人教A版高中数学必修四 25《平面向量应用举例》导学案Word格式文档下载.docx

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掌握向量法和坐标法,以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤,已经布置学生们课前预习了这部分,检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。

新授课阶段

探究一:

(1)向量运算与几何中的结论"若,则,且所在直线平行或重合"相类比,你有什么体会?

(2)由学生举出几个具有线性运算的几何实例.

平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来:

例如,向量数量积对应着几何中的长度.如图:

平行四边行中,设=,=,则(平移),,(长度).向量,的夹角为.因此,可用向量方法解决平面几何中的一些问题。

通过向量运算研究几何运算之间的关系,如距离、夹角等.把运算结果“翻译”成几何关系.本节课,我们就通过几个具体实例,来说明向量方法在平面几何中的运用。

例1证明:

平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.

已知:

平行四边形ABCD.

求证:

分析:

 

证明:

用向量方法解决平面几何问题,主要有下面三个步骤:

⑴建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;

⑵通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;

⑶把运算结果“翻译”成几何关系.

变式训练:

中,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,BF与CD交于点O,设

(1)证明A、O、E三点共线;

(2)用表示向量。

例2如图,平行四边形ABCD中,点E、F分别是AD、DC边的中点,BE、BF分别与AC交于R、T两点,你能发现AR、RT、TC之间的关系吗?

解:

说明:

本例通过向量之间的关系阐述了平面几何中的方法,待定系数法使用向量方法证明平面几何问题的常用方法.

探究二:

(1)两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么?

(2)在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力.为什么?

向量在物理中的应用,实际上就是把物理问题转化为向量问题,然后通过向量运算解决向量问题,最后再用所获得的结果解释物理现象.

例3在日常生活中,你是否有这样的经验:

两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;

在单杠上作引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗?

通过上面的式子我们发现,当由逐渐变大时,由逐渐变大,的值由大逐渐变小,因此,|F1|有小逐渐变大,即F1、F2之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力.

请同学们结合刚才这个问题,思考下面的问题:

⑴为何值时,|F1|最小,最小值是多少?

⑵|F1|能等于|G|吗?

为什么?

例4如图,一条河的两岸平行,河的宽度m,一艘船从A处出发到河对岸.已知船的速度|v1|=10km/h,水流的速度|v2|=2km/h,问行驶航程最短时,所用的时间是多少(精确到0.1min)?

本例关键在于对“行驶最短航程”的意义的解释,即“分析”中给出的船必须垂直于河岸行驶,这是船的速度与水流速度的合速度应当垂直于河岸,分析清楚这种关系后,本例就容易解决了。

例5已知,的夹角为60o,,,当实数为何值时,⑴∥?

⑵?

例6如图,ABCD为正方形,P是对角线DB上一点,PECF为矩形,求证:

①PA=EF;

②PA⊥EF.

⑴若∥,得;

⑵若,得

例7如图,矩形ABCD内接于半径为r的圆O,点P是圆周上任意一点,

PA2+PB2+PC2+PD2=8r2.

证明:

例8已知P为△ABC内一点,且3+4+5=.延长AP交BC于点D,若=,=,用、表示向量、.

课堂小结

利用向量的方法解决平面几何问题的“三步曲”?

(1)建立平面几何与向量的联系,

(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,

(3)把运算结果“翻译”成几何关系。

作业

见同步练习

拓展提升

一、选择题

1.给出下面四个结论:

1若线段AC=AB+BC,则向量;

2若向量,则线段AC=AB+BC;

3若向量与共线,则线段AC=AB+BC;

4若向量与反向共线,则.

其中正确的结论有()

A.0个B.1个C.2个D.3个

2.河水的流速为2,一艘小船想以垂直于河岸方向10的速度驶向对岸,则小

船的静止速度大小为()

A.10B.C.D.12

3.在中,若=0,则为()

A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.无法确定

二、填空题

4.已知两边的向量,则BC边上的中线向量用、表示为。

参考答案

例1

用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时,我们常常要考虑向量的数量积.注意到,,我们计算和.

不妨设a,b,则

a+b,a-b,|a|2,|b|2.

得(a+b)·

(a+b)

=a·

a+a·

b+b·

a+b·

b=|a|2+2a·

b+|b|2.①

同理,|a|2-2a·

b+|b|2.②

①+②得2(|a|2+|b|2)=2().

所以,平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.

例2

由于R、T是对角线AC上两点,所以要判断AR、RT、TC之间的关系,只需要分别判断AR、RT、TC与AC之间的关系即可.

设a,b,则a+b.

因为与共线,因此,存在实数m,使得=m(a+b).

又因为与共线,因此存在实数n,使得=n=n(b-a).

由=n,得m(a+b)=a+n(b-a).

整理得a+b=0.

由于向量a、b不共线,所以有 解得

所以.

同理.

于是.

所以AR=RT=TC.

例3

上面的问题可以抽象为如右图所示的数学模型.只要分析清楚F、G、三者之间的关系(其中F为F1、F2的合力),就得到了问题的数学解释.

不妨设|F1|=|F2|,由向量加法的平行四边形法则,理的平衡原理以及直角三角形的指示,可以得到

|F1|=.

例4

如果水是静止的,则船只要取垂直于对岸的方向行驶,就能使行驶航程最短,所用时间最短.考虑到水的流速,要使船的行驶航程最短,那么船的速度与水流速度的合速度v必须垂直于对岸.(用《几何画板》演示水流速度对船的实际航行的影响)

=(km/h),

所以,(min).

答:

行驶航程最短时,所用的时间是3.1min.

例5

⑵若,得

例6

以D为原点,为x轴正方向建立直角坐标系,则A(0,1),C:

(1,0),B:

(1,1).

.

例7

例8

∵=-=-,=-=-,

又3+4+5=,∴3+4(-)+5(-)=,

化简,得=+.设=t(t∈R),则

=t+t.①

又设=k(k∈R),

由=-=-,得=k(-).

而=+=+,

∴=+k(-)=(1-k)+k.②

由①②,得

解得t=.将之代入①,有

=+.

1.B2.B3.C4.

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