考点23 空间几何中的平行原卷版Word文档下载推荐.docx

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判定定理

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（简记为“线面平行⇒面面平行”）

∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，∴α∥β

性质定理

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b

如果两个平面互相平行，其中一个平面内的一直线平行与另外平面

三．线线平行

1.相似比（常用三角形的中位线）

2.构造平行四边形（证明一组对边平行且相等）

3.平行的传递性

4.线面垂直的性质：

垂直同一个平面的两条直线平行

5.线面平行的性质

6.面面平行的性质

7.平面向量

8.空间向量

四．线面平行

证明线面平行有两种常用方法：

一是线面平行的判定定理；

二是先利用面面平行的判定定理证明面面平行，再根据面面平行的性质证明线面平行．

考向一三角形的中位线证线面平行

【例1】

（2021·

全国高三专题练习节选）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，设G，H分别为PB，AC的中点，求证：

平面.

【方法总结】

三角形中位线证明线面平行思路

（1）通过把面外的直线平移到平面内找到与之平行的直线

（2）构造三角形中位线

【举一反三】

1．（2021·

广东湛江节选）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：

A1B1平面DEC1.

2．（2020·

全国高三专题练习）在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别是AC，B1C的中点．求证：

3．（2021·

南宁市邕宁高级中学节选）如图，正四棱锥中，E为PA的中点，求证：

平面EBD.

考向二构造平行四边形证线面平行

【例2】

（2020·

全国高三专题练习节选）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．证明：

MN∥平面C1DE；

构造平行四边形证线面平行

（2）构造平行四边形，通过一组对边平行且相等证明平行四边形

（3）利用平行四边形的性质证明线线平行

1．（2020·

广东梅州节选）如图，四棱锥P−ABCD中，E是PD的中点．证明：

直线平面PAB.

2．（2021·

全国高三专题练习节选）如图所示，已知正方形.、分别是、的中点，将沿折起.证明平面.

河南洛阳市节选）在棱长为2的正方体中，是底面的中心，求证:

平面

考向三三角形相似比证线面平行

【例3】

内蒙古赤峰市·

高三月考节选）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，且，点在棱上.证明：

当时，直线平面

浙江杭州市·

高三期末节选）在三棱锥中，为等腰直角三角形，点，分别是线段，的中点，点在线段上，且.若，，.

（Ⅰ）求证：

平面；

江西吉安市节选）如图，在三棱锥中，已知是正三角形，为的重心，，分别为，的中点，在上，且，求证：

考向四面面平行的性质证线面平行

【例4】

江西宜春市节选）如图所示，在多面体中，，，，四边形为矩形，证明：

面面平行的性质证明线面平行

1：

把线放在某个平面或构造一个平面与之平行

2.利用面面平行的性质证明线面平行

全国高三月考节选）斜三棱柱中，设中点为，且，分别为，的中点，证明：

2.（2021·

宁夏吴忠市节选）如图，在三棱锥中，点D、E、F分别为棱PA、PC、BC的中点，G为AD的中点，求证：

平面BDE

考向五证明线线平行--线面垂直的性质

【例5】

江西赣州市节选）在如图所示的几何体中，，，均为等边三角形，且平面平面，平面平面，证明：

；

1．如图，与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面，，证明：

直线平面；

2如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，且平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD，．求证：

平面ABCD

考向六面面平行

【例6】

江西省奉新县第一中学节选）如图，在多面体中，面为正方形，面和面为全等的矩形，求证：

平面平面

【举一反三】

武汉市第一中学节选）如图所示，多面体中，四边形为菱形，，求证：

山西吕梁市节选）正方体，为中点，为的中点，求证：

∥平面

安徽高三期末节选）如图，在四棱柱中，底面是菱形，点E，F分别为，的中点，点G在上，证明：

平面ACE

安徽淮南市节选）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，O是AC与BD的交点，E为PB的中点，求证：

平面PAD

河南高三月考节选）如图，在四棱锥中，底面是正方形，为的中点，平面

江西吉安市·

高三节选）在四棱锥中，底面四边形是边长为1的正方形，，分别是，的中点，求证：

江西景德镇市节选）如图，，，点为的中点，求证：

4．（2021·

广西河池市节选）如图，在长方体中，E为AB的中点，F为的中点，证明：

5．（2021·

安徽蚌埠市·

高三二模节选）如图，已知四边形和均为直角梯形，，，且，.，求证：

6．（2021·

河南节选）如图，在长方体中，底面是正方形，为的中点，证明：

7．（2021·

河南驻马店市·

高三期末节选）如图，该多面体由底面为正方形的直四棱柱被截面所截而成，其中正方形的边长为，是线段上（不含端点）的动点，，证明：

8．（2021·

山西运城市·

高三期末节选）如图，在几何体中，四边形为等腰梯形，且，，四边形为矩形，且，M，N分别为，的中点，求证：

9．（2021·

安徽黄山市节选）已知四棱锥中，，设平面平面，求证：

10．（2021·

江苏苏州市节选）如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，对角线与交于点，点在棱上，若平面，求的值;

11．（2021·

安徽六安市·

高三一模节选）如图，在四棱锥中，，，E是PD的中点，证明：

平面PBC

12．（2021·

浙江台州市·

高三期末节选）如图，在三梭柱中，为的中点，求证：

13．（2021·

江西高三其他模拟节选）如图，已知四边形为菱形，对角线与相交于O，，平面平面直线，求证：

14．（2020·

全国高三专题练习）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证：

（1）直线EG平面BDD1B1；

（2）平面EFG平面BDD1B1.

15.（2020·

全国高三专题练习）如图，在四棱锥中，为的中点，在上，且，，证明：

16.（2020·

贵溪市第一中学节选）已知四边形为梯形，，对角线、交于点，平面，，，为线段上的点，，证明：