湖南省八校届高三毕业班调研联考暑假返校考试数学理试题word含答案文档格式.docx
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2．已知=（为虚数单位），则复数（）
A.B.C.D.
3．如表是我国某城市在2017年1月份至10月份个月最低温与最高温（）的数据一览表．
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
最高温
11
17
24
27
30
31
21
最低温
已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据这一览表，则下列结论错误的是（）
A.最低温与最高位为正相关
B.每月最高温和最低温的平均值在前8个月逐月增加
C.月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月
D.1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大
4．等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，则（）
A.7B.8C.15D.16
5．已知函数为奇函数,且当时,,则（）
A.-2B.0C.1D.2
6．执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的（）
A.5B.6C.7D.8
7．三次函数的图象在点处的切线与轴平行，则在区间上的最小值是（）
A．B．C．D．
8．已知，，与的夹角为，则（）
A.2B.3C.4D.5
9．平面直角坐标系中，动点到圆上的点的最小距离与其到直线的距离相等，则点的轨迹方程是（）
A．B．
C．D．
10．某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（）
A.2B.4C.D.
11．已知椭圆：
，点，，分别为椭圆的左顶点、上顶点、左焦点，若，则椭圆的离心率是（）
12．已知是由具有公共直角边的两块直角三角板（与）组成的三角形，如左下图所示.其中，.现将沿斜边进行翻折成（不在平面上）.若分别为和的中点，则在翻折过程中，下列命题不正确的是（）
A.在线段上存在一定点，使得的长度是定值
B.点在某个球面上运动
C.对于任意位置，二面角始终大于二面角
D.存在某个位置，使得直线与所成角为
第II卷（非选择题）
二、填空题。
（本大题共4个小题，每小题5分。
满分20分。
请将答案填在答题卡上的对应位置上。
13．设，满足约束条件则的取值范围为．
14．某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为__________．
15．在数列中，，且．记，，则．
16．如图，在中，，点在线段上，且，，则的面积的最大值为__________．
三、解答题。
（本大题共6个小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.
（Ⅰ）证明：
sinAsinB=sinC；
（Ⅱ）若，求tanB.
18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.
（Ⅰ）证明MN∥平面PAB;
（Ⅱ）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
19．（本小题满分12分）某商场进行有奖促销活动，顾客购物每满500元，可选择返回50元现金或参加一次抽奖，抽奖规则如下：
从1个装有6个白球、4个红球的箱子中任摸一球，摸到红球就可获得100元现金奖励，假设顾客抽奖的结果相互独立.
（Ⅰ）若顾客选择参加一次抽奖，求他获得100元现金奖励的概率；
（Ⅱ）某顾客已购物1500元，作为商场经理，是希望顾客直接选择返回150元现金，还是选择参加3次抽奖？
说明理由；
（Ⅲ）若顾客参加10次抽奖，则最有可能获得多少现金奖励？
20．（本小题满分12分）已知中心在原点O，左、右焦点分别为的椭圆的离心率为，焦距为，A，B是椭圆上两点.
（Ⅰ）若直线AB与以原点为圆心的圆相切，且OA⊥OB，求此圆的方程；
（Ⅱ）动点P满足：
，直线与OB的斜率的乘积为，求动点P的轨迹方程.
21．设函数，，其中.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若存在极值点，且，其中，求证：
；
（Ⅲ）设，函数，求证：
在区间上的最大值不小于.
（选考题）22．选修4-4：
坐标系与参数方程
以直角坐标系中，以为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的参数方程为（为参数），曲线的方程为，定点，点是曲线上的动点，为的中点.
（Ⅰ）求点的轨迹的直角坐标方程；
（Ⅱ）直线与曲线相交于两点，若，求实数的取值范围.
（选考题）23．选修4-5：
不等式选讲
已知函数．
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若的解集包含，求的取值范围．
湖南省2019届高三毕业班摸底调研联考
理科数学试题卷参考答案及解析
题号
12
答案
C
D
B
A
1．C.【解析】由题意得，，∴，故选C.
2．D【解析由，得，故选D.
3．B【解析】
温差
13
将最高温度、最低温度、温差列表如图，由表格前两行可知最低温大致随最高温增大而增大，
正确；
由表格可知每月最高温与最低温的平均值在前个月不是逐月增加，错；
由表格可知，月温差（最高温减最低温）的最大值出现在月，
由表格可知月至月的月温差（最高温减最低温）相对于
月至
月，波动性更大，
正确，故选.
