届人教A版 三角函数与解三角形 检测卷Word文档下载推荐.docx
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f(x)=cos=cos,
∴平移函数g(x)=cos2x的图象,向右平移个单位长度,即可得到f(x)的图象.
为了得到函数g(x)=cos2x的图象,只需将y=f(x)的图象向左平移个单位.故选A.
3.[2016·
天津高考]在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°
,则AC=( )
A.1B.2
C.3D.4
解析 设△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则a=3,c=,∠C=120°
,由余弦定理得13=9+b2+3b,解得b=1,即AC=1.
4.[2016·
江南十校联考]已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>
0,|φ|<
的最小正周期为4π,且对∀x∈R,有f(x)≤f成立,则f(x)的一个对称中心坐标是( )
解析 由f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为4π,得ω=.因为f(x)≤f恒成立,所以f(x)max=f,即×
+φ=+2kπ(k∈Z),由|φ|<
,得φ=,故f(x)=sin.令x+=kπ(k∈Z),得x=2kπ-(k∈Z),故f(x)的对称中心为(k∈Z),当k=0时,f(x)的对称中心为,故选A.
5.[2017·
重庆检测]已知α是第四象限角,且sinα+cosα=,则tan=( )
A.B.-
C.D.-
答案 B
解析 解法一:
因为sinα+cosα=,α是第四象限角,所以sinα=-,cosα=,则tan====-.
解法二:
因为α是第四象限角,sinα+cosα=,
则cosα=,是第二、四象限角,tan=-=-=-=-=-.
6.[2016·
安庆二模]已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>
0,ω>
,如图所示,则f(x)的递增区间为( )
A.,k∈Z
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.,k∈Z
由图象可知A=2,T=-=,
所以T=π,故ω=2.
由f=-2,得φ=2kπ-(k∈Z).
∵|φ|<
,∴φ=-.
所以f(x)=2sin.
由2x-∈(k∈Z),
得x∈(k∈Z).
T=-=,
所以T=π,-=-=-,
+=+=,
所以f(x)的递增区间是(k∈Z).
7.[2016·
北京高考]将函数y=sin图象上的点P向左平移s(s>
0)个单位长度得到点P′.若P′位于函数y=sin2x的图象上,则( )
A.t=,s的最小值为B.t=,s的最小值为
C.t=,s的最小值为D.t=,s的最小值为
解析 因为点P在函数y=sin的图象上,所以t=sin=sin=.又P′在函数y=sin2x的图象上,所以=sin,则2=2kπ+或2=2kπ+,k∈Z,得s=-kπ+或s=-kπ-,k∈Z.又s>
0,故s的最小值为.故选A.
8.[2017·
四川绵阳模拟]已知sinθ+cosθ=2sinα,sin2θ=2sin2β,则( )
A.cosβ=2cosαB.cos2β=2cos2α
C.cos2β+2cos2α=0D.cos2β=2cos2α
答案 D
解析 sinθ+cosθ=2sinα⇒1+sin2θ=4sin2α,所以1+2sin2β=4sin2α,1+1-cos2β=2(1-cos2α),cos2β=2cos2α,故选D.
9.[2017·
辽宁抚顺模拟]将函数f(x)=2sin的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到g(x)的图象.若g(x1)g(x2)=9,且x1,x2∈[-2π,2π],则2x1-x2的最大值为( )
解析 由题意可得g(x)=f+1=2sin+1,所以g(x)max=3,又g(x1)g(x2)=9,所以g(x1)=g(x2)=3,由g(x)=2sin+1=3,得2x+=+2kπ(k∈Z),因为x1,x2∈[-2π,2π],所以(2x2-x1)max=2×
-=,故选C.
10.[2017·
黑龙江、吉林八校期末]已知△ABC三边a,b,c上的高分别为,,1,则cosA等于( )
C.-D.-
解析 设△ABC面积为S⇒a=4S,b=2S,c=2S⇒cosA==-,故选C.
11.[2016·
河北百校联盟联考]已知函数f(x)=|sinx|+|cosx|,则下列结论中错误的是( )
A.f(x)是周期函数
B.f(x)的对称轴方程为x=,k∈Z
C.f(x)在区间上为增函数
D.方程f(x)=在区间有6个根
解析 因为f=+
=|sinx|+|cosx|=f(x),所以f(x)是周期为的函数,因为f(x)为偶函数,所以f(x)的对称轴方程为x=,k∈Z,故A、B项正确;
当x∈时,f(x)=sinx+cosx=sin,作出函数f(x)的部分图象如图所示,由图象可知C项错误,D项正确.
12.[2016·
长春质检]在△ABC中,D是BC中点,已知∠BAD+∠C=90°
,则△ABC的形状为( )
A.等腰三角形B.直角三角形
C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形
解析 如图,由题可知,∠BAD+∠C=∠B+∠CAD=90°
,在△ABD中,==,在△ADC中,==,所以=,即sin2B=sin2C,所以B=C或2B+2C=π,则此三角形为等腰三角形或直角三角形.故选D.
