人教A版高中数学必修四 25《平面向量应用举例》导学案Word格式文档下载.docx

人教A版高中数学必修四 25《平面向量应用举例》导学案Word格式文档下载.docx

《人教A版高中数学必修四 25《平面向量应用举例》导学案Word格式文档下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教A版高中数学必修四 25《平面向量应用举例》导学案Word格式文档下载.docx（9页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。

新授课阶段

探究一：

（１）向量运算与几何中的结论＂若，则，且所在直线平行或重合＂相类比，你有什么体会？

（２）由学生举出几个具有线性运算的几何实例．

平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来：

例如，向量数量积对应着几何中的长度.如图：

平行四边行中，设＝,＝，则（平移），，（长度）．向量，的夹角为.因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题。

通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等．把运算结果“翻译”成几何关系．本节课，我们就通过几个具体实例，来说明向量方法在平面几何中的运用。

例1证明：

平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．

已知：

平行四边形ABCD．

求证：

．

分析：

证明：

用向量方法解决平面几何问题，主要有下面三个步骤：

⑴建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

⑵通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

⑶把运算结果“翻译”成几何关系．

变式训练：

中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，BF与CD交于点O，设

（1）证明A、O、E三点共线；

（2）用表示向量。

例2如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？

解：

说明：

本例通过向量之间的关系阐述了平面几何中的方法，待定系数法使用向量方法证明平面几何问题的常用方法．

探究二：

（1）两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？

（2）在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力.为什么？

向量在物理中的应用，实际上就是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获得的结果解释物理现象．

例3在日常生活中，你是否有这样的经验：

两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；

在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？

通过上面的式子我们发现，当由逐渐变大时，由逐渐变大，的值由大逐渐变小，因此，|F1|有小逐渐变大，即F1、F2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力．

请同学们结合刚才这个问题，思考下面的问题：

⑴为何值时，|F1|最小，最小值是多少？

⑵|F1|能等于|G|吗？

为什么？

例4如图，一条河的两岸平行，河的宽度m，一艘船从A处出发到河对岸．已知船的速度|v1|=10km/h，水流的速度|v2|=2km/h，问行驶航程最短时，所用的时间是多少（精确到0.1min）？

本例关键在于对“行驶最短航程”的意义的解释，即“分析”中给出的船必须垂直于河岸行驶，这是船的速度与水流速度的合速度应当垂直于河岸，分析清楚这种关系后，本例就容易解决了。

例5已知,的夹角为60o,,,当实数为何值时，⑴∥？

⑵？

例6如图，ABCD为正方形，P是对角线DB上一点，PECF为矩形，求证：

①PA=EF；

②PA⊥EF.

⑴若∥，得；

⑵若，得

例7如图，矩形ABCD内接于半径为r的圆O，点P是圆周上任意一点，

PA2+PB2+PC2+PD2=8r2.

证明:

例8已知P为△ABC内一点，且3＋4＋5＝．延长AP交BC于点D，若＝，＝，用、表示向量、．

课堂小结

利用向量的方法解决平面几何问题的“三步曲”？

（1）建立平面几何与向量的联系，

（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，

（3）把运算结果“翻译”成几何关系。

作业

见同步练习

拓展提升

一、选择题

1.给出下面四个结论：

1若线段AC=AB+BC，则向量；

2若向量，则线段AC=AB+BC；

3若向量与共线，则线段AC=AB+BC;

4若向量与反向共线，则.

其中正确的结论有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

2.河水的流速为2，一艘小船想以垂直于河岸方向10的速度驶向对岸，则小

船的静止速度大小为（）

A.10B.C.D.12

3.在中，若=0，则为（）

A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.无法确定

二、填空题

4.已知两边的向量，则BC边上的中线向量用、表示为。

参考答案

例1

用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时，我们常常要考虑向量的数量积．注意到，，我们计算和．

不妨设a，b，则

a+b，a-b，|a|2，|b|2．

得（a+b）·

（a+b）

=a·

a+a·

b+b·

a+b·

b=|a|2+2a·

b+|b|2．①

同理,|a|2-2a·

b+|b|2．②

①+②得2（|a|2+|b|2）=2（）．

所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．

例2

由于R、T是对角线AC上两点，所以要判断AR、RT、TC之间的关系，只需要分别判断AR、RT、TC与AC之间的关系即可．

设a，b，则a+b．

因为与共线，因此，存在实数m，使得=m（a+b）．

又因为与共线，因此存在实数n，使得=n=n（b-a）．

由=n，得m（a+b）=a+n（b-a）．

整理得a＋b＝0．

由于向量a、b不共线，所以有　解得

所以．

同理．

于是．

所以AR＝RT＝TC．

例3

上面的问题可以抽象为如右图所示的数学模型．只要分析清楚F、G、三者之间的关系（其中F为F1、F2的合力）,就得到了问题的数学解释．

不妨设|F1|=|F2|，由向量加法的平行四边形法则，理的平衡原理以及直角三角形的指示，可以得到

|F1|=．

例4

如果水是静止的，则船只要取垂直于对岸的方向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短．考虑到水的流速，要使船的行驶航程最短，那么船的速度与水流速度的合速度v必须垂直于对岸．（用《几何画板》演示水流速度对船的实际航行的影响）

=（km/h），

所以，（min）．

答：

行驶航程最短时，所用的时间是3.1min．

例5

⑵若，得

例6

以D为原点，为x轴正方向建立直角坐标系，则A（0,1）,C:

（1,0），B:

（1,1）.

.

故

例7

即

例8

∵＝－＝－，＝－＝－，

又3＋4＋5＝，∴3＋4（－）＋5（－）＝，

化简，得＝＋．设＝t（t∈R），则

＝t＋t．①

又设＝k（k∈R），

由＝－＝－，得＝k（－）．

而＝＋＝＋，

∴＝＋k（－）＝（1－k）＋k.②

由①②，得

解得t＝．将之代入①，有

＝＋．

1.B2.B3.C4.