详解全国初中数学联合竞赛答案Word文档下载推荐.docx
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(A)1.(B).(C).(D).
【答】B.
解由得,所以,故选(B).
注:
本题也可用特殊值法来判断.
2.当分别取值,,,…,,,,…,,,时,计算代数式的值,将所得的结果相加,其和等于()
(A)-1.(B)1.(C)0.(D)2007.
【答】C.
解因为,即当分别取值,为正整数)时,计算所得的代数式的值之和为0;
而当时,.因此,当分别取值,,,…,,,,…,,,时,计算所得各代数式的值之和为0.故选(C).
3.设是△的三边长,二次函数在时取最小值,则△是()
(A)等腰三角形.(B)锐角三角形.(C)钝角三角形.(D)直角三角形.
【答】D.
解由题意可得即所以,,因此,所以△是直角三角形.故选(D).
4.已知锐角△的顶点到垂心的距离等于它的外接圆的半径,则∠的度数是()
(A)30°
.(B)45°
.(C)60°
.(D)75°
.
解锐角△的垂心在三角形内部,如图,设△的外心为,为的中点,的延长线交⊙于点,连、,则//,//,则,所以∠=30°
,∠=60°
,所以∠=∠=60°
.故选(C).
5.设是△内任意一点,△、△、△的重心分别为、、,则的值为()
(A).(B).(C).(D).
【答】A.
解分别延长、、,与△的三边、、交于点、、,由于、、分别为△、△、△的重心,易知、、分别为、、的中点,所以.
易证△∽△,且相似比为,所以.
所以.故选(A).
6.袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球,从袋中摸出15个球,摸出的球中恰好有3个红球的概率是()
解设摸出的15个球中有个红球、个黑球、个白球,则都是正整数,且,.因为,所以可取值2,3,4,5.
当时,只有一种可能,即;
当时,,有2种可能,或;
当时,,有3种可能,或或;
当时,,有4种可能,或或或.
因此,共有1+2+3+4=10种可能的摸球结果,其中摸出的球中恰好有3个红球的结果有2种,所以所求的概率为.故选(B).
二、填空题(本题满分28分,每小题7分)
1.设,是的小数部分,是的小数部分,则____1___.
解∵,而,∴.
又∵,而,∴.∴,
∴.
2.对于一切不小于2的自然数,关于的一元二次方程的两个根记作(),
则=
解由根与系数的关系得,,所以
,
则,
=.
3.已知直角梯形的四条边长分别为,过、两点作圆,与的延长线交于点,与的延长线交于点,则的值为____4_____.
解延长交⊙于点,设的中点分别为点,则易知.因为,由割线定理,易证,所以.
4.若和均为四位数,且均为完全平方数,则整数的值是___17____.
解设,,则,两式相减得
,因为101是质数,且,所以,故.代入,整理得,解得,或(舍去).
所以.
第二试(A)
一、(本题满分20分)设为正整数,且,如果对一切实数,二次函数的图象与轴的两个交点间的距离不小于,求的值.
解因为一元二次方程的两根分别为和,所以二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为.
由题意,,即,即.
由题意知,,且上式对一切实数恒成立,所以
所以或
二、(本题满分25分)如图,四边形是梯形,点是上底边上一点,的延长线与的延长线交于点,过点作的平行线交的延长线于点,与交于点.证明:
∠=∠.
证明设与交于点,∵//,
∴△∽△,∴,
∴.
又∵//,∴△∽△,∴,
∴,故
又∠=∠,∴△PNF∽△PMC,∴∠PNF=∠PMC,∴NF//MC
∴∠ANF=∠EDM.
又∵ME//BF,∴∠FAN=∠MED.
∴∠ANF+∠FAN=∠EDM+∠MED,∴∠AFN=∠DME.
三、(本题满分25分)已知是正整数,如果关于的方程的根都是整数,求的值及方程的整数根.
解观察易知,方程有一个整数根,将方程的左边分解因式,得
因为是正整数,所以关于的方程
(1)
的判别式,它一定有两个不同的实数根.
而原方程的根都是整数,所以方程
(1)的根都是整数,因此它的判别式应该是一个完全平方数.
设(其中为非负整数),则,即
显然与的奇偶性相同,且,而,所以
或或解得或或
而是正整数,所以只可能或
当时,方程
(1)即,它的两根分别为和.此时原方程的三个根为1,和.
第二试(B)
一、(本题满分20分)设为正整数,且,二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为,二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为.如果对一切实数恒成立,求的值.
解因为一元二次方程的两根分别为和,所以;
一元二次方程的两根分别为和,所以.
所以,
由题意知,,且
(1)式对一切实数恒成立,所以
所以或
二、(本题满分25分)题目和解答与(A)卷第二题相同.
三、(本题满分25分)设是正整数,二次函数,反比例函数,如果两个函数的图象的交点都是整点(横坐标和纵坐标都是整数的点),求的值.
解联立方程组消去得,即
,分解因式得
显然是方程
(1)的一个根,(1,56)是两个函数的图象的一个交点.
(2)
而两个函数的图象的交点都是整点,所以方程
(2)的根都是整数,因此它的判别式应该是一个完全平方数.
当时,方程
(2)即,它的两根分别为和,此时两个函数的图象还有两个交点和.
第二试(C)
一、(本题满分25分)题目和解答与(B)卷第一题相同.
三、(本题满分25分)设是正整数,如果二次函数和反比例函数的图象有公共整点(横坐标和纵坐标都是整数的点),求的值和对应的公共整点.
解联立方程组消去得=
,即,分解因式得
如果两个函数的图象有公共整点,则方程
(1)必有整数根,从而关于的一元二次方程
必有整数根,所以一元二次方程
(2)的判别式应该是一个完全平方数,
而.
所以应该是一个完全平方数,设(其中为非负整数),则,即.
当时,方程
(2)即,它的两根分别为2和,易求得两个函数的图象有公共整点和.
当时,方程
(2)即,它的两根分别为1和,易求得两个函数的图象有公共整点和.