专题67 费马点中三线段模型与最值问题解析版Word格式文档下载.docx

1、ADCABE（3）记CD、BE交点为P，点P即为费马点（到这一步其实就可以了）（4）以BC为边作等边BCF，连接AF，必过点P，有PAB=BPC=CPA=120在图三的模型里有结论：（1）BPD=60；（2）连接AP，AP平分DPE有这两个结论便足以说明PAB=BPC=CPA=120原来在“手拉手全等”就已经见过了呀，只是相逢何必曾相识！【精典例题】1、如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且ABC=ABE=60，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将ABG绕点B逆时针旋转60得到EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（）A B C D【答案】D【详解】解：如图，将ABG绕点B逆时针旋

2、转60得到EBF，BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG，BFG是等边三角形BF=BG=FG，AG+BG+CG=FE+GF+CG根据“两点之间线段最短”，当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长，过E点作EFBC交CB的延长线于F，EBF=180-120=60，BC=4，BF=2，EF=2，在RtEFC中，EF2+FC2=EC2，EC=4CBE=120BEF=30EBF=ABG=30EF=BF=FG，EF=CE=，故选：D2、如图，将绕点逆时针旋转60得到，与交于点，可推出结论：问题解决：如图，在中，点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是_【答案】如图，

3、将MOG绕点M逆时针旋转60，得到MPQ，显然MOP为等边三角形，OMOGOPPQ，点O到三顶点的距离为：ONOMOGONOPPQ，当点N、O、P、Q在同一条直线上时，有ONOMOG最小，此时，NMQ75+60135过Q作QANM交NM的延长线于A，则MAQ=90AMQ180-NMQ=45MQMG4，AQAMMQcos45=4，NQ，故答案为：.3、如图，四边形 是菱形，B=6，且ABC=60 ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为_将BMN绕点B顺时针旋转60度得到BNE，BM=BN，MBN=CBE=60，MN=BM MC=NEAM+MB+CM=AM+MN+

4、NE当A、M、N、E四点共线时取最小值AEAB=BC=BE=6，ABH=EBH=60，BHAE，AH=EH，BAH=30，BH=AB=3，AH=BH=，AE=2AH=故答案为4、如图，ABC中，BAC30且ABAC，P是底边上的高AH上一点若AP+BP+CP的最小值为2，则BC_【答案】 如图将ABP绕点A顺时针旋转60得到AMG连接PG，CMAB=AC，AHBC，BAP=CAP，PA=PA，BAPCAP（SAS），PC=PB，MG=PB，AG=AP，GAP=60GAP是等边三角形，PA=PG，PA+PB+PC=CP+PG+GM，当M，G，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段C

5、M的长，AP+BP+CP的最小值为2，CM=2，BAM=60，BAC=30MAC=90AM=AC=2，作BNAC于N则BN=AB=1，AN=，CN=2-，BC=5、如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM. 求证：AMBENB； 当M点在何处时，AMCM的值最小；当M点在何处时，AMBMCM的值最小，并说明理由； 当AMBMCM的最小值为时，求正方形的边长.（1）AMBENB，证明略。（2）当M点落在BD的中点时，AMCM的值最小.连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AMBMCM的值最

6、小，图略（3）【解析】（满分13分）解：ABE是等边三角形，BABE，ABE60MBN60MBNABNABEABN.即BMANBE.又MBNB，AMBENB（SAS）. 5分当M点落在BD的中点时，AMCM的值最小. 7分如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AMBMCM的值最小. 9分理由如下：连接MN.由知，AMBENB，AMEN.，MBNB，BMN是等边三角形.BMMN.AMBMCMENMNCM. 10分根据“两点之间线段最短”，得ENMNCMEC最短当M点位于BD与CE的交点处时，AMBMCM的值最小，即等于EC的长.11分过E点作EFBC交CB的延长线于F，EBF90603

7、0设正方形的边长为x，则BFx，EF.在RtEFC中，EF2FC2EC2，（）2（xx）2. 12分解得，x（舍去负值）.正方形的边长为. 13分6、在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上任意一点，AB=；（1）如图1，将ADE绕点D逆时针旋转90得到DCF，连接EF；把图形补充完整（无需写画法）； 求的取值范围；（2）如图2，求BE+AE+DE的最小值（1）补图见解析；（2）（1）如图DCF即为所求；四边形ABCD是正方形，BCAB2，B90，DAEADC45ACAB4，ADE绕点D逆时针旋转90得到DCF，DCFDAE45，AECF，ECFACDDCF90设AECFx，EF2y，则EC4x，y（4x）2x22x28x160（0x4）即y2（x2）28，20，x2时，y有最小值，最小值为8，当x4时，y最大值16，8EF216（2）如图中，将ABE绕点A顺时针旋转60得到AFG，连接EG，DF作FHAD于H由旋转的性质可知，AEG是等边三角形，AEEG，DFFGEGDE，BEFG，AEBEDE的最小值为线段DF的长在RtAFH中，FAH30，AB=AF，FHAF，AH，在RtDFH中，DF，BEAEED的最小值为