气中场强仍为E，介质内场强
两板间的电势差
已知，因此有
解此方程得
13-8．半径都是R的两根“无限长”均匀带电直导线的电荷线密度分别为和，两直导线平行放置，相距为d（d>
R）。
试求该导体组单位长度的电容。
[解]可用叠加原理及高斯定理计算两导线间垂直连线上任意点P的场强。
如图所示，过P分别做两个长为L，与两条直导线共轴的闭合圆柱面作为高斯面。
根据高斯定理分别计算每条线上电荷产生的场强。
同理
根据叠加原理，P点总场强为
两条线间电压为
故单位长度电容
13-9．一电容器由两个很长的同轴薄圆筒组成，内、外圆筒半径分别为R1=2cm，R2=5cm，其间充满相对电容率为r的各向同性均匀电介质，电容器接在U=32V的电源上，如习题13-9图所示。
试求距离轴线R=3.5cm的点A处的电场强度和点A与外筒间的电势差。
[解]做半径为r（R1<
R2）,高为L的同轴圆柱面为高斯面，由高斯定理
因此
=12.5V
13-10．置于球心的点电荷+Q被两同心球壳所包围，大球壳为导体，小球壳为电介质，相对电容率为r，球壳的尺寸如习题13-10图所示。
试求:
（1）电位移矢量D；
（2）电电场强度度E；
（3）极化强度P；
（4）极化电荷激发的电场强度E；
（5）面电荷密度；
（6）电能密度e。
[解]
（1）由有介质的高斯定理
（2）由静电场的性能方程得
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