异方差与自相关文档格式.docx

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当误差向量u的方差协方差矩阵主对角线上的元素不相等时，称该随机误差系列存在异方差，即误差向量u中的元素ut取自不同的分布总体。

非主对角线上的元素表示误差项之间的协方差值。

比如中的ij与2的乘积,（ij）表示与第i组和第j组观测值相对应的ui与uj的协方差。

若非主对角线上的部分或全部元素都不为零，误差项就是自相关的。

本节讨论异方差。

下一节讨论自相关问题。

以两个变量为例，同方差假定如图5.1和5.2所示。

对于每一个xt值，相应ut的分布方差都是相同的。

1.5.2异方差表现与来源

异方差通常有三种表现形式，

（1）递增型，

（2）递减型，（3）条件自回归型。

递增型异方差见图5.3和5.4。

图5.5为递减型异方差。

图5.6为条件自回归型异方差。

图5.3递增型异方差情形图5.4递增型异方差

图5.5递减型异方差图5.6复杂型异方差

（1）时间序列数据和截面数据中都有可能存在异方差。

（2）经济时间序列中的异方差常为递增型异方差。

金融时间序列中的异方差常表现为自回归条件异方差。

无论是时间序列数据还是截面数据。

递增型异方差的来源主要是因为随着解释变量值的增大，被解释变量取值的差异性增大。

图5.7菲律宾的季度数据图5.8剔出2次趋势后的残差序列

1.5.3异方差的后果

下面以简单线性回归模型为例讨论异方差对参数估计的影响。

对模型

yt=0+1xt+ut

当Var（ut）=t2，为异方差时（t2是一个随时间或序数变化的量），回归参数估计量仍具有无偏性和一致性。

以为例

E（）=E（）=E（）

=1+=1

在上式的推导中利用了E（ut）=0的假定。

但是回归参数估计量不再具有有效性。

仍以为例，

Var（）=E（-1）2=E=E

==

（在上式的推导中利用了ut的非自相关假定、xt与ut非相关假定）。

上式不等号右侧项分子中的t2不是一个常量，不能从累加式中提出，所以不等号右侧项不等于不等号左侧项。

而不等号右侧项是同方差条件下1的最小二乘估计量的方差。

因此异方差条件下的失去有效性。

另外回归参数估计量方差的估计是真实方差的有偏估计量。

例如

E（（））Var（）

（证明略）

下面用矩阵形式讨论。

因为OLS估计量无偏性的证明只依赖于模型的一阶矩，所以当Var（u）如（5.2）式所示时，OLS估计量仍具有无偏性和一致性。

E（）=E[（X'

X）-1X'

Y]=E[（X'

（X+u）]=+（X'

X）-1X'

E（u）=

但不具有有效性和渐近有效性。

而且的分布将受到影响。

　　　Var（）=E[（-）（-）'

]=E[（X'

uu'

X（X'

X）-1]

=（X'

X）-1X'

E（uu'

）X（X'

X）-1=2（X'

X（X'

X）-1

不等于（X'

X）-1，所以异方差条件下是非有效估计量。

1.5.4异方差检验

1.5.4.1定性分析异方差

（1）经济变量规模差别很大时容易出现异方差。

如个人收入与支出关系，投入与产出关系。

（2）利用散点图做初步判断。

（3）利用残差图做初步判断。

1.5.4.2异方差检验

（1）White检验

White检验由H.White1980年提出。

Goldfeld-Quandt检验必须先把数据按解释变量的值从小到大排序。

Glejser检验通常要试拟合多个回归式。

White检验不需要对观测值排序，也不依赖于随机误差项服从正态分布，它是通过一个辅助回归式构造2统计量进行异方差检验。

White检验的具体步骤如下。

以二元回归模型为例，

yt=0+1xt1+2xt2+ut（5.9）

①首先对上式进行OLS回归，求残差。

②做如下辅助回归式，

=0+1xt1+2xt2+3xt12+4xt22+5xt1xt2+vt（5.10）

即用对原回归式中的各解释变量、解释变量的平方项、交叉积项进行OLS回归。

注意，上式中要保留常数项。

求辅助回归式（5.10）的可决系数R2。

③White检验的零假设和备择假设是

H0:

（5.9）式中的ut不存在异方差，

H1:

