高届理科数学一轮复习课件金太阳新考案第十五单元156二项分布与正态分布Word文件下载.docx
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三
独立重复试验与二项分布
1.独立重复试验:
在 条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.Ai(i=1,2,…,n)表示第i次试验结果,则P(A1A2A3…An)= .
2.二项分布:
在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率是p,此时称随机变量X服从二项分布,记作 ,并称p为 .在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)= (k=0,1,2,…,n).
四
正态分布
1.定义
如果对于任何实数a,b(a<b),随机变量X满足P(a<X≤b)=φμ,σ(x)dx,其中φμ,σ(x)=e-,x∈(-∞,+∞),那么称随机变量X服从正态分布,记为 .
2.正态曲线的性质
(1)曲线位于x轴 ,与x轴不相交,与x轴之间的面积为1;
(2)曲线是单峰的,它关于直线 对称;
(3)曲线在 处达到峰值;
(4)当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ ,曲线越“高瘦”,表示总体的分布越集中;
σ ,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散;
(5)当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移.
3.正态分布在三个特殊区间内取值的概率值
(1)P(μ-σ<X≤μ+σ)= ;
(2)P(μ-2σ<X≤μ+2σ)= ;
(3)P(μ-3σ<X≤μ+3σ)= .
在线反馈
一、1.条件概率 P(B|A)
2.
(1)0≤P(B|A)≤1
(2)P(B|A)+P(C|A)
二、1.A,B是相互独立事件 2.P(B) P(A)P(B)
4.A与B相互独立
三、1.相同 P(A1)P(A2)…P(An)
2.X~B(n,p) 成功概率 pk(1-p)n-k
四、1.X~N(μ,σ2)
2.
(1)上方
(2)x=μ (3)x=μ (4)越小 越大
3.
(1)0.6827
(2)0.9545 (3)0.9973
1某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( ).
A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45
【试题解析】记事件A表示“一天的空气质量为优良”,事件B表示“随后一天的空气质量为优良”,P(A)=0.75,P(AB)=0.6.由条件概率,得P(B|A)===0.8.
【参考答案】A
2先后抛掷硬币三次,则至少一次正面朝上的概率是( ).
A.B.C.D.
【试题解析】三次均反面朝上的概率是=,所以至少一次正面朝上的概率是1-=.
【参考答案】D
3一袋中有大小相同的5个白球,3个红球,现从袋中往外取球,每次任取1个记下颜色后放回,直到红球出现10次时停止,设停止时共取了X次球,则P(X=12)等于( ).
A.C1012×
0×
B.2×
C.1×
D.1×
【试题解析】由题意知,第12次取到红球,前11次中恰有9次红球和2次白球.因为每次取到红球的概率为,所以P(X=12)=1×
×
=1×
.
4设随机变量ξ~N(2,1),若P(ξ>3)=m,则P(1<ξ<3)等于( ).
A.-2m
B.1-m
C.1-2m
D.-m
【试题解析】因为随机变量ξ~N(2,1),所以随机变量ξ服从正态分布,且正态曲线的对称轴为x=2.因为P(ξ>3)=m,所以P(ξ<1)=m,因此P(1<ξ<3)=1-2P(ξ>3)=1-2m.
【参考答案】C
题型一
条件概率
【例1】
(1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A为“取到的2个数之和为偶数”,事件B为“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)=( ).
(2)如图,EFGH是以O为圆心,1为半径的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”,B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”,则P(B|A)= .
【试题解析】
(1)(法一)事件A包括的基本事件有(1,3),(1,5),(3,5),(2,4),共4个,即n(A)=4.事件AB发生的结果只有(2,4)一种情形,即n(AB)=1.故由古典概型概率公式得P(B|A)==.故选B.
(法二)P(A)==,P(AB)==.由条件概率计算公式得P(B|A)===.故选B.
(2)由题意得,P(A)===.
事件AB表示“豆子落在△OHE内”,
则P(AB)===.
故P(B|A)===.
【参考答案】
(1)B
(2)
计算概率,有两种思路:
(1)利用定义,分别求P(A)和P(AB),得P(B|A)=,这是求条件概率的一般方法;
(2)借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件数n(A),再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB),得P(B|A)=.
【追踪训练1】
(1)袋中装有标号为1,2,3的三个小球,从中任取一个,记下它的号码,放回袋中,这样连续做三次.若抽到各球的机会均等,事件A表示“三次抽到的号码之和为6”,事件B表示“三次抽到的号码都是2”,则P(B|A)=( ).
