高考数学理科一轮复习平面向量的基本定理及坐标表示学案Word文件下载.docx

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（1）已知向量a＝（x1，1），b＝（x2，2）和实数λ，那么a＋b＝________________________，a－b＝________________________，λa＝________________

（2）已知A（），B（），则AB→＝B→－A→＝（x2，2）－（x1，1）＝（x2－x1，2－1），即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的__________的坐标减去__________的坐标．

6．若a＝（x1，1），b＝（x2，2）（b≠0），则a∥b的充要条是________________________．

7．

（1）P1（x1，1），P2（x2，2），则P1P2的中点P的坐标为________________________________．

（2）P1（x1，1），P2（x2，2），P3（x3，3），则△P1P2P3的重心P的坐标为_______________．

自我检测

1．（2010&

#8226;

福建）若向量a＝（x,3）（x∈R），则“x＝4”是“|a|＝”的（　　）

A．充分而不必要条B．必要而不充分条

．充要条D．既不充分又不必要条

2．设a＝32，sinα，b＝sα，13，且a∥b，则锐角α为（　　）

A．30°

B．4°

．60°

D．7°

3（2011&

马鞍模拟）已知向量a=（6，-4），b（0，2），→＝＝a＋λb，若点在函数＝sinπ12x的图象上，则实数λ等于（　　）

A2B32

．－2D．－32

4．（2010&

陕西）已知向量a＝（2，－1），b＝（－1，），＝（－1，2），若（a＋b）∥，则＝________

（2009&

安徽）给定两个长度为1的平面向量A→和B→，它们的夹角为120°

如图所示，点在以为圆心的圆弧上变动，若→＝xA→＋B→，其中x，∈R，则x＋的最大值是______

探究点一　平面向量基本定理的应用

例1如图所示，在△AB中，→＝14A→，D→＝12B→，AD与B交于点，设A→＝a，B→＝b，以a、b为基底表示→

变式迁移1（2011&

厦门模拟）如图，平面内有三个向量A→、B→、→，其中A→与B→的夹角为120°

，A→与→的夹角为30°

，且|A→|＝|B→|＝1，|→|＝23，若→＝λA→＋μB→（λ、μ∈R），则λ＋μ的值为________．

探究点二　平面向量的坐标运算

例2已知A（-2，4），B（3，-1），（-3，-4），且→＝3A→，N→＝2B→，试求点，N和N→的坐标．

变式迁移2已知点A（1，-2），若向量|AB→与a＝（2,3）同向，|AB→|＝213，则点B的坐标为________．

探究点三　在向量平行下求参数问题

例3　（2011&

嘉兴模拟）已知平面内三个向量：

a＝（3,2），b＝（－1,2），＝（4,1）．

（1）求满足a＝b＋n的实数、n；

（2）若（a＋）∥（2b－a），求实数

变式迁移3　（2009&

江西）已知向量a＝（3,1），b＝（1,3），＝（,7），若（a－）∥b，则＝________1．在解决具体问题时，合理地选择基底会给解题带方便．在解有关三角形的问题时，可以不去特意选择两个基本向量，而可以用三边所在的三个向量，最后可以根据需要任意留下两个即可，这样思考问题要简单得多．

2平面直角坐标系中，以原点为起点的向量A→＝a，点A的位置被a所唯一确定，此时a的坐标与点A的坐标都是（x，）．向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即向量（x，）向量A→点A（x，）．要把点的坐标与向量的坐标区分开，相等的向量坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同，也不能认为向量的坐标是终点的坐标，如A（1,2），B（3,4），则AB→＝（2,2）．（满分：

7分）

一、选择题（每小题分，共2分）

1已知a,b是不共线的向量，若AB→＝λ1a＋b，A→＝a＋λ2b，（λ1，λ2∈R），则A、B、三点共线的充要条为（　　）

A．λ1＝λ2＝－1B．λ1＝λ2＝1

．λ1λ2－1＝0D．λ1λ2＋1＝0

2如图所示，平面内的两条相交直线P1和P2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ（不包括边界）若P→＝aP1→＋bP2→，且点P落在第Ⅲ部分，则实数a，b满足（　　）A．a&

gt;

0，b&

0B．a&

lt;

．a&

0D．a&

3．（2011&

湛江月考）设两个向量a＝（λ＋2，λ2－s2α）和b＝，2＋sinα，其中λ、、α为实数．若a＝2b，则λ的取值范围是（　　）

A．[－6,1]B．[4,8]

．（－∞，1]D．[－1,6]

4设0≤θ≤2π时，已知两个向量P1→＝（sθ，sinθ），P2→＝（2＋sinθ，2－sθ），则向量P1P2→长度的最大值是（　　）

A2B3．32D．23

在平行四边形ABD中，A为一条对角线，若AB→＝（2,4），A→＝（1,3），则BD→等于（　　）

A．（－2，－4）B．（－3，－）

．（3,）D．（2,4）

题号1234

答案

二、填空题（每小题4分，共12分）

6（2011&

烟台模拟）如图所示，在△AB中，点是B的中点过点的直线分别交直线AB、A于不同的两点、N，若AB→＝A→，A→＝nAN→，则＋n的值为______．7．在平面直角坐标系x中，四边形ABD的边AB∥D，AD∥B已知A（－2,0），B（6,8），（8，6），则D点的坐标为________．

