数学物理方程23章课后部分习题答案Word文件下载.docx

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可得，

即可得边界条件：

习题2.3

4.由静电场Gauss定理，求证：

，并由此导出静电势所满足的Poisson方程。

证明：

，所以可以得到：

由与，可得静电势所满足的Poisson方程：

习题2.4

2.求下列方程的通解：

（2）：

（5）：

特征方程：

解得：

和。

那么令：

，，

所以：

，，。

可得：

解之得。

习题2.5

2.试证明：

若是定解问题的解，则是定解问题的解。

由题意可对进行求导，则：

，其中。

，

将代入上式中，则可得。

至于边界条件和初始条件，由于

所以，得证。

习题2.6

1.证明下列公式：

（3）

由函数定义：

即：

得证：

习题3.1

3.求下列边值问题的固有值和固有函数：

（4）

令，则方程的通解为

代入边界条件：

则满足等式的值就是固有值，记为，则固有函数为。

7.一根长为L的杆，一端固定，另一端受力而被拉长。

求杆在去掉时的振动。

设杆的截面积为，杨氏模量为。

设位移函数为，则定解问题为

用分离变量法，由边界条件，可得：

，其相对应的本征函数为。

将带入初始条件中，可得，利用本征函数系的正交性，可得：

则可以得到解为：

习题3.2

2.一根长为L的细杆侧面和两端绝热，初始时刻细杆上的温度为，求细杆上温度变化的规律。

其定解问题为：

采用分离变量法，设，将其代入方程分离变量，同时由边界条件，可得本征值：

，其相对应的本征函数为。

且可得。

那么通解即为：

再代入初始条件，即有：

利用本征函数系的正交性，可得：

综上所述，该定解问题的解为：

习题3.3

1.求解定解问题：

利用Poisson公式，可以求得：

，，

那么，可以得到方程的解用级数表示为

4．求解圆域内Laplace方程Neumann问题：

设，得：

。

令其比值为常数，可得两个常微分方程：

及

解出关于的固有值问题的固有值为则固有函数

将代入关于的方程，解得，。

所以，

叠加得：

由边界条件，得：

那么可以得到各个系数值：

综上所述，定解问题的解为

其中：

为任意常数，，

习题3.4

2.一个长、宽各位a的方形膜，边界固定，膜的振动方程是

求方形膜振动的固有频率。

令，将变量分离可得：

，则可得。

继续分离变量，可得，

从而可得固有值问题和。

分别求得固有值问题的固有值为：

，。

则。

将代入关于的常微分方程，可得通解为

所以，综上所述，可得方形膜振动的固有频率为

习题3.5

2.求解定解问题：

其中，是常数。

令，则可以化简为定解问题：

先求解定解问题1，可以解得。

至于定解问题2，可以用分离变量法，解得固有值。

由边界条件解得：

那么：

，将其带入初始条件，可以解得：

所以，原定解问题的解：

其中。

6．求解定解问题：

先求解下面的齐次定解问题对应的固有值问题：

固有函数为：

令一般解为：

将一般解代入泛定方程，将自由项按固有函数系展开，

，

得：

再将一般解和自由项展开代入定解问题的：

解之得：

则原定解问题的解为：

习题3.6

，其中和均为常数。

令，代入定解问题，得：

下面进行边界条件齐次化，令，代入上面的定解问题，可得：

（1）

（2）

对定解问题

（1），利用分离变量法，可得：

固有值，，，所以通解为

代入初始条件中，可以得到

对定解问题

（2），先求解齐次问题：

，得到：

从而得通解为：

将按展开，得：

将与的展开式代入定解问题

（2）中，比较所得方程的两侧系数，即得确定的初始条件为：

此定解问题不难解得：

所以，定解问题

（2）的通解为：

综上所述，定解问题的解为，其中，；

；

令，代入方程，得：

为了使这个方程及边界条件同时化成齐次的，选满足：

那么函数满足下列定解问题：

利用分离变量法，可得满足齐次边界条件的解为：

由初始条件，得：

于是定解问题的解可表示为：

即有

由Fourier级数的系数公式可得

因此，原定解问题的解为：