（5.9）式中的ut存在异方差。

④在不存在异方差假设条件下，统计量

TR22（5）（5.11）

其中T表示样本容量，R2是辅助回归式（5.10）的OLS估计式的可决系数。

自由度5表示辅助回归式（5.10）中解释变量项数（注意，不计算常数项）。

TR2属于LM统计量。

⑤判别规则是

若TR22（5）,接受H0（ut具有同方差）

若TR2>

2（5）,拒绝H0（ut具有异方差）

附录：

White检验的EViwes操作。

在回归式窗口中点击View键选ResidualTests/WhiteHeteroskedasticity功能。

检验式存在有无交叉项两种选择。

（2）Goldfeld-Quandt检验

ut具有同方差，H1:

ut具有递增型异方差。

构造F统计量。

①　把原样本分成两个子样本。

具体方法是把成对（组）的观测值按解释变量的大小顺序排列，略去m个处于中心位置的观测值（通常T30时，取mT/4，余下的T-m个观测值自然分成容量相等，（T-m）/2，的两个子样本。

）

{x1,x2,…,xi-1,xi,xi+1,…,xT-1,xT}

n1=（T-m）/2m=T/4n2=（T-m）/2

②用两个子样本分别估计回归直线，并计算残差平方和。

相对于n2和n1分别用SSE2和SSE1表式。

③F统计量是

F==，（k为模型中被估参数个数）

在H0成立条件下，FF（n2-k,n1-k）

④判别规则如下，

若FF（n2-k,n1-k）,接受H0（ut具有同方差）

若F>

F（n2-k,n1-k）,拒绝H0（递增型异方差）

注意：

①当摸型含有多个解释变量时，应以每一个解释变量为基准检验异方差。

②此法只适用于递增型异方差。

③对于截面样本，计算F统计量之前，必须先把数据按解释变量的值从小到大排序。

（3）Glejser检验

检验是否与解释变量xt存在函数关系。

若有，则说明存在异方差；

若无，则说明不存在异方差。

通常应检验的几种形式是

=a0+a1xt

=a0+a1xt2

=a0+a1,….

Glejser检验的特点是：

①　既可检验递增型异方差，也可检验递减型异方差。

②一旦发现异方差，同时也就发现了异方差的具体表现形式。

③计算量相对较大。

④　当原模型含有多个解释变量值时，可以把拟合成多变量回归形式。

（4）自回归条件异方差（ARCH）检验

异方差的另一种检验方法称作自回归条件异方差（ARCH）检验。

这种检验方法不是把原回归模型的随机误差项t2看作是xt的函数，而是把t2看作误差滞后项ut-12,ut-22,…的函数。

ARCH是误差项二阶矩的自回归过程。

恩格尔（Engle1982）针对ARCH过程提出LM检验法。

辅助回归式定义为

=0+1+…+n（5.12）

LM统计量定义为

ARCH=TR22（n）

其中R2是辅助回归式（5.12）的可决系数。

在H0：

1=…=n=0成立条件下，ARCH渐近服从2（n）分布。

ARCH检验的最常用形式是一阶自回归模型（n=1），

=0+1

在这种情形下，ARCH渐近服从2

（1）分布。

1.5.5.克服异方差的方法

克服异方差的矩阵描述。

设模型为

Y=X+u

其中E（u）=0，Var（u）=E（uu'

）=2。

已知，与k未知。

因为I，违反了假定条件，所以应该对模型进行适当修正。

因为是一个T阶正定矩阵，所以必存在一个非退化TT阶矩阵M使下式成立。

MM'

=ITT

从上式得

M'

M=-1

用M左乘上述回归模型两侧得

MY=MX+Mu

取Y*=MY,X*=MX,u*=Mu,上式变换为

Y*=X*+u*

则u*的方差协方差矩阵为

Var（u*）=E（u*u*'

）=E（Muu'

）=M2M'

=2MM'

=2I

变换后模型的Var（u*）是一个纯量对角矩阵。

对变换后模型进行OLS估计，得到的是的最佳线性无偏估计量。

这种估计方法称作广义最小二乘法。

的广义最小二乘（GLS）估计量定义为

（GLS）=（X*'

X*）-1X*'

Y*=（X'

M'

MX）-1X'

MY=（X'

-1X）-1X'

-1Y

（1）对模型

yt=0+1xt1+2xt2+ut（5.15）

通常假定异方差形式是Var（ut）=（xt1）2。

（因为Var（ut）=E（ut）2，相当于认为=xt1）用xt1同除上式两侧得

=+++（5.16）

因为Var（）=Var（ut）=2xt12=2，（5.16）式中的随机项是同方差的。

对（5.16）式进行OLS估计后，把回归参数的估计值代入原模型（5.15）。

对（5.16）式应用OLS法估计参数，求（ut/xt1）2最小。

其实际意义是在求（ut/xt1）2最小的过程中给相应误差项分布方差小的观测值以更大的权数。

所以此法亦称为加权最小二乘法，是GLS估计法的一个特例。

以异方差形式Var（ut）=2xt2为例，用矩阵形式介绍克服异方差。

2=2

定义M=

从而使Var（Mu）=E（Muu'

=2M