第17讲 算法案例Word文档下载推荐.docx

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④判断余数r是否为0。

若余数为0，则输出结果；

否则转向第②步继续循环执行。

如此循环，直到得到结果为止。

（4）更相减损术

我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。

在《九章算术》中记载了更相减损术求最大公约数的步骤：

可半者半之，不可半者，副置分母•子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。

步骤：

Ⅰ．任意给出两个正数；

判断它们是否都是偶数。

若是，用2约简；

若不是，执行第二步。

Ⅱ．以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。

继续这操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。

2．秦九韶算法

秦九韶算法的一般规则：

秦九韶算法适用一般的多项式f（x）=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0的求值问题。

用秦九韶算法求一般多项式f（x）=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0当x=x0时的函数值，可把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题，即求

v0=an

v1=anx+an－1

v2=v1x+an－2

v3=v2x+an－3

……..

vn=vn－1x+a0

观察秦九韶算法的数学模型，计算vk时要用到vk－1的值，若令v0=an。

我们可以得到下面的递推公式：

vk=vk－1+an－k（k=1,2,…n）

这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，可以用循环结构来实现。

3.排序

排序的算法很多，课本主要介绍里两种排序方法：

直接插入排序和冒泡排序

（1）直接插入排序

在日常生活中，经常碰到这样一类排序问题：

把新的数据插入到已经排好顺序的数据列中。

例如：

一组从小到大排好顺序的数据列{1，3，5，7，9，11，13}，通常称之为有序列，我们用序号1，2，3，……表示数据的位置，欲把一个新的数据8插入到上述序列中。

完成这个工作要考虑两个问题：

（1）确定数据“8”在原有序列中应该占有的位置序号。

数据“8”所处的位置应满足小于或等于原有序列右边所有的数据，大于其左边位置上所有的数据。

（2）将这个位置空出来，将数据“8”插进去。

对于一列无序的数据列，例如：

{49，38，65，97，76，13，27，49}，如何使用这种方法进行排序呢？

基本思想很简单，即反复使用上述方法排序，由序列的长度不断增加，一直到完成整个无序列就有序了。

首先，{49}是有序列，我们将38插入到有序列{49}中，得到两个数据的有序列：

{38，49}，

然后，将第三个数据65插入到上述序列中，得到有序列：

{38，49，65}

…………

按照这种方法，直到将最后一个数据65插入到上述有序列中，得到

{13，27，38，49，49，65，76，97}

这样，就完成了整个数据列的排序工作。

注意到无序列“插入排序算法”成为了解决这类问题的平台。

（2）冒泡法排序

所谓冒泡法排序，形象地说，就是将一组数据按照从小到大的顺序排列时，小的数据视为质量轻的，大的数据视为质量沉的。

一个小的数据就好比水中的气泡，往上移动，一个较大的数据就好比石头，往下移动。

显然最终会沉到水底，最轻的会浮到顶，反复进行，直到数据列排成为有序列。

以上过程反映了这种排序方法的基本思路。

我们先对一组数据进行分析。

设待排序的数据为：

{49，38，65，97，76，13，27，49}

排序的具体操作步骤如下：

1．将第1个数与右边相邻的数38进行比较，因为38<

49，49应下沉，即向右移动，所以交换他们的位置，得到新的数据列：

{38，49，65，97，76，13，27，49}

2．将新数据列中的第2个数49与右边相邻的数65进行比较，因为65>

49，所以顺序不变，得到新的数据列：

3．将新数据列中的第3个数65与右边相邻的数97进行比较，因为97>

65，所以顺序不变，得到新的数据列：

4．将新数据列中的第4个数97与右边相邻的数76进行比较，因为76<

97，97应下沉，所以顺序不变，得到新的数据列：

{38，49，65，76，97，13，27，49}

5．将新数据列中的第5个数97与右边相邻的数13进行比较，因为13<

97，97应下沉，所以顺序改变，得到新的数据列：

{38，49，65，76，13，97，27，49}

6．将新数据列中的第6个数97与右边相邻的数27进行比较，因为27<

7．将新数据列中的第7个数97与右边相邻的数49进行比较，因为49<

{38，49，65，76，13，97，49，27}

我们把上述过程称为一趟排序。

其基本特征是最大的数据沉到底，即排在最左边位置上的数据是数组中最大的数据。

反复执行上面的步骤，就能完成排序工作，排序过程不会超过7趟。

这种排序的方法称为冒泡排序。

上面的分析具有一般性，如果数据列有n个数据组成，至多经过n－1趟排序，就能完成整个排序过程。

4．进位制

（1）概念

进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。

