高中数学 333函数的最大小值与导数学案 新人教A版选修11Word格式.docx
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解析:
f′(x)=3x2-3.当|x|<1,f′(x)<0,
∴函数f(x)在(-1,1)上单调递减,故选C.
2.函数f(x)=-x2+4x+1在区间[3,5]上的最大值和最小值分别是4,-4.
令f′(x)=-2x+4=0,则x=2,f(x)在[3,5]上是单调函数,排除f
(2),比较f(3),f(5),即得.
3.函数y=xlnx在[1,3]内的最小值为0.
y′=lnx+1,∵x∈[1,3],∴y′>0,
∴函数y=xlnx在[1,3]内是递增函数,
∴当x=1时,ymin=0.
1.函数f(x)=x3-3x+1在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是(C)
A.1,-1 B.1,-17
C.3,-17D.9,-19
根据求最值的步骤,直接计算即可得答案为C.
2.已知f(x)=x2-cosx,x∈[-1,1],则导函数f′(x)是(D)
A.仅有最小值的奇函数
B.既有最大值又有最小值的偶函数
C.仅有最大值的偶函数
D.既有最大值又有最小值的奇函数
求导可得f′(x)=x+sinx,显然f′(x)是奇函数,令h(x)=f′(x),则h(x)=x+sinx,求导得h′(x)=1+cosx,当x∈[-1,1]时,h′(x)>0,所以h(x)在[-1,1]上单调递增,有最大值和最小值.
所以f′(x)是既有最大值又有最小值的奇函数.故选D.
3.函数f(x)=x2+ax+1在点[0,1]上的最大值为f(0),则实数a的取值范围是________.
依题意有:
f(0)≥f
(1),即1≥2+a,所以a≤-1.
答案:
(-∞,-1]
4.求下列函数的最值:
(1)f(x)=x3+2x,x∈[-1,1];
(2)f(x)=(x-1)(x-2)2,x∈[0,3],
(1)当x∈[-1,1]时,f′(x)=3x2+2>0,
则f(x)=x3+2x在x∈[-1,1]上单调递增.因而f(x)的最小值时f(-1)=-3,最大值是f
(1)=3.
(2)因为f(x)=(x-1)(x-2)2=x3-5x2+8x-4,所以f′(x)=(3x-4)(x-2)
令f′(x)=(3x-4)(x-2)=0,得x=或x=2,
∵f(0)=-4,f=,f
(2)=0,f(3)=2,
∴f(x)的最大值是2,最小值时-4.
5.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m,n∈[-1,1],求f(m)+f′(n)的最小值.
求导得f′(x)=-3x2+2ax,
由函数f(x)在x=2处取得极值知f′
(2)=0,
即-3×
4+2a×
2=0,∴a=3.
由此可得f(x)=-x3+3x2-4,
f′(x)=-3x2+6x,
易知f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,
∴当m∈[-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4.
又f′(x)=-3x2+6x的图象开口向下,且对称轴为x=1.
∴当n∈[-1,1]时,f′(n)min=f′(-1)=-9.
故f(m)+f′(n)的最小值为-13.
1.函数f(x)=x3+在(0,+∞)上的最小值是(A)
A.4B.5
C.3D.1
2.当x∈[-1,2]时,x3-x2-2x<m恒成立,则实数m的取值范围是(B)
A.[2,+∞)B.(2,+∞)
C.(-∞,2]D.(-∞,2)
这是函数最值的简单应用,
令f(x)=x3-x2-2x,x∈[-1,2],则问题转化为求f(x)得最大值,不难求得f(x)max=f
(2)=2,则m>2.
3.函数y=的最大值为(A)
A.e-1B.e
C.e2D.
令y′===0,x=e,当x>e时,y′<0;
当x<e时,y′>0,y极大值=f(e)=,在定义域内只有一个极值,所以ymax=.
4.在区间上,函数f(x)=x2+px+q与g(x)=2x+在同一点取得相同的最小值,那么f(x)在上的最大值是(D)
A.B.
C.8D.4
由g′(x)=2-=0,得,x=1,因为g=5,g
(1)=3,g
(2)=,所以,当x=1时,g(x)min=g
(1)=3.于是-=1,1+p+q=3,解得,p=-2,q=4.因此,f(x)=x2-2x+4=(x-1)2+3,故当x=2时,f(x)max=f
(2)=4.
5.对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)·
f′(x)≥0,则必有(C)
A.f(0)+f
(2)<2f
(1)
B.f(0)+f
(2)≤2f
(1)
C.f(0)+f
(2)≥2f
(1)
D.f(0)+f
(2)>2f
(1)
依题意,当x≥1时,f′(x)≥0,函数f(x)在(1,+∞)上是增函数;
当x<1时,f′(x)≤0,f(x)在(-∞,1)上是减函数.故f(x)在x=1时取得最小值,即有f(0)≥f
(1),f
(2)≥f
(1).