第Ⅱ卷 (非选择题,共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.[2016·
浙江高考]已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>
0),则A+b=________.
答案 +1
解析 由于2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=sin+1,所以A=,b=1,即A+b=+1.
14.[2016·
衡水大联考]已知sin=,则sin
=________.
答案
解析 sin=sin
=sin=cos
=1-2sin2=1-2×
2=.
15.[2017·
湖北四地七校联考]三国魏人刘徽,自撰《海岛算经》,专论测高望远.其中有一题:
今有望海岛,立两表齐,高三丈,前后相去千步,令后表与前表相直.从前表却行一百二十三步,人目著地取望岛峰,与表末参合.从后表却行一百二十七步,人目著地取望岛峰,亦与表末参合.问岛高及去表各几何?
译文如下:
要测量海岛上一座山峰A的高度AH,立两根高均为3丈的标杆BC和DE,前后标杆相距1000步,使后标杆杆脚D与前标杆杆脚B与山峰脚H在同一直线上,从前标杆杆脚B退行123步到F,人眼著地观测到岛峰,A、C、F三点共线,从后标杆杆脚D退行127步到G,人眼著地观测到岛峰,A、E、G三点也共线,问岛峰的高度AH=________步.(古制:
1步=6尺,1里=180丈=1800尺=300步)
答案 1255
解析 如图,由题意BC=DE=5步,设AH=h步,BF=123步,DG=127步,=,HF=步,同理HG=步,由题意得(HG-DG)-(HF-BF)=1000步,即--4=1000,h=1255.
16.[2017·
江西九江十校联考]已知a,b,c为△ABC的内角A,B,C所对的边,且A=30°
,a=1,D为BC的中点,则||2的最大值为________.
解析 =(+),
||2=(+)2=(2+2+2||·
||cosA)
==(b2+c2+bc).
根据余弦定理知cosA==,又a=1,得b2+c2-1=bc,故b2+c2=bc+1,由b2+c2=bc+1≥2bc,得bc≤2+,||2=(2bc+1)≤(4+7).
三、解答题(共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.[2017·
福建福州模拟](本小题满分10分)已知函数f(x)=sin2ωx+cos4ωx-sin4ωx+1(其中0<
ω<
1),若点是函数f(x)图象的一个对称中心.
(1)求f(x)的解析式,并求距y轴最近的一条对称轴的方程;
(2)先列表,再作出函数f(x)在区间[-π,π]上的图象.
解
(1)f(x)=sin2ωx+(cos2ωx-sin2ωx)(cos2ωx+sin2ωx)+1=sin2ωx+cos2ωx+1=2sin+1.(2分)
∵点是函数f(x)图象的一个对称中心,
∴-+=kπ,k∈Z,∴ω=-3k+,k∈Z.
∵0<
1,∴k=0,ω=,∴f(x)=2sin+1.(4分)
由x+=kπ+,k∈Z,得x=kπ+,k∈Z,
令k=0,得距y轴最近的一条对称轴方程为x=.(5分)
(2)由
(1)知,f(x)=2sin+1,当x∈[-π,π]时,列表如下:
x+
-
π
x
-π
f(x)
-1
1
3
(7分)
则函数f(x)在区间[-π,π]上的图象如图所示.
(10分)
18.[2016·
济南质检](本小题满分12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,
已知2cos2+cosC=1.
(1)求角C的值;
(2)若c=2,且△ABC的面积为,求a,b.
解
(1)2cos2+(cosB-sinB)cosC=1,故cosA+cosBcosC-sinBcosC=0,(2分)
则-cos(B+C)+cosBcosC-sinBcosC=0,(4分)
展开得:
sinBsinC-sinBcosC=0,
∵sinB≠0,即tanC=,∵C∈(0,π),C=.(6分)
(2)三角形面积为absin=,故ab=4.(8分)
由余弦定理得4=(a+b)2-2ab-ab,所以a+b=4,(10分)
故a=b=2.(12分)
19.[2016·
四川高考](本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且+=.
(1)证明:
sinAsinB=sinC;
(2)若b2+c2-a2=bc,求tanB.
解
(1)证明:
根据正弦定理,可设===k(k>
0),则a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC.(2分)
代入+=中,有+=,变形可得
sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B).(4分)
在△ABC中,由A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(π-C)=sinC,所以sinAsinB=sinC.(6分)
(2)由已知,b2+c2-a2=bc,根据余弦定理,有
cosA==.因为A∈(0,π),(9分)
所以sinA==.
由
(1),sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB,
所以sinB=cosB+sinB,(11分)
故tanB==4.(1