最新中考数学专题训练代数与几何综合题分类Word文档格式.docx
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(5-t)=-t2+12t=(0<t≤4),
∵-<0,∴当t=时,S有最大值,最大值为15cm2.
第1题解图
2.已知,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,BC=AC,AB=6,D是AB的中点,动点E从点D出发,在AB边上向左或右运动,以CE为边向左侧作正方形CEFG,直线BG,FE相交于点N(点E向左运动时如图①,点E向右运动时如图②).
(1)在点E的运动过程中,直线BG与CD的位置关系为________;
(2)设DE=x,NB=y,求y与x之间的函数关系式,并求出y的最大值;
(3)如图②,当DE的长度为时,求∠BFE的度数.
第2题图
(1)BG∥CD;
【解法提示】∵四边形EFGC是正方形,∴CG=CE,∠GCE=∠GFE=∠FEC=90°
,∵∠ACB=∠GCE=90°
,∴∠GCB=∠ECA,∵GC=CE,CB=CA,∴△CAE≌△CBG.又∵∠ACB=90°
,BC=AC,D是AB的中点,∴∠CBG=∠CAE=45°
,∠BCD=45°
,∴∠CBG=∠BCD,∴BG∥CD.
(2)∵CB=CA,CD⊥AB,∠ACB=90°
,
∴CD=BD=AD=3,∠CBA=∠A=45°
易得△CAE≌△CBG,
∴∠CBG=∠A=45°
∴∠GBA=∠GBC+∠CBA=90°
.
∵∠BEN+∠BNE=90°
,∠BEN+∠CED=90°
∴∠BNE=∠CED,
∵∠EBN=∠CDE=90°
∴△NBE∽△EDC,
∴=,
∴y=-(x-)2+,
∵-<0,∴x=时,y的最大值为;
(3)如解图,作FH⊥AB于点H.∵CB=CA,BD=CD,∠BCA=90°
∴CD⊥AB,CD=BD=AD=3,
∴tan∠DCE==,
∴∠DCE=30°
∵四边形EFGC是正方形,
∴EF=EC,
∵∠CDE=∠EHF=90°
,易证∠DCE=∠HEF,
∴△CDE≌△EHF,
∴∠DCE=∠HEF=30°
,FH=DE,CD=EH,
∵CD=BD,
∴BD=EH,
∴BH=DE=FH,
∴△BHF是等腰直角三角形,
∴∠BFH=45°
,∵∠EFH=90°
-∠HEF=60°
∴∠BFE=∠BFH+∠EFH=105°
第2题解图
3.如图,在直角梯形ABCD中,∠A=∠D=90°
,AB=8cm,CD=10cm,AD=6cm,点E从点A出发,沿A→D→C方向运动,运动速度为2cm/s,点F同时从点A出发,沿A→B方向运动,运动速度为1cm/s.设运动时间为t(s),△CEF的面积为S(cm2).
(1)当0≤t≤3时,t=________,EF=.
(2)当0≤t≤3时(如图①),求S与t的函数关系式,并化为S=a(t-h)2+k的形式,指出当t为何值时,S有最大值,最大值为多少?
(3)当3≤t≤8时(如图②),求S与t的函数关系式,并求出当t为何值时,S有最大值,最大值为多少?
第3题图
(1);
【解法提示】根据题意知,AF=t,AE=2t,∵∠A=90°
,∴AF2+AE2=EF2,即t2+(2t)2=()2,解得:
t=(负值舍去).
(2)当0≤t≤3时,如解图①,过点C作CP⊥AB,交AB延长线于点P,
第3题解图①
∵∠A=∠D=90°
∴四边形APCD是矩形,
则CP=AD=6cm,
∵AB=8cm,AD=6cm,
∴BF=(8-t)cm,DE=(6-2t)cm,
则S=S梯形ABCD-S△AEF-S△CBF-S△CDE
=×
(8+10)×
6-×
t×
2t-×
(8-t)×
(6-2t)×
10
=-t2+13t
=-(t-)2+,
即S=-(t-)2+,
∵当t<时,S随t的增大而增大,
∴当t=3时,S取得最大值,最大值为30;
(3)当3≤t≤8时,如解图②,过点F作FQ⊥CD于点Q,
第3题解图②
由∠A=∠D=90°
,知四边形ADQF是矩形,
∴FQ=AD=6cm,
∵AD+DE=2t,AD=6cm,CD=10cm,
∴CE=(16-2t)cm,
则此时S=×
(16-2t)×
6=48-6t,
∵-6<0,
∴S随t的增大而减小,
∴当t=3时,S取得最大值,最大值为30cm2.
4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,AC=8,BC=6,CD⊥AB于点D.点P从点D出发,沿线段DC向点C运动,点Q从点C出发,沿线段CA向点A运动,两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度,当点P运动到C时,两点都停止.设运动时间为t秒.
(1)①求线段CD的长;
②求证:
△CBD∽△ABC;
(2)设△CPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式,并求出S的最大值;
(3)是否存在某一时刻t,使得△CPQ为等腰三角形?
若存在,请直接写出满足条件的t的值;
若不存在,请说明理由.
