届吉林省长春市普通高中高三一模考试数学试题卷理科文档格式.docx

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其中正确结论的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】通过函数图象，可以看出①②③均正确.故选D.

4.等差数列中，已知，且公差，则其前项和取最小值时的的值为（）

A.6B.7C.8D.9

【解析】因为等差数列中，，所以，有，所以当时前项和取最小值.故选C......................

5.已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为（）

A.95，94B.92，86C.99，86D.95，91

【答案】B

【解析】由茎叶图可知，中位数为92，众数为86.故选B.

6.若角的顶点为坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是（）

A.B.

C.D.

【解析】因为直线的倾斜角是，所以终边落在直线上的角的取值集合为或者.故选D.

7.已知，且，则的最小值为（）

A.8B.9C.12D.16

，则：

，

当且仅当时等号成立，

综上可得：

则的最小值为9.

本题选择B选项.

点睛：

在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；

二定——积或和为定值；

三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

8.《九章算术》卷五商功中有如下问题：

今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：

底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（）

A.4立方丈B.5立方丈C.6立方丈D.12立方丈

【解析】由已知可将刍甍切割成一个三棱柱和一个四棱锥，三棱柱的体积为3，四棱锥的体积为2，则刍甍的体积为5.故选B.

9.已知矩形的顶点都在球心为，半径为的球面上，，且四棱锥的体积为，则等于（）

A.4B.C.D.

【解析】由题意可知球心到平面ABCD的距离2，矩形ABCD所在圆的半径为，从而球的半径.故选A.

10.已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（）

A.求首项为1，公差为2的等差数列前2017项和

B.求首项为1，公差为2的等差数列前2018项和

C.求首项为1，公差为4的等差数列前1009项和

D.求首项为1，公差为4的等差数列前1010项和

【解析】由题意可知，为求首项为1，公差为4的等差数列的前1009项和.故选C.

算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.

11.已知为坐标原点，设分别是双曲线的左、右焦点，点为双曲线上任一点，过点作的平分线的垂线，垂足为，则（）

A.1B.2C.4D.

【解析】延长交于点，由角分线性质可知根据双曲线的定义，，从而，在中，为其中位线，故.故选A.

对于圆锥曲线问题，善用利用定义求解，注意数形结合，画出合理草图，巧妙转化.

12.已知定义在上的奇函数满足，当时，，则函数在区间上所有零点之和为（）

A.B.C.D.

【解析】,

作图如下：

，四个交点分别关于对称，所以零点之和为，选D.

对于方程解的个数（或函数零点个数）问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；

从图象的对称性，分析函数的奇偶性；

从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知角满足，，则的取值范围是__________．

【答案】

【解析】结合题意可知：

且：

利用不等式的性质可知：

的取值范围是.

利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围．解决此类问题一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得待求整体的范围，是避免错误的有效途径．

14.已知平面内三个不共线向量两两夹角相等，且，，则__________．

【解析】因为平面内三个不共线向量两两夹角相等，所以由题意可知，的夹角为，又知，，所以，，故答案为.

15.在中，三个内角的对边分别为，若，且，面积的最大值为__________．

【解析】由可得，，得，由余弦定理，面积的最大值为，当且仅当时取到最大值，故答案为.

【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.

16.已知圆锥的侧面展开图是半径为3的扇形，则圆锥体积的最大值为__________．

【解析】设圆锥的底面半径为R，由题意可得其体积为：

当且仅当时等号成立.

综上可得圆锥体积的最大值为.

三、解答题:

共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：

共60分．

17.已知数列的前项和．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求证：

．

（Ⅰ）；

（Ⅱ）证明见解析.

【解析】试题分析：

（Ⅰ）利用已知条件，推出新数列是等比数列，然后求数列的通项公式；

（Ⅱ）化简，则，利用裂项相消法和，再根据放缩法即可证明结果.

试题解析：

（Ⅰ）由，则.

当时，，综上.

（Ⅱ）由.

.得证.

18.长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，在我市推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计：

点击量

节数

6

18

12

（Ⅰ）现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3000的节数．

（Ⅱ）为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间内，则需要花费20分钟进行剪辑，点击量超过3000，则不需要剪辑，现从（Ⅰ）中选出的6节课中随机取出2节课进行剪辑，求剪辑时间的分布列与数学期望．

（Ⅱ）.

（Ⅰ）因为36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，所以节应选出节；

（Ⅱ）的所有可能取值为，根据古典概型概率公式分别求出各随机变量的概率，从而可得分布列，由期望公式可得结果..

（Ⅰ）根据分层抽样，选出的6节课中有2节点击量超过3000.

（Ⅱ）的可能取值为0，20，40，60

则的分布列为

20

40

60

即.

19.如图，四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点．

（Ⅰ）证明：

平面；

（Ⅱ）设，三棱锥的体积为，求二面角的余弦值．

（Ⅰ）证明见解析；

（Ⅰ））连接交于点，连接，根据中位线定理可得，由线面平行的判定定理即可证明平面；

（Ⅱ）以点为原点，以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.

（Ⅰ）连接交于点，连接

在中，

（Ⅱ），设菱形的边长为

，则.

取中点，连接.

以点为原点，以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴，

建立如图所示坐标系.

，，，

，，

即二面角的余弦值为.

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：

（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；

（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；

（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；

（4）将空间位置关系转化为向量关系；

（5）根据定理结论求出相应的角和距离.

20.已知椭圆的两个焦点为，且经过点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过的直线与椭圆交于两点（点位于轴上方），若，且，求直线的斜率的取值范围．

（1）由题意可得，，，则椭圆方程为.

（2）联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理得到关于实数k的不等式，求解不等式可得直线的斜率的取值范围是k=.

（1）由椭圆定义，有，，，从而.

（2）设直线，有，整理得，

设，，有，，，，

由于，所以，，解得.

，，由已知.

21.已知函数，．

（Ⅰ）若函数与的图像在点处有相同的切线，求的值；

（Ⅱ）当时，恒成立，求整数的最大值；

（Ⅲ）证明：

．

（Ⅱ）；

（Ⅲ）证明见解析.

（Ⅰ）求出与，由且解方程组可求的值；

（Ⅱ）恒成立等价于恒成立，先证明当时恒成立，再证明时不恒成立，进而可得结果；

（Ⅲ））由，令，

即，即，令，各式相加即可得结果.

（Ⅰ）由题意可知，和在处有相同的切线，

即在处且，

解得.

（Ⅱ）现证明，设，

令，即，

因此，即恒成立，

即，

同理可证.

由题意，当时，且，

即时，成立.

当时，，即不恒成立.

因此整数的最大值为2.

（Ⅲ）由，令，

即，即

由此可知，当时，，

当时，，

……

当时，.

综上：

.

即.

（二）选考题：

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22.选修4-4：

坐标系与参数方程

以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，点的极坐标为，若直线过点，且倾斜角为，圆以圆心，3为半径．

（Ⅰ）求直线的参数方程和圆的极坐标方程；

（Ⅱ）设直线与圆相交于两点，求．

（Ⅰ）为参数），；

（1）根据直线参数方程形式直接写出直线的参数方程，根据直角三角形关系得，即为圆的极坐标方程

（2）利用将圆的极坐标方程化为直接坐标方程，将直线参数方程代入，