届高考数学一轮复习 第9章 第43课 直线的方程Word文档下载推荐.docx

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3．直线方程的五种形式

名称

方程

适用范围

点斜式

y－y0＝k（x－x0）

不含直线x＝x0

斜截式

y＝kx＋b

不含垂直于x轴的直线

两点式

＝

不含直线x＝x1（x1≠x2）和直线y＝y1（y1≠y2）

截距式

＋＝1

不含垂直于坐标轴和过原点的直线

一般式

Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0

平面内所有直线都适用

1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．（　　）

（2）坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．（　　）

（3）过定点P0（x0，y0）的直线都可用方程y－y0＝k（x－x0）表示．（　　）

（4）经过任意两个不同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线都可以用方程（y－y1）（x2－x1）＝（x－x1）（y2－y1）表示．（　　）

[答案]　

（1）√　

（2）×

　（3）×

　（4）√

2．（教材改编）直线x－y＋a＝0（a为常数）的倾斜角为________．

60°

　[直线的斜率为k＝tanα＝，

又因为0°

≤α＜180°

，则α＝60°

.]

3．已知直线l经过点P（－2,5），且斜率为－.则直线l的方程为________．

3x＋4y－14＝0　[直线l的方程为y－5＝－（x＋2），即3x＋4y－14＝0.]

4．如果A·

C<

0，且B·

0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过第________象限．

三　[Ax＋By＋C＝0可变形为y＝－x－.

又A·

0，B·

0，故A，B同号．

所以－<

0，－>

0，

所以Ax＋By＋C＝0不通过第三象限．]

5．过点P（2,3），并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程为________．

3x－2y＝0或x－y＋1＝0　[当直线过原点时，方程为y＝x，即3x－2y＝0.

当直线l不过原点时，设直线方程为－＝1.

将P（2,3）代入方程，得a＝－1，

所以直线l的方程为x－y＋1＝0.

综上，所求直线l的方程为3x－2y＝0或x－y＋1＝0.]

直线的倾斜角和斜率

（1）直线x－ycosθ＋1＝0（θ∈R）的倾斜角α的取值范围是________.

【导学号：

62172235】

（2）若直线l过点P（－3,2），且与以A（－2，－3），B（3,0）为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是________．

（1）　

（2）　[

（1）当θ＝kπ＋（k∈Z）时，cosθ＝0，直线为x＋1＝0，其倾斜角为.

当θ≠kπ＋（k∈Z）时，直线l的斜率为

tanα＝∈（－∞，－1]∪[1，＋∞），

所以直线l的倾斜角的取值范围是∪.

综上，α的取值范围是.

（2）因为P（－3,2），A（－2，－3），B（3,0），则kPA＝＝－5，

kPB＝＝－.

如图所示，当直线l与线段AB相交时，直线l的斜率的取值范围为.]

[规律方法]　1.

（1）任一直线都有倾斜角，但斜率不一定都存在；

直线倾斜角的范围是[0，π），斜率的取值范围是R.

（2）正切函数在[0，π）上不单调，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．

2．第

（2）问求解要注意两点：

（1）斜率公式的正确计算；

（2）数形结合写出斜率的范围，切莫误认为k≤－5或k≥－.

[变式训练1]　

（1）直线l经过点A（1,2），在x轴上的截距的取值范围是（－3,3），则其斜率k的取值范围是________．

（2）直线l经过点A（3,1），B（2，－m2）（m∈R）两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是________．

（1）k＜－1或k＞　

（2）　[

（1）设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k（x－1），直线在x轴上的截距为1－.

令－3＜1－＜3，解不等式得k＜－1或k＞.

（2）直线l的斜率k＝＝1＋m2≥1，所以k＝tanα≥1.

又y＝tanα在上是增函数，因此≤α＜.]

求直线的方程

（1）过点A（1,3），斜率是直线y＝－4x的斜率的的直线方程为________．

（2）若A（1，－2），B（5,6），直线l经过AB的中点M且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．

（1）4x＋3y－13＝0　[设所求直线的斜率为k，依题意

k＝－4×

＝－.

又直线经过点A（1,3），因此所求直线方程为

y－3＝－（x－1），即4x＋3y－13＝0.]

（2）法一：

设直线l在x轴，y轴上的截距均为a.

由题意得M（3,2）．

若a＝0，即l过点（0,0）和（3,2），

所以直线l的方程为y＝x，即2x－3y＝0.

若a≠0，设直线l的方程为＋＝1，

因为直线l过点M（3,2），所以＋＝1，

所以a＝5，此时直线l的方程为＋＝1，即x＋y－5＝0.

综上，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.

法二：

易知M（3,2），由题意知所求直线l的斜率k存在且k≠0，则直线l的方程为y－2＝k（x－3）．

令y＝0，得x＝3－；

令x＝0，得y＝2－3k.

所以3－＝2－3k，解得k＝－1或k＝.

所以直线l的方程为y－2＝－（x－3）或y－2＝（x－3），

即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.

