不等式选讲新课标全国卷理科数学备考精校解析Word版Word格式文档下载.docx

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6．会用数学归纳法证明伯努利不等式：

（，，n为大于1的正整数），

了解当n为大于1的实数时伯努利不等式也成立.

7．会用上述不等式证明一些简单问题.能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值.

8．了解证明不等式的基本方法：

比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.

不等式选讲部分主要以考查以考查绝对值不等式的解法为主，偶尔也考查不等式证明的方法，经常与函数结合，考查数形结合和转化与化归思想是，考查去绝对值的方法是试题变化中不变的规律，基本不等式是考查不等式证明方法的主要依据；

在求解过程中考查绝对值三角不等式的灵活应用能力。

分析问题的方法是不等式证明的关键，关于不等式证明的方法，没有具体的知识点，只有方法要求，因此它的载体丰富多彩.

题型1绝对值不等式的解法与恒成立问题

例1（2018·

新课标I卷，23）已知.

（I）当时，求不等式的解集；

（II）若时不等式成立，求a的取值范围.

解析：

（I）依题意，，

该不等式等价于或

解得，即等式的解集为；

（II）依题意，；

当时，该式化为，即，

即，即，故在上恒成立，

故，即a的取值范围为.

【解题技巧】形如（或）型的不等式主要有两种解法：

（1）分段讨论法：

利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为，，（此处设）三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；

（2）图像法：

作出函数和的图像，结合图像求解.

不等式的恒成立问题是高考的重难点，此类问题一般有两种解法：

（1）利用函数思想转化为函数的最值问题进行分析；

（2）通过数形结合构造出两个函数，通过寻找临界状态得到参数的取值范围.

题型2证明不等式

例2（2017·

新课标Ⅱ，23）已知，证明：

（2）．

（1）解法一：

由柯西不等式得：

解法二：

解法三：

又，所以．当时，等号成立．

所以，，即．

（2）解法一：

由及得

所以．

（反证法）假设，则，两边同时立方得：

，即，因为，

所以，即，矛盾，所以假设不成立，即．

因为，所以：

.

又，所以:

，所以，，即．

解法四：

因为，所以，即，即（当且仅当时取等号）．

【解题技巧】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已知不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题，若不等式恒等变形之后与二次函数有关，可用配方法。

2011年—2018年新课标全国卷理科数学试题分类汇编

（2018·

新课标Ⅱ，23）设函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，求的取值范围．

新课标Ⅲ，理23）[选修4—5：

不等式选讲]（10分）

设函数．

（1）出的图像；

⑵当，，求的最小值．

（2017·

新课标Ⅰ，23）已知函数，．

（2）若不等式的解集包含，求的取值范围．

新课标Ⅲ，23）已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若不等式的解集非空，求的取值范围．

（2016·

新课标Ⅰ，24）已知函数．

（Ⅰ）在答题卡第（24）题图中画出的图像；

（Ⅱ）求不等式的解集．

新课标Ⅱ，24）已知函数，M为不等式的解集.

（Ⅰ）求M；

（Ⅱ）证明：

当a，b∈M时，.

新课标Ⅲ，24）已知函数.

（1）当a=2时，求不等式的解集；

（2）设函数.当时，，求a的取值范围。

（2015·

新课标Ⅰ，24）已知函数.

（）当时求不等式的解集；

（）若的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.

新课标Ⅱ，24）设a，b，c，d均为正数，且，证明：

（Ⅰ）若>

，则；

（Ⅱ）是的充要条件.

（2014·

新课标Ⅰ，24））若，且.

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）是否存在，使得？

并说明理由.

新课标Ⅱ，24）设函数.

（Ⅰ）证明：

f（x）≥2；

（Ⅱ）若f（3）<

5，求a的取值范围.

（2013·

新课标Ⅰ，24）已知函数f（x）＝|2x－1|＋|2x＋a|，g（x）＝x＋3.

（1）当a＝－2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；

（2）设a＞－1，且当x∈时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．

新课标Ⅱ，24）设均为正数，且.

证明：

（Ⅰ）；

（Ⅱ）.

（2012·

新课标Ⅰ、Ⅱ，24）已知函数f（x）=|x+a|+|x-2|.

（Ⅰ）当a=-3时，求不等式f（x）≥3的解集；

（Ⅱ）若f（x）≤|x-4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围.

（2011·

新课标Ⅰ、Ⅱ，24）设函数,其中。

（Ⅰ）当时，求不等式的解集；

（Ⅱ）若不等式的解集为，求a的值。

2011年—2018年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编

15．不等式选讲（逐题解析版）

当时，该式化为，即，即，即，故在上恒成立，故，即a的取值范围为.

（1）当时，，可得的解集为．

（2）等价于．

而，且当时等号成立．

故等价于．

由可得或，

所以的取值范围是．

（1），如下图：

（2）由

（1）中可得：

，，

当，时，取最小值，

∴的最小值为.

（1）当时，，是开口向下，对称轴的二次函数．

，当时，令，解得，在上单调递增，在上单调递减，∴此时解集为．

当时，，．

当时，单调递减，单调递增，且．

综上所述，解集．

（2）依题意得：

在恒成立．即在恒成立．

则只须，解出：

．故取值范围是．

（1）可等价为.

由可得：

①当时显然不满足题意；

②当时，，解得；

③当时，恒成立.综上，的解集为.

不等式等价为，

令，则解集非空只需要.

而.

①当时，；

②当时，；

③当时，.

综上，，故.

新课标Ⅰ，23）已知函数．

（Ⅱ）求不等式的解集．

如图所示：

⑵,,

①，，解得或,

②，，解得或，或

③，，解得或，或

综上，或或

，解集为

⑴当时，，若；

当时，恒成立；

当时，，若，．

综上可得，．

⑵当时，有，即，

则，则，即，证毕．

（1）当时，.

解不等式，得.

因此，的解集为.………………5分

（2）当时，，

当时等号成立，

所以当时，等价于.①……7分

当时，①等价于，无解.

当时，①等价于，解得.

所以的取值范围是.………………10分

（）（方法一）当时，不等式可化为，

等价于或或，解得.

（方法二）当时，不等式可化为，结合绝对值的几何意义，不等式的含义为：

数轴上一点x到点的距离与它到1的距离的2倍之差大于1.

设点x到的距离为，到的距离为，结合数轴可知：

若x在内，则有解得；

故.

1

x

-1

综上可得.

（Ⅱ）由题设可得，，所以函数的图像与轴围成的三角形的三个顶点分别为，，，所以△ABC的面积为.由题设得＞6，解得.所以的取值范围为（2，+∞）.

（Ⅰ）因为，由题设得，因此.

（Ⅱ）（i）若，则，即，因为，所以，由（Ⅰ）得.

（ii）若，则，即，

因为，所以，于是，

因此，综上，是的充要条件.

（Ⅰ）由，得，且当时等号成立，

故，且当时等号成立，

∴的最小值为.……5分

（Ⅱ）由，得，又由（Ⅰ）知，二者矛盾，

所以不存在，使得成立.……………10分

（Ⅱ）若f（3）<

（Ⅰ）∵，∵，

∴，当且仅当时，取“”号.故.

（Ⅱ）∵，，∴，

即：

，∴或，

解得：

.故a的取值范围是.

（1）当a＝－2时，不等式f（x）＜g（x）化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.

设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则y＝

其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x∈（0,2）时，y＜0.

所以原不等式的解集是{x|0