高考数学二轮复习习题 第一部分 专题五 解析几何 第三讲 第一课时 圆锥曲线的最值范围证明问题.docx

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高考数学二轮复习习题第一部分专题五解析几何第三讲第一课时圆锥曲线的最值范围证明问题

限时规范训练

A组——高考热点强化练

一、选择题

1．已知双曲线C：

x2－＝1，其渐近线上的点到焦点的最小距离为（　　）

A.B．1

C.D.

解析：

其最小距离是焦点到渐近线的距离为b＝.

答案：

D

2．（2017·上海浦东新区模拟）方程kx2＋4y2＝4k表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（　　）

A．k>4B．k＝4

C．k<4D．0

解析：

椭圆方程为＋＝1，焦点在x轴上，∴0

答案：

D

3．已知圆C：

x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0，抛物线y2＝8x的准线为l，设抛物线上任意一点P到直线l的距离为m，则m＋|PC|的最小值为（　　）

A．5B.

C.－2D．4

解析：

由题得，圆C的圆心坐标为（－3，－4），抛物线的焦点为F（2,0）．根据抛物线的定义，得m＋|PC|＝|PF|＋|PC|≥|FC|＝.

答案：

B

4．若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为（　　）

A．1B.

C．2D．2

解析：

设椭圆C：

＋＝1（a>b>0），

则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点，

所以S＝×2c×b＝bc＝1≤＝.

所以a2≥2.所以a≥.

所以长轴长2a≥2，故选D.

答案：

D

5．已知M（x0，y0）是双曲线C：

－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若·<0，则y0的取值范围是（　　）

A.B.

C.D.

解析：

由题意知a2＝2，b2＝1，所以c2＝3，不妨设F1（－，0），F2（，0），

所以＝（－－x0，－y0），＝（－x0，－y0），所以·＝x－3＋y＝3y－1<0，

所以－

答案：

A

6．（2017·河南适应性模拟）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，A，B是抛物线上横坐标不相等的两点，若AB的垂直平分线与x轴的交点是（4,0），则|AB|的最大值为（　　）

A．2B．4

C．6D．10

解析：

本题考查直线和抛物线的位置关系以及焦点弦长公式．因为F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），M（4,0），由|MA|2＝|MB|2得（4－x1）2＋y＝（4－x2）2＋y　①，又y＝4x1，y＝4x2，代入①中并展开得16－8x1＋x＋y＝16－8x2＋x＋y，即x－x＝4x1－4x2，得x1＋x2＝4，所以|AB|≤|AF|＋|BF|＝＋＝6，当且仅当A，B，F三点共线时等号成立，所以|AB|max＝6，故选C.

答案：

C

7．（2017·高考全国卷Ⅰ）已知F为抛物线C：

y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为（　　）

A．16B．14

C．12D．10

解析：

因为F为y2＝4x的焦点，所以F（1,0）．

由题意直线l1，l2的斜率均存在，且不为0，设l1的斜率为k，则l2的斜率为－，

故直线l1，l2的方程分别为y＝k（x－1），y＝－（x－1）．

由得k2x2－（2k2＋4）x＋k2＝0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝，x1x2＝1，

所以|AB|＝·|x1－x2|＝·＝·＝.

同理可得|DE|＝4（1＋k2）．

所以|AB|＋|DE|＝＋4（1＋k2）＝4＝8＋4≥8＋4×2＝16.

当且仅当k2＝，即k＝±1时，取得等号．故选A.

答案：

A

8．（2017·高考全国卷Ⅰ）设A，B是椭圆C：

＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是（　　）

A．（0,1]∪[9，＋∞）B．（0，]∪[9，＋∞）

C．（0,1]∪[4，＋∞）D．（0，]∪[4，＋∞）

解析：

法一：

设焦点在x轴上，点M（x，y）．过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，则N（x,0）．

故tan∠AMB＝tan（∠AMN＋∠BMN）＝＝.

又tan∠AMB＝tan120°＝－，且由＋＝1可得x2＝3－，

则＝＝－.解得|y|＝.

又0＜|y|≤，即0＜≤，结合0＜m＜3解得0＜m≤1.

对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m≥9.

则m的取值范围是（0,1]∪[9，＋∞）．故选A.

法二：

当0＜m＜3时，焦点在x轴上，

要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，

则≥tan60°＝，即≥，解得0＜m≤1.

当m＞3时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，

则≥tan60°＝，则≥，解得m≥9.

故m的取值范围为（0,1]∪[9，＋∞）．故选A.

答案：

A

二、填空题

9．已知过双曲线－＝1（a>0，b>0）右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率的取值范围是________．

解析：

由题意可知双曲线的渐近线y＝x的倾斜角小于45°，所以0<<1，即b2

答案：

（1,）

10．（2017·云南昆明质检）椭圆＋＝1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标是________．

解析：

记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.则m＝|PF1|·|PF2|≤2＝25，

当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25.

∴点P的坐标为（－3,0）或（3,0）．

答案：

（－3,0）或（3,0）

11．（2017·德阳模拟）已知椭圆：

＋＝1（0

解析：

由椭圆的方程可知a＝2，由椭圆的定义可知，|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，

所以|AB|＝8－（|AF2|＋|BF2|）≥3，由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，

则＝3.所以b2＝3，即b＝.

答案：

12．已知抛物线y2＝2px（p>0）的焦点为F，△ABC的顶点都在抛物线上，且满足＋＋＝0，则＋＋＝________.