8（2009&

天津）在四边形ABD中，AB→＝D→＝（1,1），1|BA→|&

BA→＋1|B→|&

B→＝3|BD→|&

BD→，则四边形ABD的面积为________．

三、解答题（共38分）

9（12分）已知A、B、三点的坐标分别为（-1，0）、（3，-1）、（1，2），并且AE→＝13A→，BF→＝13B→求证：

EF→∥AB→

10．（12分）（2011&

宣城模拟）在△AB中，a、b、分别是角A、B、的对边，已知向量＝（a，b），向量n＝（sA，sB），向量p＝（22sinB＋2，2sinA），若∥n，p2＝9，求证：

△AB为等边三角形．

11（14分）如图，在边长为1的正△AB中，E，F分别是边AB，A上的点，若AE→＝AB→，AF→＝nA→，，n∈（0,1）．设EF的中点为，B的中点为N

（1）若A，，N三点共线，求证：

＝n；

（2）若+n=1,求的最小值．

答案自主梳理

1．不共线　有且只有　λ1e1＋λ2e2　基底　2

（1）夹角

（2）[0，π]　0　π　（3）π2　a⊥b　

3互相垂直　4（x，）　坐标　（x，）　x轴　轴　

（1）（x1＋x2，1＋2）　（x1－x2，1－2）　（λx1，λ1）　

（2）终点　始点

6．x12－x21＝0　7

（1）x1＋x22，1＋22

（2）x1＋x2＋x33，1＋2＋33

自我检测

1．A　[由x＝4知|a|＝42＋32＝；

由|a|＝x2＋32＝，得x＝4或x＝－4故“x＝4”是“|a|＝”的充分而不必要条．]

2．B　[∵a∥b，∴32×

13－sinαsα＝0，

∴sin2α＝1,2α＝90°

，α＝4°

]

3．A　[＝a＋λb＝（6，－4＋2λ），代入＝sinπ12x得，

－4＋2λ＝sinπ2＝1，解得λ＝2]

4．－1

解析　a＋b＝（1，－1），由（a＋b）∥，

得1×

2－（－1）×

（－1）＝0，所以＝－1

．2

解析　建立如图所示的坐标系，则A（1,0），B（s120°

，sin120°

），

即B（－12，32）．

设＝,则A→＝（sα，sinα）．

∵→＝xA→＋B→

＝（x,0）＋－2，32＝（sα，sinα）．

∴x－2＝sα，32＝sinα　∴x＝sinα3＋sα，＝2sinα3，

∴x＋＝3sinα＋sα＝2sin（α＋30°

）．

∵0°

≤α≤120°

，∴30°

≤α＋30°

≤10°

∴x＋有最大值2，当α＝60°

时取最大值．

堂活动区

例1　解题导引本题利用方程的思想，设→=a+nb，通过建立关于、n的方程求解，同时注意体会应用向量法解决平面几何问题的方法

解设→＝a＋nb（，n∈R），

则A→＝→－A→＝（－1）a＋nb，

AD→＝D→－A→＝12b－a＝－a＋12b

因为A，，D三点共线，所以－1－1＝n12，即＋2n＝1

而→＝→－→＝－14a＋nb，

B→＝B→－→＝b－14a＝－14a＋b，

因为，，B三点共线，所以－14－14＝n1，

即4＋n＝1由＋2n＝1，4＋n＝1，　解得＝17，n＝37

所以→＝17a＋37b

变式迁移1　6

解析如右图，→＝D→＋E→

＝λA→＋μB→

在△D中，∠D＝30°

，∠D＝∠B＝90°

，

可求|D→|＝4，同理可求|E→|＝2，

∴λ＝4，μ＝2，λ＋μ＝6

例2　解　∵A（－2,4），B（3，－1），（－3，－4），

∴A→＝（1,8），B→＝（6,3）．

∴→＝3A→＝（3,24），

N→＝2B→＝（12,6）．

设（x，），则→＝（x＋3，＋4）＝（3,24），

∴x＋3＝3，＋4＝24，　∴x＝0，＝20　∴（0,20）．

同理可得N（9，2），因此N→=（9，－18）

∴所求（0，20），N（9，2），N→＝（9，－18）．

变式迁移2　（,4）

解析　∵向量AB→与a同向，

∴设AB→＝（2t,3t）（t&

0）．

由|AB→|＝213，∴4t2＋9t2＝4×

13∴t2＝4

∵t&

0，∴t＝2∴AB→＝（4,6）．

设B为（x，），∴x－1＝4，＋2＝6　∴x＝，＝4

例3　解　

（1）∵a＝b＋n，，n∈R，

∴（3,2）＝（－1,2）＋n（4,1）＝（－＋4n,2＋n）．

∴－＋4n＝3，2＋n＝2，　解之得＝9，n＝89

（2）∵（a＋）∥（2b－a），

且a＋＝（3＋4,2＋），2b－a＝（－,2