4．C【解析】试题分析：
设等比数列的公比为，成等差数列，则即，解得，，则；
5．A【解析】因为是奇函数，所以，故选A.
6．C【解析】试题分析：
执行第1次，t=0.01,S=1,n=0,m==0.5,S=S-m=0.5,=0.25,n=1,S=0.5＞t=0.01,是，循环，
执行第2次，S="
S-m"
=0.25,=0.125,n=2,S=0.25＞t=0.01,是，循环，
执行第3次，S="
=0.125,=0.0625,n=3,S=0.125＞t=0.01,是，循环，
执行第4次，S=S-m=0.0625,=0.03125,n=4,S=0.0625＞t=0.01,是，循环，
执行第5次，S="
=0.03125,=0.015625,n=5,S=0.03125＞t=0.01,是，循环，
执行第6次，S=S-m=0.015625,=0.0078125,n=6,S=0.015625＞t=0.01,是，循环，
执行第7次，S=S-m=0.0078125,=0.00390625,n=7,S=0.0078125＞t=0.01,否，输出n=7，故选C.
7．D【解析】试题分析：
，所以，所以，因此，在区间上单调减，在区间上单调增，所以最小值是，选D.
8．B【解析】因为，向量与的夹角为，
则，
所以，所以，故选B.
9．A【解析】试题分析：
设圆心为，动点到直线的距离为，根据题意得：
，可得，即：
动点到圆上的点的最小距离与其到直线的距离相等，根据抛物线的定义，动点的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线，设方程为，则，，所以抛物线方程为：
，选A．
10．C【解析】试题分析：
由三视图可得原几何体，如图所示，该几何体的高，底面为边长为的等腰直角三角形，所以该几何体中，直角三角形是底面和侧面,事实上，因为底面，所以平面底面，而，所以平面，所以，，
，所以该四面体的四个面中，直角三角形的面积和为，故选C．
11．A【解析】解：
如图所示，
tan∠NMF=,tan∠NFO=，
∵∠MFN=∠NMF+90°
∴∠NFO=180°
−MFN=90°
−∠NMF，
即，,则b2=a2−c2=ac，
∴e2+e−1=0,得.
本题选择A选项.
12．D【解析】不妨设，取中点，易知落在线段上，且,
所以点到点的距离始终为，即点在以点为球心，半径为的球面上运动，
因此A、B选项不正确；
对于C选项，易知二面角为直二面角时，二面角始终大于二面角，当二面角为锐二面角时，如图所示作平面与点，然后作分别交于，则二面角的平面角为，二面角的平面角为，且，又因为，所以，所以二面角始终大于二面角，
对于D选项，作可以看成以为轴线，以为平面角的圆锥的母线，易知与落在同一个轴截面上时，取得最大值，则的最大值为，此时落在平面上，所以，即与所成的角始终小于，所以D选项不正确,故选D.
13．
【解析】试题分析：
由题意得，画出约束条件所表示的可行域，如图所示，当目标函数过点时，取得最小值，此时最小值为；
当目标函数过点时，取得最大值，此时最小值为，所以的取值范围为．
14．【解析】由题意，三名学生各自随机选择两个食堂中的一个用餐的情况共有（种），其中他们在同一个食堂用餐的情况有2种，根据古典概型概率的计算公式得，所求概率为.
15．【解析】
试题分析：
因为，，所以，
.又，
所以，,
所以，所以答案应填：
．
16．.【解析】详解：
由可得：
，
则.
由可知：
，则，
由同角三角函数基本关系可知：
.
设，
在△ABD中由余弦定理可得：
在△CBD中由余弦定理可得：
由于，故，
即：
整理可得：
.①
在△ABC中，由余弦定理可知：
则：
代入①式整理计算可得：
由均值不等式的结论可得：
故，当且仅当时等号成立，
据此可知△ABC面积的最大值为：
17．（Ⅰ）根据正弦定理，可设，
则a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC.
代入中，有
，变形可得
sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）.
在ABC中，由A+B+C=π，有sin（A+B）=sin（π–C）=sinC，
所以sinAsinB=sinC.
（Ⅱ）由已知，b2+c2–a2=bc，根据余弦定理，有
所以sinA=.
由（Ⅰ），sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB，
所以sinB=cosB+sinB，
故tanB==4.
18．（Ⅰ）由已知得.
取的中点，连接，由为中点
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