解析：

由题易知F，设点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），

由＋＋＝0知，＋＋＝（0,0），

故y1＋y2＋y3＝0，∵＝＝＝，同理可知＝，＝，

∴＋＋＝＝0.

答案：

0

三、解答题

13．（2017·高考浙江卷）如图，已知抛物线x2＝y，点A，B，抛物线上的点P（x，y）.过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.

（1）求直线AP斜率的取值范围；

（2）求|PA|·|PQ|的最大值．

解析：

（1）设直线AP的斜率为k，k＝＝x－，

因为－＜x＜，所以直线AP斜率的取值范围是（－1,1）．

（2）联立直线AP与BQ的方程解得点Q的横坐标是xQ＝.

因为|PA|＝＝（k＋1），|PQ|＝（xQ－x）＝－.

所以|PA|·|PQ|＝－（k－1）（k＋1）3.

令f（k）＝－（k－1）（k＋1）3，因为f′（k）＝－（4k－2）（k＋1）2，

所以f（k）在区间上单调递增，上单调递减，

因此当k＝时，|PA|·|PQ|取得最大值.

14．若椭圆＋＝1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2＝2bx的焦点F内分成了3∶1的两段．

（1）求椭圆的离心率；

（2）过点C（－1,0）的直线l交椭圆于不同两点A，B，且＝2，当△AOB的面积最大时，求直线l和椭圆的方程．

解析：

（1）由题意知c＋＝3，∴b＝c，a2＝2b2，e＝＝＝.

（2）设直线l：

x＝ky－1，A（x1，y1），B（x2，y2），

∵＝2，∴（－1－x1，－y1）＝2（x2＋1，y2），即2y2＋y1＝0，　①

由

（1）知a2＝2b2，∴椭圆方程为x2＋2y2＝2b2.

由消去x得（k2＋2）y2－2ky＋1－2b2＝0，∴y1＋y2＝，　②

y1y2＝，　③

由①②知y2＝－，y1＝.

∵S△AOB＝|y1|＋|y2|＝|y1－y2|，

∴S＝3·＝3·≤3·＝，

当且仅当|k|2＝2，即k＝±时取等号，此时直线的方程为x＝y－1或x＝－y－1.

又当|k|2＝2时，y1y2＝·＝－＝－1，

∴由y1y2＝得b2＝，∴椭圆方程为＋＝1.

15．（2017·高考全国卷Ⅲ）已知抛物线C：

y2＝2x，过点（2,0）的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．

（1）证明：

坐标原点O在圆M上；

（2）设圆M过点P（4，－2），求直线l与圆M的方程．

解析：

（1）证明：

设A（x1，y1），B（x2，y2），l：

x＝my＋2，

由可得y2－2my－4＝0，则y1y2＝－4.

又x1＝，x2＝，故x1x2＝＝4.

因此OA的斜率与OB的斜率之积为·＝＝－1，所以OA⊥OB，

故坐标原点O在圆M上．

（2）由

（1）可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m（y1＋y2）＋4＝2m2＋4，故圆心M的坐标为（m2＋2，m），

圆M的半径r＝.由于圆M过点P（4，－2），因此·＝0，

故（x1－4）（x2－4）＋（y1＋2）（y2＋2）＝0，即x1x2－4（x1＋x2）＋y1y2＋2（y1＋y2）＋20＝0.

由

（1）可知y1y2＝－4，x1x2＝4，所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－.

当m＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0，圆心M的坐标为（3,1），圆M的半径为，

圆M的方程为（x－3）2＋（y－1）2＝10.

当m＝－时，直线l的方程为2x＋y－4＝0，圆心M的坐标为，圆M的半径为，

圆M的方程为2＋2＝.

B组——高考能力提速练

一、选择题

1．过双曲线x2－＝1的右支上一点P分别向圆C1：

（x＋4）2＋y2＝4和圆C2：

（x－4）2＋y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2－|PN|2的最小值为（　　）

A．10B．13

C．16D．19

解析：

由题意可知，|PM|2－|PN|2＝（|PC1|2－4）－（|PC2|2－1）＝|PC1|2－|PC2|2－3＝（|PC1|－|PC2|）·（|PC1|＋|PC2|）－3＝2（|PC1|＋|PC2|）－3≥2|C1C2|－3＝13，故选B.

答案：

B

2．（2017·湖南师大附中月考）设双曲线C：

－＝1（a>0，b>0）的一条渐近线与抛物线y2＝x的一个交点的横坐标为x0，若x0>1，则双曲线C的离心率e的取值范围是（　　）

A.B．（，＋∞）

C．（1，）D.

解析：

联立消去y得x2＝x，由x0>1知<1，即<1，故e2<2，又e>1，

所以1

答案：

C

3．如图，已知点B是椭圆＋＝1（a>b>0）的短轴位于x轴下方的端点，过B作斜率为1的直线交椭圆于点M，点P在y轴上，且PM∥x轴，·＝9，若点P的坐标为（0，t），则t的取值范围是（　　）

A．（0,3）B．（0,3]

C.D.

解析：

因为P（0，t），B（0，－b），所以M（t＋b，t）．所以＝（0，t＋b），＝（t＋b，t＋b）．

因为·＝9，所以（t＋b）2＝9，t＋b＝3.因为0

答案：

C

4．已知椭圆E：

＋＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：

3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（　　）

A．0，B．0，

C.，1D.，1

解析：

根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A，B两点到椭圆左、右焦点的距离为4a＝2（|AF