可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。

现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0—9进行记数。

对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。

比如：

十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的。

一般地，若k是一个大于一的整数，那么以k为基数的k进制可以表示为：

，

而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001

（2）表示二进制数,34（5）表示5进制数。

（2）进位制间的转换

关于进位制的转换，教科书上以十进制和二进制之间的转换为例讲解，并推广到十进制和其它进制之间的转换。

这样做的原因是，计算机是以二进制的形式进行存储和计算数据的，而一般我们传输给计算机的数据是十进制数据，因此计算机必须先将十进制数转换为二进制数，再处理，显然运算后首次得到的结果为二进制数，同时计算机又把运算结果由二进制数转换成十进制数输出。

非十进制数转换为十进制数比较简单，只要计算下面的式子值即可：

第一步：

从左到右依次取出k进制数各位上的数字，乘以相应的k的幂，k的幂从n开始取值，每次递减1，递减到0，即；

第二步：

把所得到的乘积加起来，所得的结果就是相应的十进制数。

十进制数转换成非十进制数

把十进制数转换为二进制数，教科书上提供了“除2取余法”，我们可以类比得到十进制数转换成k进制数的算法“除k取余法”。

非十进制之间的转换

一个自然的想法是利用十进制作为桥梁。

教科书上提供了一个二进制数据与16进制数据之间的互化的方法，也就是先有二进制数转化为十进制数，再由十进制数转化成为16进制数。

四．典例解析

题型1：

求最大公约数

例1．

（1）用辗转相除法求123和48的最大公约数？

（2）用更相减损来求80和36的最大公约数？

解析：

（1）辗转相除法求最大公约数的过程如下：

（建立带余除式）

　　123＝2×

48＋27

　　48＝1×

27＋21

　　27＝1×

21＋6

　　21＝3×

6＋3

　　6＝2×

3+0

最后6能被3整除，得123和48的最大公约数为3。

（2）分析：

我们将80作为大数，36作为小数，执行更相减损术来求两数的最大公约数。

执行结束的准则是减数和差相等。

更相减损术：

因为80和36都是偶数，要去公因数2。

80÷

2=40，36÷

2=18；

40和18都是偶数，要去公因数2。

40÷

2=20，18÷

2=9

下面来求20与9的最大公约数，

20－9=11

11－9=2

9－2=7

7－2=5

5－2=3

3－2=1

2－1=1

可得80和36的最大公约数为22×

1=4。

点评：

对比两种方法控制好算法的结束，辗转相除法是到达余数为0，更相减损术是到达减数和差相等。

例2．设计一个算法，求出840与1764的最大公因数。

我们已经学习过了对自然数的素因数分解的方法，下面的算法就是在此基础上设计的。

解题思路如下：

首先对两个数进行素因数分解：

840=23×

3×

5×

7，1764=22×

32×

72，

其次，确定两个数的公共素因数：

2，3，7。

接着确定公共素因数的指数：

对于公共素因数2，840中为23，1764中为22，应取较少的一个22，同理可得下面的因数为3和7。

算法步骤：

将840进行素数分解23×

7；

将1764进行素数分解22×

72；

第三步：

确定它们的公共素因数：

2，3，7；

第四步：

确定公共素因数2，3，7的指数分别是：

2，1，1；

第五步：

最大公因数为22×

31×

71=84。

质数是除１以外只能被１和本身整除的正整数，它应该是无限多个，但是目前没有一个规律来确定所有的质数。

题型2：

秦九韶算法

例3．（2005北京，14）已知n次多项式，如果在一种算法中，计算（k＝2，3，4，…，n）的值需要k－1次乘法，计算的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算的值共需要次运算。

下面给出一种减少运算次数的算法：

（k＝0，1，2，…，n－1）．利用该算法，计算的值共需要6次运算，计算的值共需要次运算。

答案：

65；

20。

直接法乘法运算的次数最多可到达，加法最多n次。

秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数减少到最多n次，加法最多n次。

例4．已知多项式函数f（x）=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7，求当x=5时的函数的值。

把多项式变形为：

f（x）=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7

=（（（（2x－5）x－4）x+3）x－6）x+7

计算的过程可以列表表示为：

多项式x系数

2

－5

－4

3

－6

7

运算

运算所得的值

10

25

105

540

2670

+

变形后x的"

系数"

5

21

108

534

2677

*5

最后的系数2677即为所求的值。

算法过程：

v0=2

v1=2×

5－5=5

v2=5×

5－4=21

v3=21×

5+3=108

v4=108×

5－6=534

v5=53