人教版高中数学必修432《三角恒等变换》章末复习课Word文件下载.docx

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例2．已知函数．

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．

【知识点】三角恒等变换，三角函数的周期、最值．

【解题过程】

（1）∵＝4cosx－1＝sin2x＋2cos2x－1＝sin2x＋cos2x＝2sin．∴f（x）的最小正周期为π．

（2）∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤，故：

当2x＋＝时，即x＝，f（x）取得最大值2；

当2x＋＝－时，即x＝－，f（x）取得最小值－1．

【思路点拨】

（1）将f（x）变形成三角函数的标准型进而求最小正周期为；

（2）三角函数求最值．

【答案】

（1）f（x）的最小正周期为π；

（2）f（x）的最大值为2，最小值为－1．

例3．求函数y＝sinx＋sin2x－cosx（x∈R）的值域．

【知识点】三角恒等变换，二次函数和三角函数的值域．

【数学思想】换元的思想．

【解题过程】令sinx－cosx＝t，则由t＝sin知t∈[－，]，

又sin2x＝1－（sinx－cosx）2＝1－t2．∴y＝（sinx－cosx）＋sin2x＝t＋1－t2＝＋．

当t＝时，ymax＝；

当t＝－时，ymin＝－－1．

∴函数的值域为：

．

【思路点拨】将sinx－cosx看作整体进行换元，将函数用sinx－cosx表示，进而换元求值域．

【答案】函数的值域为：

3．章末检测题

第I卷（选择题，共60分）

一．选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．cos215°

－sin215°

的值是（）

A．B．－C．D．－

【知识点】二倍角的余弦值．

【解题过程】cos215°

＝cos30°

＝．

【思路点拨】熟悉二倍角的余弦公式及其逆用．

【答案】C．

2．已知则（）

A．B．C．D．

【知识点】两角和的正切公式．

【解题过程】由已知得．

【思路点拨】明确两角和的正切公式．

【答案】B．

3．若sin2α＝，<

α<

，则cosα－sinα的值是（）

【知识点】

（cosα－sinα）2＝1－sin2α

（cosα－sinα）2＝1－sin2α＝1－＝．又∵<

，∴cosα<

sinα，

故cosα－sinα＝－＝－．

【思路点拨】观察所求式子和已知式子并找到两者的关系，建立方程求解，同时要考虑结果的符号．

4．函数的最小正周期是（）

A．B．C．πD．2π

【知识点】三角恒等变换，三角函数的周期．

【数学思想】计算能力

【解题过程】∵，

又∵，∴函数的最小正周期是．

【思路点拨】先利用三角恒等变换化简函数，再求周期．

5．tan19°

＋tan41°

＋tan19°

tan41°

的值为（）

A．1B．C．－D．

【知识点】两角和的正切值得应用．

【解题过程】∵tan19°

＋tan41°

＝tan60°

（1－tan19°

tan41°

）＝－tan19°

，

∴原式＝－tan19°

＋tan19°

【思路点拨】掌握两角和差正切公式的变形应用．

【答案】D．

6．已知tanθ＝，则cos2θ＋sin2θ等于（）

A．－B．－C．D．

【知识点】利用三角恒等变换化简求值．

【解题过程】原式＝＝＝．

【思路点拨】cos2θ＋sin2θ＝＝再带值．

7．在△ABC中，已知sinAcosA＝sinBcosB，则△ABC是（）

A．等腰三角形B．直角三角形

C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形

【知识点】二倍角正弦的应用．

【解题过程】∵sin2A＝sin2B，∴∠A＝∠B，或∠A＋∠B＝．

【思路点拨】利用二倍角的余弦值化简方程，再确定角的关系进而得到三角形的特征.

8．要得到函数的图像，只需要将函数的图像（）

A．向右平移个单位B．向右平移个单位

C．向左平移个单位D．向左平移个单位

【知识点】三角恒等变换，三角函数图像的平移.

∴将函数的图像向左平移个单位可以得到函数的图像．

【思路点拨】利用三角恒等变换将函数变形成的形式，再利用函数图像平移解题．

9．的值为（）

A．B．C．2D．4

【知识点】三角恒等变换．

【解题过程】原式＝．

【思路点拨】观察式子形式并利用三角恒等变换合理变形，进而化简求值．

10．若,则等于（）

A．B．C．D．

【知识点】二倍角公式，互余角的正弦和余弦的关系．

【思路点拨】先找两角的关系，再利用三角恒等变换化简求值．

【答案】A．

11．已知θ为第二象限角，sin（π－θ）＝，则cos的值为（）

A．B．C．±

D．±

【知识点】半角公式．

【解题过程】由sin（π－θ）＝，得sinθ＝．∵θ为第二象限的角，∴cosθ＝－．

∴cos＝±

＝±

【思路点拨】先利用诱导公式化简sin（π－θ），再根据半角公式求值．

12．若α，β为锐角，cos（α＋β）＝，cos（2α＋β）＝，则cosα的值为（）

A．B．C.或D．以上都不对

【知识点】两角差的余弦值，三角函数给值求值.

