最新人教版中考数学 《 圆证明题》 专项复习及答案Word下载.docx
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5、如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点M,MN⊥AC于点N.
求证:
MN是⊙O的切线.
6、如图,AB是⊙O的直径,点C在AB的延长线上,CD与⊙O相切于点D,CE⊥AD,交AD的延长线于点E.
∠BDC=∠A;
(2)若CE=4,DE=2,求⊙O的直径.
7、已知:
AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到点C,使AB=AC,连结AC,过点D作DE⊥AC,垂足为E.
DC=BD
(2)求证:
DE为⊙O的切线.
8、如图,AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点,经过点C的直线与AB的延长线交于点D,连接AC,BC,∠BCD=∠CAB.E是⊙O上一点,弧CB=弧CE,连接AE并延长与DC的延长线交于点F.
DC是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为3,sinD=,求线段AF的长.
9、如图,已知MN是⊙O的直径,直线PQ与⊙O相切于P点,NP平分∠MNQ.
NQ⊥PQ;
(2)若⊙O的半径R=2,NP=,求NQ的长.
10、已知:
AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到点C,使AB=AC;
连结AC,过点D作DE⊥AC,垂足为E.
DC=BD
DE为⊙O的切线
11、如图,以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E,连接EO并延长交BC的延长线于点D,点F为BC的中点,连接EF和AD.
EF是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为2,∠EAC=60°
,求AD的长.
12、如图,AB是⊙O的直径,点E是上的一点,∠DBC=∠BED.
⑴求证:
BC是⊙O的切线;
⑵已知AD=3,CD=2,求BC的长.
13、如图,已知AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,点E在⊙O外,∠EAC=∠D=60°
.
(1)求∠ABC的度数;
AE是⊙O的切线;
(3)当BC=4时,求劣弧AC的长.
14、已知△ABC,以AB为直径的⊙O分别交AC于D,BC于E,连接ED,若ED=EC.
AB=AC;
(2)若AB=4,BC=2,求CD的长.
15、如图,以△ABC的边AB上一点O为圆心的圆经过B、C两点,且与边AB相交于点E,D是弧BE的中点,CD交AB于F,AC=AF.
AC是⊙O的切线;
(2)若EF=5,DF=,求⊙O的半径.
参考答案
1、∵直线AC与⊙O相切,∴OA⊥AC,∴∠OAC=90°
,即∠OAB+∠CAB=90°
,
∵OC⊥OB,∴∠BOC=90°
,∴∠B+∠ODB=90°
而∠ODB=∠ADC,∴∠ADC+∠B=90°
,∴OA=OB,
∴∠OAB=∠B,∴∠ADC=∠CAB,∴AC=CD.
2、
(1)解:
PC与圆O相切,理由为:
过C点作直径CE,连接EB,如图,
∵CE为直径,∴∠EBC=90°
,即∠E+∠BCE=90°
,∵AB∥DC,∴∠ACD=∠BAC,
∵∠BAC=∠E,∠BCP=∠ACD.∴∠E=∠BCP,
∴∠BCP+∠BCE=90°
,即∠PCE=90°
,∴CE⊥PC,∴PC与圆O相切;
(2)解:
∵AD是⊙O的切线,切点为A,∴OA⊥AD,
∵BC∥AD,∴AM⊥BC,∴BM=CM=BC=3,∴AC=AB=9,
在Rt△AMC中,AM==6,
设⊙O的半径为r,则OC=r,OM=AM﹣r=6﹣r,
在Rt△OCM中,OM2+CM2=OC2,即32+(6﹣r)2=r2,解得r=,
∴CE=2r=,OM=6﹣=,∴BE=2OM=,
∵∠E=∠MCP,∴Rt△PCM∽Rt△CEB,∴=,即=,∴PC=
3、
(1)证明:
连接OP,
∵AC是⊙O的切线,∴OP⊥AC,BC⊥AC,∴OP∥BC,∴∠OPB=∠PBC,
∵OP=OB,∴∠OPB=∠OBP,∴∠PBC=∠OBP,∴BP平分∠ABC
(2)作PH⊥AB于H.∵PB平分∠ABC,PC⊥BC,PH⊥AB,∴PC=PH=1,
在Rt△APH中,AH==2,∵∠A=∠A,∠AHP=∠C=90°
,∴△APH∽△ABC,
∴=,∴=,∴AB=3,∴BH=AB﹣AH=,
在Rt△PBC和Rt△PBH中,,∴Rt△PBC≌Rt△PBH,∴BC=BH=.
4、
(1)证明:
连接OB,∵AC是⊙O直径,∴∠ABC=90°
∵OC=OB,∴∠OBC=∠C,∵∠PBA=∠C,∴∠PBA=∠OBC,即∠PBA+∠OBA=∠OBC+∠ABO=∠ABC=90°
∴OB⊥PB,∵OB为半径,∴PB是⊙O的切线;
∵OC=OB,∠C=60°
,∴△OBC为等边三角形,∴BC=OB,
∵OP∥BC,∴∠CBO=∠POB,∴∠C=∠POB,
在△ABC和△PBO中∵,∴△ABC≌△PBO(ASA),∴AC=OP=8,即⊙O的半径为4.
