最新经典试题系列高考题选编解答题部分圆锥曲线的方程三文档格式.docx

最新经典试题系列高考题选编解答题部分圆锥曲线的方程三文档格式.docx

《最新经典试题系列高考题选编解答题部分圆锥曲线的方程三文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新经典试题系列高考题选编解答题部分圆锥曲线的方程三文档格式.docx（25页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

令，由题意b≠0且

Δ＞0，解得b＜1且b≠0．

（Ⅱ）设所求圆的一般方程为,令＝0得这与＝0是同一个方程，故D＝2，F＝．令＝0得＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1．所以圆C的方程为.

（Ⅲ）圆C必过定点（0，1）和（－2，1）．证明如下：

将（0，1）代入圆C的方程，得左边＝0＋1＋2×

0－（b＋1）＋b＝0，右边＝0，所以圆C必过定点（0，1）．同理可证圆C必过定点（－2，1）．

3.（湖北卷19）如图，在以点为圆心，为直径的半圆中，，是半圆弧上一点，，曲线是满足为定值的动点的轨迹，且曲线过点.

（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线的方程；

（Ⅱ）设过点的直线l与曲线相交于不同的两点、.若△的面积不小于，求直线斜率的取值范围.

（Ⅰ）以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A（-2，0），B（2，0），D（0,2）,P（），∴｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜

＝＜｜AB｜＝4.∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.设实平轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则c＝2，2a＝2，∴a2=2,b2=c2-a2=2.∴曲线C的方程为.

解法二：

同解法1建立平面直角坐标系，依题意可得｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＜｜AB｜＝4.

∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.

设双曲线的方程为＞0，b＞0）.则由解得a2=b2=2,∴曲线C的方程

为

（Ⅱ）依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理得（1-k2）x2-4kx-6=0.∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，∴　　

∴k∈（-,-1）∪（-1，1）∪（1，）.设E（x，y），F（x2,y2），则由①式得x1+x2=,于是｜EF｜＝

＝而原点O到直线l的距离d＝，

∴S△DEF=若△OEF面积不小于2,即S△OEF，则有③

综合②、③知，直线l的斜率的取值范围为[-，-1]∪（1-,1）∪（1,）.

依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理，得（1-k2）x2-4kx-6=0.

∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，∴　　

∴k∈（-，-1）∪（-1，1）∪（1，）.设E（x1,y1）,F（x2,y2）,则由①式得

｜x1-x2｜=③

当E、F在同一去上时（如图1所示），S△OEF＝

当E、F在不同支上时（如图2所示）.S△ODE=

综上得S△OEF＝于是由｜OD｜＝2及③式，得S△OEF=若△OEF面积不小于2　④

综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为[-，-1]∪（-1，1）∪（1，）.

4.（安徽卷22）．设椭圆过点，且着焦点为

（1）求椭圆的方程；

（2）当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足，证明：

点总在某定直线上.

（1）由题意：

，解得，所求椭圆方程为.

（2）设点Q、A、B的坐标分别为。

由题设知均不为零，记,则且,又A，P，B，Q四点共线，从而,

于是,,,,，①

，②又点A、B在椭圆C上，即③④

①+②×

2并结合③，④得:

即点总在定直线上

方法二:

设点，由题设，均不为零。

且,又四点共线，可设,于是

①,②由于在椭圆C上，将

（1），

（2）分别代入C的方程

③,④

④－③得:

,即点总在定直线上.

5.（北京卷19）．已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为1．

（Ⅰ）由题意得直线的方程为．因为四边形为菱形，所以．于是可设直线的方程为．由得．因为在椭圆上，

所以，解得．设两点坐标分别为，

则，，，．所以．所以的中点坐标为．由四边形为菱形可知，点在直线上，所以，解得．

所以直线的方程为，即．

（Ⅱ）因为四边形为菱形，且，所以．所以菱形的面积．由（Ⅰ）可得，

所以．所以当时，菱形的面积取得最大值．

6.（福建卷21）如图,椭圆的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点.

（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；

　（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，值有

求a的取值范围.

（Ⅰ）设M，N为短轴的两个三等分点，因为△MNF为正三角形，

所以,即1＝因此，椭圆方程

（Ⅱ）设

（ⅰ）当直线AB与x轴重合时，

（ⅱ）当直线AB不与x轴重合时，设直线AB的方程为：

整理得所以

因为恒有，所以AOB恒为钝角.即恒成立.

又a2+b2m2>

0,

-m2a2b2+b2-a2b2+a2<

0对mR恒成立，即a2b2m2>

a2-a2b2+b2对mR恒成立.当mR时，a2b2m2最小值为0，所以a2-a2b2+b2<

0.a2<

a2b2-b2,a2<

（a2-1）b2=b4,因为a>

0,b>

0,所以a<

b2,即a2-a-1>

0,解得a>

或a<

（舍去），即a>

.

