1、令,由题意b0 且0,解得b1 且b0()设所求圆的一般方程为,令0 得这与0 是同一个方程,故D2,F令0 得0,此方程有一个根为b,代入得出Eb1所以圆C 的方程为.()圆C 必过定点(0,1)和(2,1)证明如下:将(0,1)代入圆C 的方程,得左边0120(b1)b0,右边0,所以圆C 必过定点(0,1)同理可证圆C 必过定点(2,1)3.(湖北卷19) 如图,在以点为圆心,为直径的半圆中,是半圆弧上一点,曲线是满足为定值的动点的轨迹,且曲线过点.()建立适当的平面直角坐标系,求曲线的方程;()设过点的直线l与曲线相交于不同的两点、.若的面积不小于,求直线斜率的取值范围.()以O为原点
2、,AB、OD所在直线分别为x轴、y轴,建立平面直角坐标系,则A(-2,0),B(2,0),D(0,2),P(),MA-MB=PA-PBAB4.曲线C是以原点为中心,A、B为焦点的双曲线.设实平轴长为a,虚半轴长为b,半焦距为c,则c2,2a2,a2=2,b2=c2-a2=2.曲线C的方程为.解法二:同解法1建立平面直角坐标系,依题意可得MA-MB=PA-PBAB4.曲线C是以原点为中心,A、B为焦点的双曲线.设双曲线的方程为0,b0).则由解得a2=b2=2,曲线C的方程为 ()依题意,可设直线l的方程为ykx+2,代入双曲线C的方程并整理得(1-k2)x2-4kx-6=0.直线l与双曲线C相
3、交于不同的两点E、F, k(-,-1)(-1,1)(1,).设E(x,y),F(x2,y2),则由式得x1+x2=,于是EF而原点O到直线l的距离d,SDEF=若OEF面积不小于2,即SOEF,则有 综合、知,直线l的斜率的取值范围为-,-1(1-,1) (1,).依题意,可设直线l的方程为ykx+2,代入双曲线C的方程并整理,得(1-k2)x2-4kx-6=0.直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F, k(-,-1)(-1,1)(1,). 设E(x1,y1),F(x2,y2),则由式得x1-x2= 当E、F在同一去上时(如图1所示),SOEF当E、F在不同支上时(如图2所示). SODE=综
4、上得SOEF于是由OD2及式,得SOEF=若OEF面积不小于2 综合、知,直线l的斜率的取值范围为-,-1(-1,1)(1,).4.(安徽卷22)设椭圆过点,且着焦点为(1)求椭圆的方程;(2)当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时,在线段上取点,满足,证明:点总在某定直线上. (1) 由题意: ,解得,所求椭圆方程为.(2) 设点Q、A、B的坐标分别为。由题设知均不为零,记,则且,又A,P,B,Q四点共线,从而,于是, , , ,, , 又点A、B在椭圆C上,即 +2并结合,得:,即点总在定直线上方法二:设点,由题设,均不为零。且,又四点共线,可设,于是, , 由于在椭圆C上,将(1),(2)
5、分别代入C的方程, , 得:, ,即点总在定直线上.5.(北京卷19)已知菱形的顶点在椭圆上,对角线所在直线的斜率为1()由题意得直线的方程为因为四边形为菱形,所以于是可设直线的方程为由得因为在椭圆上,所以,解得设两点坐标分别为,则,所以所以的中点坐标为由四边形为菱形可知,点在直线上, 所以,解得所以直线的方程为,即()因为四边形为菱形,且,所以所以菱形的面积由()可得,所以所以当时,菱形的面积取得最大值6.(福建卷21)如图,椭圆的一个焦点是F(1,0),O为坐标原点.()已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,求椭圆的方程; ()设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F
6、任意转动,值有,求a的取值范围.()设M,N为短轴的两个三等分点,因为MNF为正三角形,所以,即1因此,椭圆方程() 设 ()当直线 AB与x轴重合时, ()当直线AB不与x轴重合时,设直线AB的方程为: 整理得所以因为恒有,所以AOB恒为钝角.即恒成立. 又a2+b2m20,-m2a2b2+b2-a2b2+a2 a2 -a2b2+b2对mR恒成立.当mR时,a2b2m2最小值为0,所以a2- a2b2+b20. a2a2b2- b2, a20,b0,所以a0,解得a或a.综合(i)(ii),a的取值范围为(,+).()同解法一,()(i)当直线l垂直于x轴时,x=1代入=1.因为恒有|OA|