6.函数f(x)=ex(sinx+cosx)在区间上的值域为(A)
C.D.
7.函数y=x2-(x<0)的最小值是________.
直接计算,得ymin=.
8.若函数f(x)=x3-3x-a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别是m、n,则m-n的值为________.
令f′(x)=3x2-3=0,
解得x=1或x=-1.
因为f(0)=-a,f
(1)=-2-a,f(3)=18-a,
所以n=-2-a,m=18-a,
所以m-n=20.
20
9.已知函数f(x)=-x2-2x+3在区间[a,2]上的最大值为,则a等于________.
f(x)=-(x+1)2+4.
f(x)的开口向下,对称轴为x=-1,
当x=-1,f(-1)=4>,∴a>-1.
∴f(x)在[a,2]是减函数.
∴f(a)=,解得a=-,或a=-(舍去).
-
10.设函数f(x)=lnx+ln(2-x)+ax(a>0).
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为,求a的值.
函数f(x)的定义域为(0,2),
f′(x)=-+a.
(1)当a=1时,f′(x)=,
所以f(x)的单调递增区间为(0,),
单调递减区间为(,2).
(2)当x∈(0,1]时,f′(x)=+a>0,
即f(x)在(0,1]上单调递增,
故f(x)在(0,1]上的最大值为f
(1)=a,
因此a=.
11.设函数f(x)=ax3+bx+c(a>0)为奇函数,其图象在点(1,f
(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直,导函数f′(x)的最小值为-12.
(1)求a,b,c的值;
(2)求函数f(x)的单调递增区间,并求函数f(x)在[-1,3]上的最大值和最小值.
(1)∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),
即-ax3-bx+c=-ax3-bx-c,∴c=0.
∵f′(x)=3ax2+b的最小值为-12,∴b=-12.
又直线x-6y-7=0的斜率为,
因此f′
(1)=3a+b=-6,解得a=2.
故a=2,b=-12,c=0.
(2)f(x)=2x3-12x,
f′(x)=6x2-12=6(x+)(x-),
令f′(x)=0,得x=-或x=.
在[-1,3]上,当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如下表:
∴函数f(x)的单调递增区间为(-∞,),(,+∞).
∵f(-1)=10,f(3)=18,f()=-8;
∴当x=时,f(x)取得最小值为-8.
当x=3时,f(x)取得最大值为18.
12.设α∈R,函数f(x)=ax3-3x2.
(1)若x=2时函数y=f(x)的极值点,求a的值;
(2)若函数g(x)=f(x)+f′(x),x∈[0,2],在x=0处取得最大值,求a的取值范围.
(1)f′(x)=3ax2-6x=3x(ax-2).
因为x=2是函数y=f(x)的极值点,所以f′
(2)=0,即6(2a-2)=0,因此a=1.
经验证,当a=1时,x=2是函数y=f(x)的极值点.
(2)由题设,g(x)=ax3-3x2+3ax2-6x=
ax2(x+3)-3x(x+2).
当g(x)在区间[0,2]上的最大值为g(0)时,
g(0)≥g
(2),即0≥20a-24.故得a≤.
反之,当a≤时,对任意x∈[0,2],
g(x)≤x2(x+3)-3x(x+2)=
(2x2+x+10)=(2x+5)(x-2)≤0,而g(0)=0,故g(x)在区间[0,2]上的最大值为g(0).
综上,a的取值范围为.
►体验高考
1.(xx·
安徽卷)设函数f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中a>0.
(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性;
(2)当x∈[0,1]时,求f(x)取最大值和最小值时的x的值.
(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),
f′(x)=1+a-2x-3x2.
令f′(x)=0,得x1=,
x2=,x1<x2,
所以f′(x)=-3(x-x1)(x-x2).
当x<x1或x>x2时,f′(x)<0;
当x1<x<x2时,f′(x)>0.
故f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)内单调递减,在(x1,x2)内单调递增.
(2)因为a>0,所以x1<0,x2>0.
①当a≥4时,x2≥1,由
(1)知,f(x)在[0,1]上单调递增,所以f(x)在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值.
②当0<a<4,时,x2<1,由
(1)知,f(x)在[0,x2]上单调递增,在[x2,1]上单调递减,所以f(x)在
x=x2=处取得最大值.
又f(0)=1,f
(1)=a,所以
当0<a<1时,f(x)在x=1处取最小值;
当a=1时,f(x)在x=0处和x=1处同时取得最小值;
当1<a<4时,f(x)在x=0处取得最小值.
2.(xx·
江西卷)已知函数f(x)=(4x2+4ax+a2),其中a<0.
(1)当a=-4时,求f(x)的单调递增区间;
(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8,求a的值.
(1)当a=-4时,由f′(x)==0得x=或x=2.
由f′(x)>0得x∈或x∈(2,+∞),故函数f(x)的单调递增区间为和(