[规律方法]　1.截距可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为0”的情况，以防漏解．

2．求直线方程的方法主要有两种：

直接法与待定系数法．运用待定系数法要先设出直线方程，再根据条件求出待定系数．利用此方法，注意各种形式的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要．

[变式训练2]　求过点A（－1，－3）且倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍的直线方程．

[解]　由已知设直线y＝3x的倾斜角为α，

则所求直线的倾斜角为2α.

∵tanα＝3，

∴tan2α＝＝－.

又直线经过点A（－1，－3），

因此所求直线方程为y＋3＝－（x＋1），即3x＋4y＋15＝0.

直线方程的综合应用

　已知直线l过点M（1,1），且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．求：

（1）当OA＋OB取得最小值时，直线l的方程；

（2）当MA2＋MB2取得最小值时，直线l的方程.【导学号：

62172236】

[解]　

（1）设A（a,0），B（0，b）（a＞0，b＞0）．

设直线l的方程为＋＝1，则＋＝1，

所以OA＋OB＝a＋b＝（a＋b）＝2＋＋≥2＋2＝4，

当且仅当a＝b＝2时取等号，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.

（2）设直线l的斜率为k，则k＜0，直线l的方程为y－1＝k（x－1），

则A，B（0,1－k），

所以MA2＋MB2＝2＋12＋12＋（1－1＋k）2＝2＋k2＋≥2＋2＝4.

当且仅当k2＝，即k＝－1时，上式等号成立．

∴当MA2＋MB2取得最小值时，直线l的方程为x＋y－2＝0.

[规律方法]　1.求解本题的关键是找出OA＋OB与MA2＋MB2取得最小值的求法，恰当设出方程的形式，利用均值不等式求解，但一定要注意等号成立的条件．

2．利用直线方程解决问题，为简化运算可灵活选用直线方程的形式．一般地，已知一点通常选择点斜式；

已知斜率选择斜截式或点斜式；

已知截距选择截距式．

[变式训练3]　已知直线l1：

ax－2y＝2a－4，l2：

2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴正半轴围成一个四边形，则当a为何值时，四边形的面积最小？

[解]　由得x＝y＝2，

∴直线l1与l2交于点A（2,2）（如图）．

易知OB＝a2＋2，OC＝2－a，

则S四边形OBAC＝S△AOB＋S△AOC＝×

2（a2＋2）＋×

2（2－a）＝a2－a＋4＝2＋，a∈（0,2），

∴当a＝时，四边形OBAC的面积最小．

[思想与方法]

1．求直线方程的两种常见方法：

（1）直接法：

根据已知条件选择恰当的直线方程形式，直接求出直线方程．

（2）待定系数法：

先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程（组），求出待定系数，从而求出直线方程．

2．5种形式的直线方程都有不同的适用条件，当条件不具备时，要注意分类讨论思想的应用．

[易错与防范]

1．求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；

每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．

2．根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；

二是要考虑正切函数的单调性．

3．应用截距式方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0.

4．由一般式Ax＋By＋C＝0确定斜率k时，易忽视判定B是否为0.当B＝0时，k不存在；

当B≠0时，k＝－.

课时分层训练（四十三）

A组　基础达标

（建议用时：

30分钟）

一、填空题

1．倾斜角为135°

，在y轴上的截距为－1的直线方程是________．

x＋y＋1＝0　[直线的斜率为k＝tan135°

＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0.]

2．设直线ax＋by＋c＝0的倾斜角为α，且sinα＋cosα＝0，则a，b满足的等量关系式为________．

a＝b　[由sinα＋cosα＝0，得＝－1，即tanα＝－1.

又因为tanα＝－，所以－＝－1，则a＝b.]

3．直线l：

xsin30°

＋ycos150°

＋1＝0的斜率是________．

　[直线l可化简为：

x－y＋1＝0.

即y＝x＋，故斜率k＝.]

4．直线x＋（a2＋1）y＋1＝0的倾斜角的取值范围是________．

　[由x＋（a2＋1）y＋1＝0得y＝－x－.

∵a2＋1≥1，∴－∈[－1,0）．

设直线的倾斜角为α，则－1≤tanα<

又α∈[0，π），故≤α<

π.]

5．斜率为2的直线经过（3,5），（a,7），（－1，b）三点，则a＋b＝________.

【导学号：

62172237】

1　[由题意可知＝＝2，

解得a＝4，b＝－3，∴a＋b＝1.]

6．若直线l的斜率为k，倾斜角为α，而α∈∪，则k的取值范围是________．

[－，0）∪　[∵k＝tanα，

∴当α∈时，tan≤k≤tan，即≤k≤1；

当α∈时，tan≤k<

tanπ，即[－，0）．

综上可知，k∈[－，0）∪.

7．直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于P，Q两点，线段PQ中点是（1，－1），则l的斜率是________．

－　[设P（m,1），则Q（2－m，－3），

∴（2－m）＋3－7＝0，∴m＝－2，

∴P（－2,1），

∴k＝＝－.]

8．设点A（－1,0），B（1,0），直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________.【导学号：

62172238】

[－2,2]　[b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，

如图，当直线y＝－2x＋b过点A（－1,0）和点B（1,0）时，b分别取得最小值和最大值，

∴b的取值