综合（i）（ii），a的取值范围为（，+）.

（Ⅰ）同解法一，

（Ⅱ）（i）当直线l垂直于x轴时，x=1代入=1.因为恒

有|OA|2+|OB|2<

|AB|2,2（1+yA2）<

4yA2,yA2>

1，即>

1,解得a>

（ii）当直线l不垂直于x轴时，设A（x1,y1）,B（x2,y2）.设直线AB的方程为y=k（x-1）代入

得（b2+a2k2）x2-2a2k2x+a2k2-a2b2=0,故x1+x2=∴恒有|OA|2+|OB|2<

|AB|2,

∴x21+y21+x22+y22<

（x2-x1）2+（y2-y1）2,得x1x2+y1y2<

0恒成立.x1x2+y1y2=x1x2+k2（x1-1）（x2-1）

=（1+k2）x1x2-k2（x1+x2）+k2=（1+k2）.

由题意得（a2-a2b2+b2）k2-a2b2<

0对kR恒成立.

①当a2-a2b2+b2>

0时，不合题意；

②当a2-a2b2+b2=0时，a=;

③当a2-a2b2+b2<

0时，a2-a2（a2-1）+（a2-1）<

0，a4-3a2+1>

0,解得a2>

或a2>

（舍去），a>

，因此a.

7.（广东卷18）．设，椭圆方程为，抛物线方程为．如图4所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点．

（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；

（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？

若存在，请指出共有几个这样的点？

并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．

（1）由得，当得，

G点的坐标为，，，过点G的切线方程为即，令得，点的坐标为，由椭圆方程得点的坐标为，即，即椭圆和抛物线的方程分别为和；

（2）过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个，同理

以为直角的只有一个。

若以为直角，设点坐标为，、两点的坐标分别为和，

。

关于的二次方程有一大于零的解，有两解，

即以为直角的有两个，因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。

8.（湖南卷20）若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x>

2时，点P（x,0）存在无穷多条“相关弦”.给定x0>

2.

（I）证明：

点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；

（II）试问：

点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？

若存在，求其最大值（用x0表示）：

若不存在，请说明理由.

（I）设AB为点P（x0,0）的任意一条“相关弦”，且点A、B的坐标分别是（x1,y1）、（x2,y2）（x1x2）,则y21=4x1,y22=4x2,两式相减得（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2）.因为x1x2,所以y1+y20.设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是M（xm,ym）,则k=.从而AB的垂直平分线l的方程

为又点P（x0,0）在直线上，所以而

于是故点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x0-2.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，弦AB所在直线的方程是，代入中，整理

得①则是方程①的两个实根，且

设点P的“相关弦”AB的弦长为l，则

因为0<

<

4xm=4（xm-2）=4x0-8,于是设t=,则t（0,4x0-8）.记l2=g（t）=-[t-2（x0-3）]2+4（x0-1）2.

若x0>

3,则2（x0-3）（0,4x0-8）,所以当t=2（x0-3）,即=2（x0-3）时,l有最大值2（x0-1）.

若2<

x0<

3,则2（x0-3）0,g（t）在区间（0，4x0-8）上是减函数，所以0<

l2<

16（x0-2）,l不存在最大值.

综上所述:

当x0>

3时，点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值为2（x0-1）；

当2<

x03时，点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中不存在最大值.

9.（江西卷21）．设点在直线上，过点作双曲线的两条切线，切点为，定点.

（1）求证：

三点共线。

（2）过点作直线的垂线，垂足为，试求的重心所在曲线方程.

证：

（1）设，由已知得到，且，设切线的方程为：

由得,

从而,解得,因此的方程为：

同理的方程为：

又在上，所以，,即点都在直线上,又也在直线上,所以三点共线.

（2）垂线的方程为：

，由得垂足，

设重心,所以,解得,由,可得

即为重心所在曲线方程.

10.（辽宁卷20）．在直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为，直线与C交于A，B两点．

（Ⅰ）写出C的方程；

（Ⅱ）若，求k的值；

（Ⅲ）若点A在第一象限，证明：

当k>

0时，恒有||>

||．

（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，故曲线C的方程为．

（Ⅱ）设，其坐标满足消去y并整理得，

故．若，即．

于是，化简得，所以．

（Ⅲ）

．因为A在第一象限，故．由知，从而．又，

故，即在题设条件下，恒有．

11.（全国一21）．双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点．已知成等差数列，且与同向．

（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．

（Ⅰ）设，，,由勾股定理可得：

得：

，，,由倍角公式，解得,则离心率．

（Ⅱ）过直线方程为,与双曲线方程联立将，代入，化