高考名师推荐全国通用高考总复习数学理第二次模拟考试试题及答案解析三文档格式.docx
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C.①③D.①②③
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9.已知其中为虚数单位，，则__.
10.某校为了解全校高中同学五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名同学，统计他们假期参加实践活动的时间,绘成频率分布直方图（如图）.则这100名同学中参加实践活动时间在小时内的人数为___.
11.如图，是上的三点，点是劣弧的中点，过点的切线交弦
的延长线交于点.若∠，则
12.若点在不等式组所表示的平面区域内，则原点到直线距离的取值范围是__.
13.已知点，若这三个点中有且仅有两个点在函数的图象上，则正数的最小值为___.
14.正方体的棱长为，点分别是棱的中点，以为底面作正三棱柱，若此三棱柱另一底面三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高.
三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
15.（本小题满分13分）
已知函数.
（Ⅰ）比较，的大小；
（Ⅱ）求函数的最大值.
16.（本小题满分13分）
某家电专卖店试销A、B、C三种新型空调，销售情况如下表所示：
第一周
第二周
第三周
第四周
第五周
型数量（台）
11
10
15
12
13
8
（Ⅰ）求型空调前三周的平均周销售量；
（Ⅱ）根据型空调连续3周销售情况，预估型空调连续5周的平均周销量为10台.
请问：
当型空调周销售量的方差最小时，求，的值；
（注：
方差，其中为，，…，的
平均数）
（Ⅲ）为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从该家电专卖店第二周和第三周售出的空调中分别随机抽取一台，求抽取的两台空调中型空调台数的分布列和数学期望.
17.（本小题满分14分）
如图，等腰梯形中，，于，于，且，.将和分别沿、折起，使、两点重合，记为点，得到一个四棱锥，点，，分别是的中点.
（Ⅰ）求证：
∥平面；
（Ⅱ）求证：
；
（Ⅲ）求直线与平面所成的角的大小.
18.（本小题满分14分）
已知函数.
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围；
（Ⅲ）若曲线存在两条互相垂直的切线，求实数的取值范围.（只需直接写出结果）
19.（本小题满分13分）
已知点其中是曲线上的两点，两点在轴上的射影分别为点,且.
（Ⅰ）当点的坐标为时，求直线的斜率；
（Ⅱ）记的面积为，梯形的面积为，求证：
.
20.（本小题满分13分）
已知集合,其中.
称为的第个坐标分量.若，且满足如下两条性质：
①中元素个数不少于4个；
②，存在，使得的第个坐标分量都是1；
则称为的一个好子集.
（Ⅰ）若为的一个好子集，且，写出；
（Ⅱ）若为的一个好子集，求证：
中元素个数不超过；
（Ⅲ）若为的一个好子集且中恰好有个元素时，求证：
一定存在唯一一个
，使得中所有元素的第个坐标分量都是1.
数学（理科）
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
答案
A
B
D
C
二、填空题（本大题共6小题,每小题5分，共30分）
9．
10．
11.
12．
13．
14．
三、解答题（本大题共6小题,共80分）
15．解：
（Ⅰ）因为
所以…………………2分
…………………4分
因为,所以…………………6分
（Ⅱ）因为…………………9分
令，所以,…………………11分
因为对称轴,
根据二次函数性质知，当时，函数取得最大值 …………………13分
16解:
（I）型空调前三周的平均销售量
台…………………2分
（Ⅱ）因为型空调平均周销售量为台，
所以…………………4分
又
化简得到…………………5分
因为，所以当或时，取得最小值
所以当或时，取得最小值…………………7分
（Ⅲ）依题意，随机变量的可能取值为，…………………8分
…………………11分
随机变量的分布列为
随机变量的期望.…………………13分
17解:
（Ⅰ）证明：
连结.
在中，因为分别是所在边的中点，所以，…………………1分
又,所以,…………………2分
所以是平行四边形，所以,…………………3分
又平面，平面,…………………4分
所以平面.…………………5分
（Ⅱ）证明：
方法一：
在平面内，过点作的平行线，
因为所以平面,
所以平面，所以.
又在中，因为，所以.
以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系…………………6分
所以…………………7分
所以，…………………8分
所以，所以.…………………9分
方法二：
取中点，连接.
又为的中位线，所以
又，所以，所以在一个平面中.…………………6分
因为是等边三角形，所以,
又，所以,…………………7分
且，
所以平面，…………………8分
而平面,
所以.…………………9分
（Ⅲ）因为,所以,即,
又,所以平面，
所以就是平面的法向量.…………………11分
又，设与平面所成的角为，
则有…………………13分
所以与平面所成的角为.…………………14分
18解:
（Ⅰ）函数的定义域为.
当时，
…………………2分
当变化时，，的变化情况如下表：
极大值
极小值
函数的单调递增区间为，，
函数的单调递减区间为.…………………5分
（Ⅱ）解：
因为在区间上有解，
所以在区间上的最小值小于等于.
因为,令,得.…………………6分
当时，即时，
因为对成立，所以在上单调递增，
此时在上的最小值为
所以，
解得，所以此种情形不成立，…………………8分
当，即时，
若,则对成立，所以在上单调递增，
此时在上的最小值为所以，
解得，所以.…………………9分
若，
若，则对成立，对成立.
则在上单调递减，在上单调递增，
所以有，解得，………………10分
当时，注意到,而，
此时结论成立.…………………11分
综上，的取值范围是.…………………12分
法二：
所以在区间上的最小值小于等于，
当时，显然，而成立，…………………8分
当时,对成立，所以在上单调递增，
此时在上的最小值为，
所以有，
解得，所以.…………………11分
综上，.…………………12分
（Ⅲ）的取值范围是.…………………14分
19解：
（Ⅰ）因为，所以
代入，得到，…………………1分
又，所以，所以，…………………2分
代入，得到，…………………3分
所以.…………………5分
（Ⅱ）法一：
设直线的方程为.
则…………………7分
由,得,
所以…………………9分
又,…………………11分
又注意到，所以，
所以，…………………12分
因为，所以,所以.…………………13分
…………………8分
点到直线的距离为,所以………………9分
又,…………………11分
因为，所以,所以.…………………13分
法三：
直线的方程为,…………………6分
所以点到直线的距离为…………………7分
又,…………………8分
所以
又…………………9分
…………………10分
因为,所以…………………11分
代入得到，…………………12分
因为,当且仅当时取等号，
所以.…………………13分
20解：
（Ⅰ）…………………2分
（Ⅱ）对于，考虑元素，
显然，，，对于任意的，不可能都为1，
可得不可能都在好子集中…………………4分
又因为取定，则一定存在且唯一，而且，
且由的定义知道，，，…………………6分
这样，集合中元素的个数一定小于或等于集合中元素个数的一半，
而集合中元素个数为，所以中元素个数不超过；
…………………8分
（Ⅲ），
定义元素的乘积为：
，显然.
我们证明:
“对任意的，，都有.”
假设存在,使得，
则由（Ⅱ）知，
此时，对于任意的，不可能同时为,矛盾，
所以.
因为中只有个元素，我们记为中所有元素的乘积，
根据上面的结论，我们知道，
显然这个元素的坐标分量不能都为，不妨设,
根据的定义，可以知道中所有元素的坐标分量都为…………………11分
下面再证明的唯一性：
若还有,即中所有元素的坐标分量都为,
所以此时集合中元素个数至多为个，矛盾.
所以结论成立…………………13分
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