考点23 空间几何中的平行原卷版Word文档下载推荐.docx
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判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)
∵a∥β,b∥β,a∩b=P,a⊂α,b⊂α,∴α∥β
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行
∵α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,∴a∥b
如果两个平面互相平行,其中一个平面内的一直线平行与另外平面
三.线线平行
1.相似比(常用三角形的中位线)
2.构造平行四边形(证明一组对边平行且相等)
3.平行的传递性
4.线面垂直的性质:
垂直同一个平面的两条直线平行
5.线面平行的性质
6.面面平行的性质
7.平面向量
8.空间向量
四.线面平行
证明线面平行有两种常用方法:
一是线面平行的判定定理;
二是先利用面面平行的判定定理证明面面平行,再根据面面平行的性质证明线面平行.
考向一三角形的中位线证线面平行
【例1】
(2021·
全国高三专题练习节选)如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,设G,H分别为PB,AC的中点,求证:
平面.
【方法总结】
三角形中位线证明线面平行思路
(1)通过把面外的直线平移到平面内找到与之平行的直线
(2)构造三角形中位线
【举一反三】
1.(2021·
广东湛江节选)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为BC,AC的中点,AB=BC.求证:
A1B1平面DEC1.
2.(2020·
全国高三专题练习)在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别是AC,B1C的中点.求证:
3.(2021·
南宁市邕宁高级中学节选)如图,正四棱锥中,E为PA的中点,求证:
平面EBD.
考向二构造平行四边形证线面平行
【例2】
(2020·
全国高三专题练习节选)如图,直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.证明:
MN∥平面C1DE;
构造平行四边形证线面平行
(2)构造平行四边形,通过一组对边平行且相等证明平行四边形
(3)利用平行四边形的性质证明线线平行
1.(2020·
广东梅州节选)如图,四棱锥P−ABCD中,E是PD的中点.证明:
直线平面PAB.
2.(2021·
全国高三专题练习节选)如图所示,已知正方形.、分别是、的中点,将沿折起.证明平面.
河南洛阳市节选)在棱长为2的正方体中,是底面的中心,求证:
平面
考向三三角形相似比证线面平行
【例3】
内蒙古赤峰市·
高三月考节选)如图,四棱锥中,底面为直角梯形,且,点在棱上.证明:
当时,直线平面
浙江杭州市·
高三期末节选)在三棱锥中,为等腰直角三角形,点,分别是线段,的中点,点在线段上,且.若,,.
(Ⅰ)求证:
平面;
江西吉安市节选)如图,在三棱锥中,已知是正三角形,为的重心,,分别为,的中点,在上,且,求证:
考向四面面平行的性质证线面平行
【例4】
江西宜春市节选)如图所示,在多面体中,,,,四边形为矩形,证明:
面面平行的性质证明线面平行
1:
把线放在某个平面或构造一个平面与之平行
2.利用面面平行的性质证明线面平行
全国高三月考节选)斜三棱柱中,设中点为,且,分别为,的中点,证明:
2.(2021·
宁夏吴忠市节选)如图,在三棱锥中,点D、E、F分别为棱PA、PC、BC的中点,G为AD的中点,求证:
平面BDE
考向五证明线线平行--线面垂直的性质
【例5】
江西赣州市节选)在如图所示的几何体中,,,均为等边三角形,且平面平面,平面平面,证明:
;
1.如图,与都是边长为2的正三角形,平面平面,平面,,证明:
直线平面;
2如图,菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2,且平面ABCD⊥平面BCE,平面ABCD,.求证:
平面ABCD
考向六面面平行
【例6】
江西省奉新县第一中学节选)如图,在多面体中,面为正方形,面和面为全等的矩形,求证:
平面平面
【举一反三】
武汉市第一中学节选)如图所示,多面体中,四边形为菱形,,求证:
山西吕梁市节选)正方体,为中点,为的中点,求证:
∥平面
安徽高三期末节选)如图,在四棱柱中,底面是菱形,点E,F分别为,的中点,点G在上,证明:
平面ACE
安徽淮南市节选)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形,O是AC与BD的交点,E为PB的中点,求证:
平面PAD
河南高三月考节选)如图,在四棱锥中,底面是正方形,为的中点,平面
江西吉安市·
高三节选)在四棱锥中,底面四边形是边长为1的正方形,,分别是,的中点,求证:
江西景德镇市节选)如图,,,点为的中点,求证:
4.(2021·
广西河池市节选)如图,在长方体中,E为AB的中点,F为的中点,证明:
5.(2021·
安徽蚌埠市·
高三二模节选)如图,已知四边形和均为直角梯形,,,且,.,求证:
6.(2021·
河南节选)如图,在长方体中,底面是正方形,为的中点,证明:
7.(2021·
河南驻马店市·
高三期末节选)如图,该多面体由底面为正方形的直四棱柱被截面所截而成,其中正方形的边长为,是线段上(不含端点)的动点,,证明:
8.(2021·
山西运城市·
高三期末节选)如图,在几何体中,四边形为等腰梯形,且,,四边形为矩形,且,M,N分别为,的中点,求证:
9.(2021·
安徽黄山市节选)已知四棱锥中,,设平面平面,求证:
10.(2021·
江苏苏州市节选)如图所示,在四棱锥中,底面是正方形,对角线与交于点,点在棱上,若平面,求的值;
11.(2021·
安徽六安市·
高三一模节选)如图,在四棱锥中,,,E是PD的中点,证明:
平面PBC
12.(2021·
浙江台州市·
高三期末节选)如图,在三梭柱中,为的中点,求证:
13.(2021·
江西高三其他模拟节选)如图,已知四边形为菱形,对角线与相交于O,,平面平面直线,求证:
14.(2020·
全国高三专题练习)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,S是B1D1的中点,E,F,G分别是BC,DC,SC的中点,求证:
(1)直线EG平面BDD1B1;
(2)平面EFG平面BDD1B1.
15.(2020·
全国高三专题练习)如图,在四棱锥中,为的中点,在上,且,,证明:
16.(2020·
贵溪市第一中学节选)已知四边形为梯形,,对角线、交于点,平面,,,为线段上的点,,证明: