离散数学知识点总结Word格式.docx

离散数学知识点总结Word格式.docx

《离散数学知识点总结Word格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《离散数学知识点总结Word格式.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词；

第四章集合

1.N，表示自然数集，1,2,3……，不包括0；

2.基：

集合A中不同元素的个数，|A|；

3.幂集：

给定集合A，以集合A的所有子集为元素组成的集合，P（A）；

4.若集合A有n个元素，幂集P（A）有个元素，|P（A）|==；

5.集合的分划：

（等价关系）

①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合；

②这几个子集相交为空，相并为全（A）；

6.集合的分划与覆盖的比较：

分划：

每个元素均应出现且仅出现一次在子集中；

覆盖：

只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次；

第五章关系

1.若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔A×

B的基数为mn，A到B上可以定义种不同的关系；

2.若集合A有n个元素，则|A×

A|=，A上有个不同的关系；

3.全关系的性质：

自反性，对称性，传递性；

空关系的性质：

反自反性，反对称性，传递性；

全封闭环的性质：

自反性，对称性，反对称性，传递性；

4.前域（domR）：

所有元素x组成的集合；

后域（ranR）：

所有元素y组成的集合；

5.自反闭包：

r（R）=RU;

对称闭包：

s（R）=RU;

传递闭包：

t（R）=RUUU……

6.等价关系：

集合A上的二元关系R满足自反性，对称性和传递性，则R称为等价关系；

7.偏序关系：

集合A上的关系R满足自反性，反对称性和传递性，则称R是A上的一个偏序关系；

8.covA={<

x,y>

|x,y属于A，y盖住x}；

9.极小元：

集合A中没有比它更小的元素（若存在可能不唯一）；

极大元：

集合A中没有比它更大的元素（若存在可能不唯一）；

最小元：

比集合A中任何其他元素都小（若存在就一定唯一）；

最大元：

比集合A中任何其他元素都大（若存在就一定唯一）；

10.前提：

B是A的子集

上界：

A中的某个元素比B中任意元素都大，称这个元素是B的上界（若存在，可能不唯一）；

下界：

A中的某个元素比B中任意元素都小，称这个元素是B的下界（若存在，可能不唯一）；

上确界：

最小的上界（若存在就一定唯一）；

下确界：

最大的下界（若存在就一定唯一）；

第六章函数

1.若|X|=m,|Y|=n,则从X到Y有种不同的关系，有种不同的函数；

2.在一个有n个元素的集合上，可以有种不同的关系，有种不同的函数，有n!

种不同的双射；

3.若|X|=m,|Y|=n，且m<

=n，则从X到Y有种不同的单射；

4.单射：

f:

X-Y，对任意,属于X,且≠，若f（）≠f（）；

满射：

X-Y，对值域中任意一个元素y在前域中都有一个或多个元素对应；

双射：

X-Y，若f既是单射又是满射，则f是双射；

5.复合函数：

fº

g=g（f（x））;

6.设函数f:

A-B，g:

B-C，那么

①如果f,g都是单射，则fº

g也是单射；

②如果f,g都是满射，则fº

g也是满射；

③如果f,g都是双射，则fº

g也是双射；

④如果fº

g是双射，则f是单射，g是满射；

第七章代数系统

1.二元运算：

集合A上的二元运算就是到A的映射；

2.集合A上可定义的二元运算个数就是从A×

A到A上的映射的个数，即从从A×

A到A上函数的个数，若|A|=2,则集合A上的二元运算的个数为==16种；

3.判断二元运算的性质方法：

①封闭性：

运算表内只有所给元素；

②交换律：

主对角线两边元素对称相等；

③幂等律：

主对角线上每个元素与所在行列表头元素相同；

④有幺元：

元素所对应的行和列的元素依次与运算表的行和列相同；

⑤有零元：

元素所对应的行和列的元素都与该元素相同；

4.同态映射：

A,*>

<

B,^>

满足f（a*b）=f（a）^f（b）,则f为由<

到<

的同态映射；

若f是双射，则称为同构；

第八章群

1.广群的性质：

封闭性；

半群的性质：

封闭性，结合律；

含幺半群（独异点）：

封闭性，结合律，有幺元；

群的性质：

封闭性，结合律，有幺元，有逆元；

2.群没有零元；

3.阿贝尔群（交换群）：

封闭性，结合律，有幺元，有逆元，交换律；

4.循环群中幺元不能是生成元；

5.任何一个循环群必定是阿贝尔群；

第十章格与布尔代数

1.格：

偏序集合A中任意两个元素都有上、下确界；

2.格的基本性质：

1）自反性

a≤a对偶:

a≥a

2）反对称性

a≤b^b≥a=>

a=b

对偶:

a≥b^b≤a=>

3）传递性

a≤b^b≤c=>

a≤c

a≥b^b≥c=>

a≥c

4）最大下界描述之一

a^b≤a对偶avb≥a

A^b≤b对偶avb≥b

5）最大下界描述之二

c≤a,c≤b=>

c≤a^b

对偶c≥a,c≥b=>

c≥avb

6）结合律

a^（b^c）=（a^b）^c

对偶av（bvc）=（avb）vc

7） 

等幂律

a^a=a对偶ava=a

8）吸收律

a^（avb）=a对偶av（a^b）=a

9） 

a≤b<

=>

a^b=aavb=b

10）a≤c,b≤d=>

a^b≤c^davb≤cvd

11）保序性

b≤c=>

a^b≤a^cavb≤avc

12）分配不等式

av（b^c）≤（avb）^（avc）

对偶a^（bvc）≥（a^b）v（a^c）

13）模不等式

a≤c<

av（b^c）≤（avb）^c

3.分配格：

满足a^（bvc）=（a^b）v（a^c）和av（b^c）=（avb）^（avc）；

4.分配格的充要条件：

该格没有任何子格与钻石格或五环格同构；

5.链格一定是分配格，分配格必定是模格；

6.全上界：

集合A中的某个元素a大于等于该集合中的任何元素，则称a为格<

A,<

的全上界，记为1；

（若存在则唯一）

全下界：

集合A中的某个元素b小于等于该集合中的任何元素，则称b为格<

的全下界，记为0；

7.有界格：

有全上界和全下界的格称为有界格，即有0和1的格；

8.补元：

在有界格内，如果a^b=0,avb=1，则a和b互为补元；

9.有补格：

在有界格内，每个元素都至少有一个补元；

10.有补分配格（布尔格）：

既是有补格，又是分配格；

11.布尔代数：

一个有补分配格称为布尔代数；

第十一章图论

1.邻接：

两点之间有边连接，则点与点邻接；

2.关联：

两点之间有边连接，则这两点与边关联；

3.平凡图：

只有一个孤立点构成的图；

4.简单图：

不含平行边和环的图；

5.无向完全图：

n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单无向图；

有向完全图:

n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单有向图；

6.无向完全图有n（n-1）/2条边，有向完全图有n（n-1）条边；

7.r-正则图：

每个节点度数均为r的图；

8.握手定理：

节点度数的总和等于边的两倍；

9.任何图中，度数为奇数的节点个数必定是偶数个；

10.任何有向图中，所有节点入度之和等于所有节点的出度之和；

11.每个节点的度数至少为2的图必定包含一条回路；

12.可达：

对于图中的两个节点,，若存在连接到的路，则称与相互可达，也称与是连通的；

在有向图中，若存在到的路，则称到可达；

13.强连通：

有向图章任意两节点相互可达；

单向连通：

图中两节点至少有一个方向可达；

弱连通：

无向图的连通；

（弱连通必定是单向连通）

14.点割集：

删去图中的某些点后所得的子图不连通了，如果删去其他几个点后子图之间仍是连通的，则这些点组成的集合称为点割集；

割点：

如果一个点构成点割集，即删去图中的一个点后所得子图是不连通的，则该点称为割点；

15.关联矩阵：

M（G），是与关联的次数，节点为行，边为列；

无向图：

点与边无关系关联数为0，有关系为1，有环为2；

有向图：

点与边无关系关联数为0，有关系起点为1终点为-1，

关联矩阵的特点：

无向图：

①行：

每个节点关联的边，即节点的度；

②列：

每条边关联的节点；

有向图：

③所有的入度

（1）=所有的出度（0）;

16.邻接矩阵：

A（G），是邻接到的边的数目，点为行，点为列；

17.可达矩阵：

P（G），至少存在一条回路的矩阵，点为行，点为列；

P（G）=A（G）+（G）+（G）+（G）

可达矩阵的特点：

表明图中任意两节点之间是否至少存在一条路，以和在任何节点上是否存在回路；

A（G）中所有数的和：

表示图中路径长度为1的通路条数；

（G）中所有数的和：

表示图中路径长度为2的通路条数；

表示图中路径长度为3的通路条数；

表示图中路径长度为4的通路条数；

P（G）中主对角线所有数的和：

表示图中的回路条数；

18.布尔矩阵：

B（G），到有路为1，无路则为0，点为行，点为列；

19.代价矩阵：

邻接矩阵元素为1的用权值表示，为0的用无穷大表示，节点自身到自身的权值为0；

20.生成树：

只访问每个节点一次，经过的节点和边构成的子图；

21.构造生成树的两种方法：

深度优先；

广度优先；

深度优先：

①选定起始点；

②选择一个与邻接且未被访问过的节点；

③从出发按邻接方向继续访问，当遇到一个节点所有邻接点均已被访问时，回到该节点的前一个点，再寻求未被访问过的邻接点，直到所有节点都被访问过一次；

广度优先：

②访问与邻接的所有节点,,……,,这些作为第一层节点；

③在第一层节点中选定一个节点为起点；

④重复②③，直到所有节点都被访问过一次；

22.最小生成树：

具有最小权值（T）的生成树；

23.构造最小生成树的三种方法：

克鲁斯卡尔方法；

管梅谷算法；

普利姆算法；

（1）克鲁斯卡尔方法

①将所有权值按从小到大排列；

②先画权值最小的边，然后去掉其边值；

重新按小到大排序；

③再画权值最小的边，若最小的边有几条相同的，选择时要满足不能出现回路，然后去掉其边值；

④重复③，直到所有节点都被访问过一次；

（2）管梅谷算法（破圈法）

①在图中取一回路，去掉回路中最大权值的边得一子图；

②在子图中再取一回路，去掉回路中最大权值的边再得一子图；

③重复②，直到所有节点都被访问过一次；

（3）普利姆算法

①在图中任取一点为起点，连接边值最小的邻接点；

②以邻接点为起点，