【数学思想】整体构造的思想．

【解题过程】∵0<

α＋β<

π，cos（α＋β）＝>

0，∴0<

，sin（α＋β）＝．∵0<

2α＋β<

π，cos（2α＋β）＝>

，sin（2α＋β）＝．∴cosα＝cos[（2α＋β）－（α＋β）]＝cos（2α＋β）cos（α＋β）＋sin（2α＋β）sin（α＋β）＝×

＋×

【思路点拨】观察角的关系，用已知两角构造所求角，再利用两角差的余弦值表示并求解，注意要准确判断角的范围进而确定结果的符号．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）

13．已知cosθ＝，θ∈（0，π），则cos（＋2θ）的值为___________．

【知识点】诱导公式，二倍角公式．

【解题过程】∵sinθ＝＝，∴cos（＋2θ）＝－sin2θ＝－2sinθ·

cosθ＝－．

【思路点拨】先利用诱导公式化简，再用二倍角公式变形求值.

【答案】－．

14．＝___________．

【知识点】两角和的正余弦，特殊角的三角函数值．

【解题过程】∵sin（α＋30°

）＋cos（α＋60°

）＝sinαcos30°

＋cosαsin30°

＋cosαcos60°

－sinαsin60°

＝cosα，∴原式＝＝．

【思路点拨】利用两角和的正弦和余弦将分子进行运算化简，进而达到整体化简求值的目的．

【答案】．

15．若＝2012，则＋tan2α＝___________．

【数学思想】三角恒等变换，给值求值．

【解题过程】＋tan2α＝＝＝＝＝＝2012．

【思路点拨】将所求式子通分，再利用二倍角公式变形，将所求式子构造成用已知式子表示的形式，从而达到求值的目的．

【答案】2012．

16．函数y＝cos2xcos－2sinxcosxsin的递增区间是__________________．

【知识点】三角恒等变换，三角函数的单调性．

【数学思想】化归的思想．

【解题过程】y＝cos2xcos－2sinxcosxsin＝cos2xcos＋sin2xsin＝cos（2x－），由－π＋2kπ≤2x－≤2kπ，得x∈[－＋kπ，＋kπ]（k∈Z）即为单调递增区间．

【思路点拨】先利用三角恒等变换将函数变形成的形式，再确定三角函数的单调递增区间．

【答案】[－＋kπ，＋kπ]（k∈Z）．

三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）已知tanα＝2，tanβ＝－，其中0<

，<

π．求：

（1）tan（α－β）；

（2）α＋β的值．

【知识点】两角和与差的正切值

（1）∵tanα＝2，tanβ＝－，∴tan（α－β）＝＝＝7．

（2）∵tan（α＋β）＝＝＝1，且0<

．∴α＋β＝．

（1）利用两角差的正切值求tan（α－β）；

（2）利用两角和的正切值求tan（α＋β），注意要确定α＋β的范围，进而确定α＋β的值．

（1）7；

（2）．

18．（12分）已知α、β为锐角，cosα＝，tan（α－β）＝－，求cosβ的值．

【知识点】两角差的余弦值．

【解题过程】∵α是锐角，cosα＝，∴sinα＝，tanα＝．∴tanβ＝tan[α－（α－β）]＝＝．∵β是锐角，故cosβ＝．

【思路点拨】观察已知角和所求角的关系，用已知角构造所求角，并将所求的式子变形，注意相关角的三角函数值需要根据角的范围定符号．

【答案】cosβ＝．

19．（12分）已知锐角α，β满足tan（α－β）＝sin2β，求证：

2tan2β＝tanα＋tanβ．

【知识点】两角差的正切公式，二倍角的正弦和正切公式．

【解题过程】证明：

∵tan（α－β）＝sin2β，tan（α－β）＝，sin2β＝2sinβcosβ＝＝，∴＝，整理得：

tanα＝．∴tanα＋tanβ＝＝＝2tan2β．

【思路点拨】将式子中可化简的两角差的正切、二倍角的正弦和正切利用公式变形，再将等式进行等价变形，从而达到证明的目的．

【答案】见解题过程．

20．（12分）已知函数.

（1）求函数的最小正周期及单调递减区间；

（2）当时，求的最大值，并求此时对应的的值.

【知识点】三角恒等变形，三角函数的周期、单调性和最值．

（1）∵

，∴周期,

因为，所以，

当],即时函数单调递减；

∴的单调递减区间为：

（2）∵当，．

∴当时，取最大值1．

（1）化简函数解析式可得，由正弦函数的图象和性质可求函数的最小正周期及单调递减区间；

（2）先求的范围，可得的取值范围，即可求的最大值，并求出此时对应的的值．

（1），递减区间为；

（2）当时，函数的最大值为1．

21．（12分）已知函数f（x）＝2asincos＋sin2－cos2（a∈R）．

（1）当a＝1时，求函数f（x）的最小正周期及图象的对称轴；

（2）当a＝2时，在f（x）＝0的条件下，求的值．

【知识点】三角恒等变形，二倍角公式，三角函数的周期、对称轴，给值求值．

【解题过程】f（x）＝asinx－cosx．

（1）当a＝1时，f（x）＝