专题67 费马点中三线段模型与最值问题解析版Word格式文档下载.docx
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△ADC≌△ABE.
(3)记CD、BE交点为P,点P即为费马点.(到这一步其实就可以了)
(4)以BC为边作等边△BCF,连接AF,必过点P,有∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°
.
在图三的模型里有结论:
(1)∠BPD=60°
;
(2)连接AP,AP平分∠DPE.
有这两个结论便足以说明∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°
.原来在“手拉手全等”就已经见过了呀,只是相逢何必曾相识!
【精典例题】
1、如图,四边形ABCD是菱形,AB=4,且∠ABC=∠ABE=60°
,G为对角线BD(不含B点)上任意一点,将△ABG绕点B逆时针旋转60°
得到△EBF,当AG+BG+CG取最小值时EF的长( )
A.B.C.D.
【答案】D
【详解】
解:
如图,
∵将△ABG绕点B逆时针旋转60°
得到△EBF,
∴BE=AB=BC,BF=BG,EF=AG,
∴△BFG是等边三角形.
∴BF=BG=FG,.
∴AG+BG+CG=FE+GF+CG.
根据“两点之间线段最短”,
∴当G点位于BD与CE的交点处时,AG+BG+CG的值最小,即等于EC的长,
过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F,
∴∠EBF=180°
-120°
=60°
,
∵BC=4,
∴BF=2,EF=2,在Rt△EFC中,
∵EF2+FC2=EC2,
∴EC=4.
∵∠CBE=120°
∴∠BEF=30°
∵∠EBF=∠ABG=30°
∴EF=BF=FG,
∴EF=CE=,
故选:
D.
2、如图,将绕点逆时针旋转60°
得到,与交于点,可推出结论:
问题解决:
如图,在中,,,.点是内一点,则点到三个顶点的距离和的最小值是___________
【答案】
如图,将△MOG绕点M逆时针旋转60°
,得到△MPQ,
显然△MOP为等边三角形,
∴,OM+OG=OP+PQ,
∴点O到三顶点的距离为:
ON+OM+OG=ON+OP+PQ,
∴当点N、O、P、Q在同一条直线上时,有ON+OM+OG最小,
此时,∠NMQ=75°
+60°
=135°
过Q作QA⊥NM交NM的延长线于A,则∠MAQ=90°
∴∠AMQ=180°
-∠NMQ=45°
∵MQ=MG=4,
∴AQ=AM=MQ•cos45°
=4,
∴NQ=,
故答案为:
.
3、如图,四边形是菱形,B=6,且∠ABC=60°
,M是菱形内任一点,连接AM,BM,CM,则AM+BM+CM的最小值为________.
将△BMN绕点B顺时针旋转60度得到△BNE,∵BM=BN,∠MBN=∠CBE=60°
,∴MN=BM∵MC=NE∴AM+MB+CM=AM+MN+NE.当A、M、N、E四点共线时取最小值AE.
∵AB=BC=BE=6,∠ABH=∠EBH=60°
,∴BH⊥AE,AH=EH,∠BAH=30°
,∴BH=AB=3,AH=BH=,∴AE=2AH=.
故答案为.
4、如图,△ABC中,∠BAC=30°
且AB=AC,P是底边上的高AH上一点.若AP+BP+CP的最小值为2,则BC=_____.
【答案】
如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°
得到△AMG.连接PG,CM.
∵AB=AC,AH⊥BC,
∴∠BAP=∠CAP,
∵PA=PA,
∴△BAP≌△CAP(SAS),
∴PC=PB,
∵MG=PB,AG=AP,∠GAP=60°
∴△GAP是等边三角形,
∴PA=PG,
∴PA+PB+PC=CP+PG+GM,
∴当M,G,P,C共线时,PA+PB+PC的值最小,最小值为线段CM的长,
∵AP+BP+CP的最小值为2,
∴CM=2,
∵∠BAM=60°
,∠BAC=30°
∴∠MAC=90°
∴AM=AC=2,
作BN⊥AC于N.则BN=AB=1,AN=,CN=2-,
∴BC=.
5、如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°
得到BN,连接EN、AM、CM.
⑴求证:
△AMB≌△ENB;
⑵①当M点在何处时,AM+CM的值最小;
②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由;
⑶当AM+BM+CM的最小值为时,求正方形的边长.
(1)△AMB≌△ENB,证明略。
(2)①当M点落在BD的中点时,AM+CM的值最小.
②连接CE,当M点位于BD与CE的交点处时,
AM+BM+CM的值最小,图略
(3)
【解析】
(满分13分)解:
⑴∵△ABE是等边三角形,
∴BA=BE,∠ABE=60°
∵∠MBN=60°
∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN.
即∠BMA=∠NBE.
又∵MB=NB,
∴△AMB≌△ENB(SAS).………………5分
⑵①当M点落在BD的中点时,AM+CM的值最小.………………7分
②如图,连接CE,当M点位于BD与CE的交点处时,
AM+BM+CM的值最小.………………9分
理由如下:
连接MN.由⑴知,△AMB≌△ENB,
∴AM=EN.
,MB=NB,
∴△BMN是等边三角形.
∴BM=MN.
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM.………………10分
根据“两点之间线段最短”,得EN+MN+CM=EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时,AM+BM+CM的值最小,即等于EC的长.……11分
⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F,
∴∠EBF=90°
-60°
=30°
设正方形的边长为x,则BF=x,EF=.
在Rt△EFC中,
∵EF2+FC2=EC2,
∴()2+(x+x)2=.………………12分
解得,x=(舍去负值).
∴正方形的边长为.………………13分
6、在正方形ABCD中,点E为对角线AC(不含点A)上任意一点,AB=;
(1)如图1,将△ADE绕点D逆时针旋转90°
得到△DCF,连接EF;
①把图形补充完整(无需写画法);
②求的取值范围;
(2)如图2,求BE+AE+DE的最小值.
(1)①补图见解析;
②;
(2)
(1)①如图△DCF即为所求;
②∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=AB=2,∠B=90°
,∠DAE=∠ADC=45°
∴AC==AB=4,
∵△ADE绕点D逆时针旋转90°
得到△DCF,
∴∠DCF=∠DAE=45°
,AE=CF,
∴∠ECF=∠ACD+∠DCF=90°
设AE=CF=x,EF2=y,则EC=4−x,
∴y=(4−x)2+x2=2x2−8x+160(0<x≤4).
即y=2(x−2)2+8,
∵2>0,
∴x=2时,y有最小值,最小值为8,
当x=4时,y最大值=16,
∴8≤EF2≤16.
(2)如图中,将△ABE绕点A顺时针旋转60°
得到△AFG,连接EG,DF.作FH⊥AD于H.
由旋转的性质可知,△AEG是等边三角形,
∴AE=EG,
∵DF≤FG+EG+DE,BE=FG,
∴AE+BE+DE的最小值为线段DF的长.
在Rt△AFH中,∠FAH=30°
,AB==AF,
∴FH=AF=,AH==,
在Rt△DFH中,DF==,
∴BE+AE+ED的最小值为.