(2)已知甲在上班途中要经过两个路口,在第一个路口遇到红灯的概率为0.5,两个路口连续遇到红灯的概率为0.4,则甲在第一个路口遇到红灯的条件下,第二个路口遇到红灯的概率为( ).
A.0.6B.0.7C.0.8D.0.9
(1)因为P(A)==,P(AB)==,所以P(B|A)==.
(2)设“第一个路口遇到红灯”为事件A,“第二个路口遇到红灯”为事件B,则P(A)=0.5,P(AB)=0.4,所以P(B|A)==0.8.故选C.
(1)A
(2)C
题型二
相互独立事件的概率
【例2】已知甲、乙、丙三人同时到某用人单位应聘,他们能被聘用的概率分别为,,,且各自能否被聘用是相互独立的,求:
(1)三人都被聘用的概率;
(2)有两人被聘用的概率;
(3)三人中有几人被聘用的事件最易发生.
【试题解析】设甲、乙、丙能被聘用的事件分别为A、B、C,则P(A)=,P(B)=,P(C)=.
(1)设三人都被聘用的概率为P1,因为事件A,B,C相互独立,所以P1=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=×
=.
(2)设三人中有两人被聘用的概率为P2,可分为以下三种情况:
甲未被聘用,乙、丙被聘用,则P(BC)=P()P(B)P(C)=×
=;
乙未被聘用,甲、丙被聘用,则P(C)=P(A)P()P(C)=×
丙未被聘用,甲、乙被聘用,则P()=P(A)P(B)P()=×
上述三个事件是两两互斥的,所以P2==.
(3)三人都未被聘用的概率为P3,则P3=P()=P()P()P()=×
=,
三人中有且只有一人被聘用的概率为P4,则P4=1-(P1+P2+P3)=1-=.
又,所以三人中有且只有一人被聘用的概率最大,即此事件最易发生.
求相互独立事件同时发生的概率的主要方法:
(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解;
(2)正面计算较烦琐(如求用“至少”表述的事件的概率)时,可从其对立事件入手计算.
【追踪训练2】某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为、.现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率.
(2)若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;
若新产品B研发成功,预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列.
【试题解析】记E={甲组研发新产品成功},F={乙组研发新产品成功},由题设知P(E)=,P()=,P(F)=,P()=,且事件E与F,E与,与F,与都相互独立.
(1)记H={至少有一种新产品研发成功},则=,于是P()=P()=P()P()=×
故所求的概率为P(H)=1-P()=1-=.
(2)设企业可获利润为X(万元),则X的可能取值为0,100,120,220,因为P(X=0)=P()=×
=,P(X=100)=P(F)=×
==,
P(X=120)=P(E)=×
=,P(X=220)=P(EF)=×
==.
故所求的分布列为
X
100
120
220
P
题型三
【例3】近几年来,我国许多地区经常出现雾霾天气,某学校为了学生的健康,对课间操活动做了如下规定:
课间操时间若有雾霾则停止组织集体活动,若无雾霾则组织集体活动.预报得知,这一地区在未来5天的课间操时间出现雾霾的概率是前3天均为50%,后2天均为80%,且每一天出现雾霾与否是相互独立的.
(1)求未来5天至少1天停止组织集体活动的概率;
(2)求未来5天不需要停止组织集体活动的天数X的分布列;
(3)用η表示该校未来5天停止组织集体活动的天数,记“函数f(x)=x2-ηx-1在(3,5)上有且只有一个零点”为事件A,求事件A发生的概率.
(1)未来5天都组织集体活动的概率P=·
则至少有一天停止组织集体活动的概率是1-P=.
(2)X的可能取值是0,1,2,3,4,5,
则P(X=0)=,
P(X=1)=×
P(X=2)=×
P(X=3)=×
P(X=4)=×
=,P(X=5)==.
所以X的分布列是
1
2
3
4
5
(3)函数f(x)=x2-ηx-1在(3,5)上有且只有一个零点,且0≤η≤5,
则f(3)f(5)<0,<η<,故η=3或η=4,
故P(A)=×
+×
常见的二项分布的简单应用问题是求n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率.解题的一般思路是根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n,p→写出二项分布的分布列→将k值代入求解概率.
【追踪训练3】某气象站天气预报的准确率为80%,求:
(结果保留到小数点后第2位)
(1)5次预报中恰有2次准确的概率;
(2)5次预报中至少有2次准确的概率;