异方差与自相关文档格式.docx
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当误差向量u的方差协方差矩阵主对角线上的元素不相等时,称该随机误差系列存在异方差,即误差向量u中的元素ut取自不同的分布总体。
非主对角线上的元素表示误差项之间的协方差值。
比如中的ij与2的乘积,(ij)表示与第i组和第j组观测值相对应的ui与uj的协方差。
若非主对角线上的部分或全部元素都不为零,误差项就是自相关的。
本节讨论异方差。
下一节讨论自相关问题。
以两个变量为例,同方差假定如图5.1和5.2所示。
对于每一个xt值,相应ut的分布方差都是相同的。
1.5.2异方差表现与来源
异方差通常有三种表现形式,
(1)递增型,
(2)递减型,(3)条件自回归型。
递增型异方差见图5.3和5.4。
图5.5为递减型异方差。
图5.6为条件自回归型异方差。
图5.3递增型异方差情形图5.4递增型异方差
图5.5递减型异方差图5.6复杂型异方差
(1)时间序列数据和截面数据中都有可能存在异方差。
(2)经济时间序列中的异方差常为递增型异方差。
金融时间序列中的异方差常表现为自回归条件异方差。
无论是时间序列数据还是截面数据。
递增型异方差的来源主要是因为随着解释变量值的增大,被解释变量取值的差异性增大。
图5.7菲律宾的季度数据图5.8剔出2次趋势后的残差序列
1.5.3异方差的后果
下面以简单线性回归模型为例讨论异方差对参数估计的影响。
对模型
yt=0+1xt+ut
当Var(ut)=t2,为异方差时(t2是一个随时间或序数变化的量),回归参数估计量仍具有无偏性和一致性。
以为例
E()=E()=E()
=1+=1
在上式的推导中利用了E(ut)=0的假定。
但是回归参数估计量不再具有有效性。
仍以为例,
Var()=E(-1)2=E=E
==
(在上式的推导中利用了ut的非自相关假定、xt与ut非相关假定)。
上式不等号右侧项分子中的t2不是一个常量,不能从累加式中提出,所以不等号右侧项不等于不等号左侧项。
而不等号右侧项是同方差条件下1的最小二乘估计量的方差。
因此异方差条件下的失去有效性。
另外回归参数估计量方差的估计是真实方差的有偏估计量。
例如
E(())Var()
(证明略)
下面用矩阵形式讨论。
因为OLS估计量无偏性的证明只依赖于模型的一阶矩,所以当Var(u)如(5.2)式所示时,OLS估计量仍具有无偏性和一致性。
E()=E[(X'
X)-1X'
Y]=E[(X'
(X+u)]=+(X'
X)-1X'
E(u)=
但不具有有效性和渐近有效性。
而且的分布将受到影响。
Var()=E[(-)(-)'
]=E[(X'
uu'
X(X'
X)-1]
=(X'
X)-1X'
E(uu'
)X(X'
X)-1=2(X'
X(X'
X)-1
不等于(X'
X)-1,所以异方差条件下是非有效估计量。
1.5.4异方差检验
1.5.4.1定性分析异方差
(1)经济变量规模差别很大时容易出现异方差。
如个人收入与支出关系,投入与产出关系。
(2)利用散点图做初步判断。
(3)利用残差图做初步判断。
1.5.4.2异方差检验
(1)White检验
White检验由H.White1980年提出。
Goldfeld-Quandt检验必须先把数据按解释变量的值从小到大排序。
Glejser检验通常要试拟合多个回归式。
White检验不需要对观测值排序,也不依赖于随机误差项服从正态分布,它是通过一个辅助回归式构造2统计量进行异方差检验。
White检验的具体步骤如下。
以二元回归模型为例,
yt=0+1xt1+2xt2+ut(5.9)
①首先对上式进行OLS回归,求残差。
②做如下辅助回归式,
=0+1xt1+2xt2+3xt12+4xt22+5xt1xt2+vt(5.10)
即用对原回归式中的各解释变量、解释变量的平方项、交叉积项进行OLS回归。
注意,上式中要保留常数项。
求辅助回归式(5.10)的可决系数R2。
③White检验的零假设和备择假设是
H0:
(5.9)式中的ut不存在异方差,
H1:
(5.9)式中的ut存在异方差。
④在不存在异方差假设条件下,统计量
TR22(5)(5.11)
其中T表示样本容量,R2是辅助回归式(5.10)的OLS估计式的可决系数。
自由度5表示辅助回归式(5.10)中解释变量项数(注意,不计算常数项)。
TR2属于LM统计量。
⑤判别规则是
若TR22(5),接受H0(ut具有同方差)
