学年高中数学苏教版必修四教学案第1章 11 任意角弧度含答案Word文档下载推荐.docx

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当∠AOB分别等于－90°

时，终边OB分别落在y轴的负半轴、x轴的负半轴、x轴的正半轴、y轴的负半轴、y轴的正半轴上．

1．象限角

以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角．

2．轴线角

如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角.

如图，在同一坐标系中作出60°

，420°

角．

两角的终边有何特点？

终边相同．

两角的角度有什么等式关系？

420°

＝60°

＋360°

.相差360°

.

－300°

与60°

的终边有何特点？

两角的角度又有什么等式关系？

两角终边也相同，－300°

－360°

相差－360°

问题4：

试再写几个与60°

终边相同的角，计算出它们与60°

相差的角度，并观察这些角度有什么共同特点．

780°

，1140°

，－660°

等，与60°

相差720°

，1080°

，－720°

，相差的角度都是360°

的整数倍．

终边相同的角

一般地，与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k·

360°

＋α，k∈Z}．

1．角的三要素：

顶点、始边、终边．

2．象限角及轴线角的前提：

角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，否则不能判断该角为哪一个象限角．

3．终边相同的角与相等的角是两个不同的概念，两角相等，终边一定相同，但是两角终边相同时，两角不一定相等，它们相差360°

[例1]　下列结论：

①第一象限角是锐角；

②锐角是第一象限角；

③第二象限角大于第一象限角；

④钝角是第二象限角；

⑤小于90°

的角是锐角；

⑥第一象限角一定不是负角．

其中正确的结论是________（填序号）．

[思路点拨]　根据任意角、象限角的概念进行判断，正确区分第一象限角、锐角和小于90°

的角．

[精解详析]　①400°

角是第一象限角，但不是锐角，故①不正确；

②锐角是大于0°

且小于90°

的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，②正确；

③120°

角是第二象限角，400°

角是第一象限角，故第二象限角不一定大于第一象限角，③不正确；

④钝角是大于90°

且小于180°

的角，终边落在第二象限，故是第二象限角，④正确；

⑤0°

角是小于90°

的角，但不是锐角，故⑤不正确；

⑥－300°

角是第一象限角，但－300°

角是负角，故⑥不正确．

[答案]　②④

[一点通]　解决此类问题的关键在于正确理解象限角及锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，另外需要掌握判断命题真假的技巧，判断命题为真，需要证明，而判断命题为假，只要举出反例即可．

1.如图，则α＝________，β＝________.

答案：

240°

　－120°

2．经过2个小时，钟表上的时针旋转的角度为________．

解析：

钟表的时针旋转一周是－360°

，其中每小时旋转－＝－30°

，所以经过2个小时应旋转－60°

－60°

3．下列命题正确的是________（填序号）．

①三角形的内角必是第一、二象限角

②始边相同而终边不同的角一定不相等

③第四象限角一定是负角

④钝角比第三象限角小

只有②正确．对于①，如∠A＝90°

不在任何象限；

对于③，如330°

在第四象限但不是负角；

对于④，钝角不一定比第三象限角小．

②

　　[例2]　在0°

～360°

之间，求出与下列各角终边相同的角，并判断是第几象限角．

（1）－736°

；

（2）904°

18′.

[思路点拨]　首先写出与α终边相同的角的集合，然后取适当的整数k即可求出满足条件的角．可利用0°

之间与该角终边相同的角来判断角的象限．

[精解详析]　

（1）－736°

＝－3×

＋344°

，344°

是第四象限角．

∴344°

与－736°

是终边相同的角，且－736°

为第四象限角．

18′＝2×

＋184°

18′，184°

18′是第三象限角．

∴184°

18′与904°

18′是终边相同的角，且904°

18′为第三象限角．

[一点通]　