7、2+|OB|2|AB|2,2(1+yA2)1,即1,解得a(ii)当直线l不垂直于x轴时,设A(x1,y1), B(x2,y2).设直线AB的方程为y=k(x-1)代入得(b2+a2k2)x2-2a2k2x+ a2 k2- a2 b2=0,故x1+x2=恒有|OA|2+|OB|2|AB|2,x21+y21+ x22+ y22( x2-x1)2+(y2-y1)2,得x1x2+ y1y20恒成立.x1x2+ y1y2= x1x2+k2(x1-1) (x2-1)=(1+k2) x1x2-k2(x1+x2)+ k2=(1+k2).由题意得(a2- a2 b2+b2)k2- a2 b20时,不合题意;
8、当a2- a2 b2+b2=0时,a=; 当a2- a2 b2+b20时,a2- a2(a2-1)+ (a2-1)0,解得a2或a2(舍去),a,因此a.7.(广东卷18)设,椭圆方程为,抛物线方程为如图4所示,过点作轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为,已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程;(2)设分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点,使得为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标)(1)由得,当得,G点的坐标为,过点G的切线方程为即,令得,点的坐标为,由椭圆方程得点的坐标为,即,即椭圆和抛物线
9、的方程分别为和;(2)过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个,同理以为直角的只有一个。若以为直角,设点坐标为,、两点的坐标分别为和, 。关于的二次方程有一大于零的解,有两解,即以为直角的有两个,因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。8.(湖南卷20)若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点,弦AB(不平行于y轴)的垂直平分线与x轴相交于点P,则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x2时,点P(x,0)存在无穷多条“相关弦”.给定x02.(I)证明:点P(x0,0)的所有“相关弦”的中点的横坐标相同;(II) 试问:点P(x0,0)的“相关弦”的弦长中是否存在最大值?若存在,求其
10、最大值(用x0表示):若不存在,请说明理由.(I)设AB为点P(x0,0)的任意一条“相关弦”,且点A、B的坐标分别是(x1,y1)、(x2,y2)(x1x2),则y21=4x1, y22=4x2,两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).因为x1x2,所以y1+y20.设直线AB的斜率是k,弦AB的中点是M(xm, ym),则k=.从而AB的垂直平分线l的方程为又点P(x0,0)在直线上,所以而于是故点P(x0,0)的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x0-2.()由()知,弦AB所在直线的方程是,代入中,整理得 则是方程的两个实根,且设点P的“相关弦”AB的弦长为l,则因为0
11、3,则2(x0-3) (0, 4x0-8),所以当t=2(x0-3),即=2(x0-3)时,l有最大值2(x0-1).若2x03,则2(x0-3) 0,g(t)在区间(0,4 x0-8)上是减函数,所以0l23时,点P(x0,0)的“相关弦”的弦长中存在最大值,且最大值为2(x0-1);当20时,恒有|()设P(x,y),由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以为焦点,长半轴为2的椭圆它的短半轴,故曲线C的方程为 ()设,其坐标满足消去y并整理得,故若,即 于是,化简得,所以()因为A在第一象限,故由知,从而又,故,即在题设条件下,恒有 11.(全国一21)双曲线的中心为原点,焦点在轴上,两条渐近线分别为,经过右焦点垂直于的直线分别交于两点已知成等差数列,且与同向()求双曲线的离心率;()设被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程()设,,由勾股定理可得:,得:,,由倍角公式,解得,则离心率()过直线方程为,与双曲线方程联立将,代入,化
copyright@ 2008-2022 冰豆网网站版权所有
经营许可证编号:鄂ICP备2022015515号-1