若TR2>
2(5),拒绝H0(ut具有异方差)
附录:
White检验的EViwes操作。
在回归式窗口中点击View键选ResidualTests/WhiteHeteroskedasticity功能。
检验式存在有无交叉项两种选择。
(2)Goldfeld-Quandt检验
ut具有同方差,H1:
ut具有递增型异方差。
构造F统计量。
① 把原样本分成两个子样本。
具体方法是把成对(组)的观测值按解释变量的大小顺序排列,略去m个处于中心位置的观测值(通常T30时,取mT/4,余下的T-m个观测值自然分成容量相等,(T-m)/2,的两个子样本。
)
{x1,x2,…,xi-1,xi,xi+1,…,xT-1,xT}
n1=(T-m)/2m=T/4n2=(T-m)/2
②用两个子样本分别估计回归直线,并计算残差平方和。
相对于n2和n1分别用SSE2和SSE1表式。
③F统计量是
F==,(k为模型中被估参数个数)
在H0成立条件下,FF(n2-k,n1-k)
④判别规则如下,
若FF(n2-k,n1-k),接受H0(ut具有同方差)
若F>
F(n2-k,n1-k),拒绝H0(递增型异方差)
注意:
①当摸型含有多个解释变量时,应以每一个解释变量为基准检验异方差。
②此法只适用于递增型异方差。
③对于截面样本,计算F统计量之前,必须先把数据按解释变量的值从小到大排序。
(3)Glejser检验
检验是否与解释变量xt存在函数关系。
若有,则说明存在异方差;
若无,则说明不存在异方差。
通常应检验的几种形式是
=a0+a1xt
=a0+a1xt2
=a0+a1,….
Glejser检验的特点是:
① 既可检验递增型异方差,也可检验递减型异方差。
②一旦发现异方差,同时也就发现了异方差的具体表现形式。
③计算量相对较大。
④ 当原模型含有多个解释变量值时,可以把拟合成多变量回归形式。
(4)自回归条件异方差(ARCH)检验
异方差的另一种检验方法称作自回归条件异方差(ARCH)检验。
这种检验方法不是把原回归模型的随机误差项t2看作是xt的函数,而是把t2看作误差滞后项ut-12,ut-22,…的函数。
ARCH是误差项二阶矩的自回归过程。
恩格尔(Engle1982)针对ARCH过程提出LM检验法。
辅助回归式定义为
=0+1+…+n(5.12)
LM统计量定义为
ARCH=TR22(n)
其中R2是辅助回归式(5.12)的可决系数。
在H0:
1=…=n=0成立条件下,ARCH渐近服从2(n)分布。
ARCH检验的最常用形式是一阶自回归模型(n=1),
=0+1
在这种情形下,ARCH渐近服从2
(1)分布。
1.5.5.克服异方差的方法
克服异方差的矩阵描述。
设模型为
Y=X+u
其中E(u)=0,Var(u)=E(uu'
)=2。
已知,与k未知。
因为I,违反了假定条件,所以应该对模型进行适当修正。
因为是一个T阶正定矩阵,所以必存在一个非退化TT阶矩阵M使下式成立。
MM'
=ITT
从上式得
M'
M=-1
用M左乘上述回归模型两侧得
MY=MX+Mu
取Y*=MY,X*=MX,u*=Mu,上式变换为
Y*=X*+u*
则u*的方差协方差矩阵为
Var(u*)=E(u*u*'
)=E(Muu'
)=M2M'
=2MM'
=2I
变换后模型的Var(u*)是一个纯量对角矩阵。
对变换后模型进行OLS估计,得到的是的最佳线性无偏估计量。
这种估计方法称作广义最小二乘法。
的广义最小二乘(GLS)估计量定义为
(GLS)=(X*'
X*)-1X*'
Y*=(X'
M'
MX)-1X'
MY=(X'
-1X)-1X'
-1Y
(1)对模型
yt=0+1xt1+2xt2+ut(5.15)
通常假定异方差形式是Var(ut)=(xt1)2。
(因为Var(ut)=E(ut)2,相当于认为=xt1)用xt1同除上式两侧得
=+++(5.16)
因为Var()=Var(ut)=2xt12=2,(5.16)式中的随机项是同方差的。
对(5.16)式进行OLS估计后,把回归参数的估计值代入原模型(5.15)。
对(5.16)式应用OLS法估计参数,求(ut/xt1)2最小。
其实际意义是在求(ut/xt1)2最小的过程中给相应误差项分布方差小的观测值以更大的权数。
所以此法亦称为加权最小二乘法,是GLS估计法的一个特例。
以异方差形式Var(ut)=2xt2为例,用矩阵形式介绍克服异方差。
2=2
定义M=
从而使Var(Mu)=E(Muu'
=2M