（1）把任意角化为α＋k·

（k∈Z且0°

≤α<

）的形式，关键是确定k.可以用观察法（α的绝对值较小），也可用除法．要注意：

正角除以360°

，按通常的除法进行；

负角除以360°

，商是负数，其绝对值比被除数为其相反数时的商大1，使余数为正值．

（2）要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．

4．在与角10030°

终边相同的角中，求满足下列条件的角．

（1）最大的负角；

（2）最小的正角；

（3）360°

～720°

解：

可设与10030°

终边相同的角的一般形式为β＝k·

＋10030°

（k∈Z）．

（1）由－360°

＜k·

＜0°

，

得－10390°

＜－10030°

解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°

（2）由0°

＜360°

得－10030°

＜－9670°

解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°

（3）由360°

＜720°

得－9670°

＜－9310°

解得k＝－26，故所求的角为β＝670°

5．已知角α的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角α的取值范围．

终边在30°

角的终边所在直线上的角的集合为S1＝，

终边在180°

－75°

＝105°

角的终边所在直线上的角的集合为S2＝，因此终边在图中阴影部分的角α的取值范围为

[例3]　已知α为第二象限角，问2α，分别是第几象限角？

[思路点拨]　由角α为第二象限角，则α的范围为90°

＋k·

＜α＜180°

，k∈Z，在此基础上可以写出2α，的范围，进而可以判断出它们所在的象限．

[精解详析]　∵α是第二象限角，

∴90°

∴180°

＋2k·

＜2α＜360°

∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y轴的非正半轴上的角．

同理45°

＋·

＜＜90°

当k为偶数时，不妨令k＝2n，n∈Z，则45°

＋n·

，此时，为第一象限角；

当k为奇数时，令k＝2n＋1，n∈Z，则225°

＜＜270°

，此时，为第三象限角．

∴为第一或第三象限角．

[一点通]　已知角α终边所在象限，

（1）确定nα终边所在的象限，直接转化为终边相同的角即可．

（2）确定终边所在象限常用的步骤如下：

①求出的范围；

②对n的取值分情况讨论：

被n整除；

被n除余1；

被n除余2；

…；

被n除余n－1；

③下结论．

6．若α是第三象限角，则180°

－α是第________象限角．

∵α是第三象限角，

∴k·

＋180°

<

α<

k·

＋270°

，k∈Z.

－90°

180°

－α<

－α为第四象限角．

四

7．已知角2α的终边落在x轴上方，那么α是第________象限角．

：

由题知k·

＜2α＜180°

，k∈Z，

＜α＜90°

当k为偶数时，α是第一象限角；

当k为奇数时，α为第三象限角，∴α为第一或第三象限角．

一或三

8．已知α是第三象限角，求，2α终边所在的象限．

因为α是第三象限角，

所以k·

k·

所以的范围为

＋90°

＋135°

所以终边落在第二或第四象限．

2α的范围为k·

720°

2α<

＋540°

所以2α终边落在第一或第二象限或y轴的正半轴．

1．轴线角的集合

角α终边位置

角α的集合

在x轴非负半轴上

{α|α＝k·

，k∈Z}

在x轴非正半轴上

在y轴非负半轴上

在y轴非正半轴上

在x轴上

在y轴上

在坐标轴上

90°

2．象限角的集合

象限角

象限角α的表示

第一象限的角

{α|k·

第二象限的角

第三象限的角

第四象限的角

3．终边相同的角

关于与角α终边相同的角的一般形式k·

＋α应着重理解以下几点：

（1）k∈Z.

（2）α是任意角．

（3）k·

＋α之间是“＋”号，k·

－α可理解为k·

＋（－α）．

课下能力提升

（一）

一、填空题

1．射线OA绕端点O逆时针旋转120°

到达OB位置，再顺时针旋转270°

到达OC位置，则∠AOC＝________.

根据角的定义∠AOC＝120°

＋（－270°

）＝－150°

－150°

2．－1445°

是第________象限角．

∵－1445°

＝－5×

＋355°

∴－1445°

3．集合A＝，B＝{β|－180°

＜β＜180°

}，则A∩B＝________.

由－180°

－36°

＜180°

得－144°

＜216°

所以－＜k＜，k∈Z，所以k＝－1,0,1,2.

所以A∩B＝.

{－126°

，－36°

，54°

，144°

}

4．已知角α，β的终边相同，那么α－β的终边在________．

∵角α，β的终边相同，

∴α＝k·

＋β，k∈Z.

作差α－β＝k·

＋β－β＝k·

∴α－β的终边在x轴的正半轴上．

x轴的正半轴上

5．已知α是第二象限角，且7α与2α的终边相同，则α＝________.

7α＝2α＋k·

（k∈Z），