(1)①解:
∵∠ACB=90°
,AC=8,BC=6,
∴AB=10,
∵CD⊥AB,
∴S△ABC=BC·
AC=AB·
CD,
∴CD===,
∴线段CD的长为;
②证明:
∵∠B=∠B,∠CDB=∠BCA=90°
∴△CBD∽△ABC;
(2)解:
如解图②,过点P作PH⊥AC,垂足为H,
由题可知DP=t,CQ=t,
则CP=-t,
∵∠ACB=∠CDB=90°
∴∠HCP=90°
-∠DCB=∠B,
∵PH⊥AC,
∴∠CHP=90°
∴∠CHP=∠ACB,
∴△CHP∽△BCA,
∴PH=-t,
∴S=CQ·
PH=t(-t)=
-(t-)2+,
∵<0,
∴当t=时,S最大=;
(3)存在,t=或或.
【解法提示】①若CQ=CP,如解图①,则t=-t.解得:
t=;
②若PQ=PC,如解图②所示.∵PQ=PC,PH⊥QC,∴QH=CH=QC=.∵△CHP∽△BCA.∴=.∴=,解得t=;
③若QC=QP,如解图③,过点Q作QE⊥CP,垂足为E,同理可得:
t=.综上所述:
当t为秒或秒或秒时,△CPQ为等腰三角形.
第4题解图
5.如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm.如果点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动,同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动,它们的速度分别为2cm/s和1cm/s.FQ⊥BC,分别交AC、BC于点P和Q,设运动时间为t(s)(0<t<4).
(1)连接EF、DQ,若四边形EQDF为平行四边形,求t的值;
(2)连接EP,设△EPC的面积为ycm2,求y与t的函数关系式,并求y的最大值;
(3)若△EPQ与△ADC相似,请直接写出t的值.
(1)在矩形ABCD中,∵AB=6cm,BC=8cm,
∴CD=AB=6cm,AD=BC=8cm,∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠B=90°
在Rt△ABC中,由勾股定理得:
AC=10,
∵FQ⊥BC,
∴∠FQC=90°
∴四边形CDFQ是矩形,
∴DF=QC,FQ=DC=6cm,
由题意知,BE=2t,QC=DF=t,
∴EQ=BC-BE-QC=8-3t,
∵四边形EQDF为平行四边形,
∴FD=EQ,
即t=8-3t,
解得t=2;
(2)∵∠FQC=90°
,∠B=90°
∴∠FQC=∠B,
∴PQ∥AB,
∴△CPQ∽△CAB,
即=,
∴PQ=t,
∵S△EPC=EC·
PQ,
∴y=·
(8-2t)·
t=-t2+3t=-(t-2)2+3,
即y=-(t-2)2+3,
∵a=-<0,
∴当t=2时,y有最大值,y的最大值为3;
(3)t的值为2或或.
【解法提示】分两种情况讨论:
若E在FQ左边,①当△EPQ∽△ACD时,可得:
=,即=,解得t=2;
②当△EPQ∽△CAD时,可得:
=,即=,解得t=.若E在FQ右边,③当△EPQ∽△ACD时,可得:
=,即=,解得t=4(舍去);
④当△EPQ∽△CAD时,可得:
=,即=,解得t=.综上所述,若△EPQ与△ADC相似,则t的值为:
2或或.
类型二 动线型探究题
6.如图,在△ABC中,∠C=90°
,∠A=60°
,AC=2cm.长为1cm的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动(运动前点M与点A重合).过M,N分别作AB的垂线交直角边于P,Q两点,线段MN运动的时间为ts.
(1)若△AMP的面积为y,写出y与t的函数关系式(写出自变量t的取值范围),并求出y的最大值;
(2)在线段MN运动过程中,四边形MNQP有可能成为矩形吗?
若有可能,求出此时t的值;
若不可能,说明理由;
(3)t为何值时,以C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似?
第6题图
(1)当点P在AC上时,
∵AM=t,∴PM=AM·
tan60°
=t,
∴y=t·
t=t2(0<
t≤1),
当t=1时,y最大=;
当点P在BC上时,PM=BM·
tan30°
=(4-t),
(4-t)=-t2+t=-(t-2)2+(1<t<
3),
当t=2s时,y最大=,
综上所述,
y=,
∴当t=2s时,y最大=;
(2)∵AC=2,∴AB=4,∴BN=AB-AM-MN=4-t-1=3-t.
∴QN=BN·
=(3-t),
由题知,若要四边形MNQP为矩形,需PM=QN,且P,Q分别在AC,BC上,
即t=(3-t),∴t=,
∴当t=s时,四边形MNQP为矩形.
(3)由
(2)知,当t=s时,
四边形MNQP为矩形,此时PQ∥AB,
∴△PQC∽△ABC,
除此之外,当∠CPQ=∠B=30°
时,
△QPC∽△ABC,此时=tan30°
=,
∵=cos60°
=,∴AP=2AM=2t,
∴CP=2-2t,
∵=cos30°
=,∴BQ==(3-t),
又BC=2,∴CQ=2-(3-t)=,
∴=,解得t=,
∴当t=s或s时,以C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似.
7.如图,在△ABC中,AB=AC=
5cm,BC=6cm,AD是BC边上的高.点P由C出发沿CA方向匀速运动.速度为1cm/s.同时,直线EF由BC出发沿DA方向匀速运动,速度为1cm/s,EF//BC,并且EF分别交AB、AD、AC于点E,Q,F,连接PQ.若设运动时间为t(s)(0<