5、证明:
连接OM,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵OB=OM,∴∠B=∠OMB,∴∠OMB=∠C,∴OM∥AC,
∵MN⊥AC,∴OM⊥MN.∵点M在⊙O上,∴MN是⊙O的切线.
6、
(1)证明:
连接OD,
∵CD是⊙O切线,∴∠ODC=90°
,即∠ODB+∠BDC=90°
∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°
,即∠ODB+∠ADO=90°
,∴∠BDC=∠ADO,
∵OA=OD,∴∠ADO=∠A,∴∠BDC=∠A;
(2)∵CE⊥AE,∴∠E=∠ADB=90°
∴DB∥EC,∴∠DCE=∠BDC,∴∠DCE=∠A,∵CE=4,DE=2
∴在Rt△ACE中,可得AE=8∴AD=6
在在Rt△ADB中
可得BD=3∴根据勾股定理可得
7、证明:
(1)连接AD,∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°
,又∵AB=AC,∴DC=BD;
(2)连接半径OD,∵OA=OB,CD=BD,∴OD∥AC,∴∠ODE=∠CED,
又∵DE⊥AC,∴∠CED=90°
,∴∠ODE=90°
,即OD⊥DE.∴DE是⊙O的切线.
8、
(1)证明:
连接OC,BC,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°
,即∠1+∠3=90°
∵OA=OC,∴∠1=∠2.∵∠DCB=∠BAC=∠1.∴∠DCB+∠3=90°
.∴OC⊥DF.∴DF是⊙O的切线;
在Rt△OCD中,OC=3,sinD=.∴OD=5,AD=8.
∵=,∴∠2=∠4.∴∠1=∠4.∴OC∥AF.∴△DOC∽△DAF.∴.∴AF=.
9、
(1)证明:
连结OP,如图,∴直线PQ与⊙O相切,∴OP⊥PQ,
∵OP=ON,∴∠ONP=∠OPN,∵NP平分∠MNQ,∴∠ONP=∠QNP,∴∠OPN=∠QNP,∴OP∥NQ,∴NQ⊥PQ;
连结PM,如图,∵MN是⊙O的直径,∴∠MPN=90°
∵NQ⊥PQ,∴∠PQN=90°
,而∠MNP=∠QNP,∴Rt△NMP∽Rt△NPQ,
∴=,即=,∴NQ=3.
10、
(1)证明:
(1)连接AD;
∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°
又∵AB=AC∴DC=BD
(2)连接半径OD;
∵OA=OB,CD=BD,∴OD∥AC.∴∠0DE=∠CED.
.∴∠ODE=90°
11、
(1)证明:
连接CE,如图所示:
∵AC为⊙O的直径,∴∠AEC=90°
.∴∠BEC=90°
∵点F为BC的中点,∴EF=BF=CF.∴∠FEC=∠FCE.
∵OE=OC,∴∠OEC=∠OCE.∵∠FCE+∠OCE=∠ACB=90°
∴∠FEC+∠OEC=∠OEF=90°
.∴EF是⊙O的切线.
∵OA=OE,∠EAC=60°
,∴△AOE是等边三角形.∴∠AOE=60°
.∴∠COD=∠AOE=60°
∵⊙O的半径为2,∴OA=OC=2在Rt△OCD中,∵∠OCD=90°
,∠COD=60°
∴∠ODC=30°
.∴OD=2OC=4,∴CD=.在Rt△ACD中,∵∠ACD=90°
,AC=4,CD=.
∴AD==.
12、1)AB是⊙O的直径,得∠ADB=90°
,从而得出∠BAD=∠DBC,即∠ABC=90°
,即可证明BC是⊙O的切线;
(2)可证明△ABC∽△BDC,则=,即可得出BC=;
13、解:
(1)∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角,∴∠ABC=∠D=60°
;
(2)∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°
.∴∠BAC=30°
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°
+60°
=90°
,即BA⊥AE,∴AE是⊙O的切线;
(3)如图,连接OC,∵∠ABC=60°
,∴∠AOC=120°
,∴劣弧AC的长为.
14、
(1)证明:
∵ED=EC,∴∠EDC=∠C,∵∠EDC=∠B,∴∠B=∠C,∴AB=AC;
连接AE,∵AB为直径,∴AE⊥BC,由
(1)知AB=AC,∴BE=CE=BC=,
∵△CDE∽△CBA,∴,∴CE•CB=CD•CA,AC=AB=4,
∴•2=4CD,∴CD=.
15、
(1)证明:
连结OD、OC,如图,∵D是弧BE的中点,∴OD⊥BE,∴∠D+∠3=90°
∵∠3=∠2,∴∠D+∠2=90°
,∵AF=AC,OD=OC,∴∠1=∠2,∠D=∠4,
∴∠1+∠4=90°
,∴OC⊥AC,∴AC是⊙O的切线;
设⊙O的半径为r,则OF=OE﹣EF=r﹣5,
在Rt△ODF中,∵OD2+OF2=DF2,∴r2+(r﹣5)2=()2,
整理得r2﹣5r﹣6=0,解得r1=6,r2=﹣1,∴,⊙O的半径为6.