专题08反比例函数及综合问题解析版苏科版 中考数学必考经典题讲练案江苏专用Word文件下载.docx

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从反比例函数y＝（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.

（2）常见的面积类型：

4.与一次函数的综合

（1）确定交点坐标：

【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.

【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.

（2）确定函数解析式：

利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解

（3）在同一坐标系中判断函数图象：

充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.

（4）比较函数值的大小：

主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.

【题型剖析】

【类型1】反比例函数k的几何意义

【例1】

（2019•宿豫区模拟）如图，A是反比例函数y（x＞0）的图象上的任意一点，AB∥x轴，交反比例函数y的图象于点B，以AB为边画▱ABCD，其中C、D在x轴上，则▱ABCD的面积等于（　　）

A．4B．5C．8D．9

【分析】连结OA、OB，AB交y轴于E，由于AB⊥y轴，根据反比例函数系数k的几何意义得到S△OEA4＝2，S△OBE5，则四边形ABCD为平行四边形，然后根据平行四边形的性质得到S平行四边形ABCD＝2S△OAB＝9．

【解析】连结OA、OB，AB交y轴于E，如图，

∵AB∥x轴，

∴AB⊥y轴，

∴S△OEA4＝2，S△OBE5＝2.5，

∴S△OAB＝2.5+2＝4.5，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴S平行四边形ABCD＝2S△OAB＝9．

故选：

D．

【点睛】本题考查了反比例函数y（k≠0）系数k的几何意义：

从反比例函数y（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．

【变式1-1】

（2019•梁溪区一模）如图，矩形OABC的顶点A、C都在坐标轴上，点B在第二象限，矩形OABC的面积为6．把矩形OABC沿DE翻折，使点B与点O重合．若反比例函数y的图象恰好经过点E和DE的中点F．则OA的长为（　　）

A．2B．C．2D．

【分析】连接BO与ED交于点Q，过点Q作QG⊥x轴于G，可通过三角形全等证得BO与ED的交点就是ED的中点F，由相似三角形的性质可得S△OGFS△OCB，从而求出S△OAE，进而可以得到AB＝4AE，即BE＝3AE．由轴对称的性质可得OE＝BE，从而得到OE＝3AE，也就有AO＝2AE，根据△OAE的面积可以求出OA的值．

【解析】连接BO与ED交于点Q，过点Q作QN⊥x轴，垂足为N，如图所示，

∵矩形OABC沿DE翻折，点B与点O重合，

∴BQ＝OQ，BE＝EO．

∵四边形OABC是矩形，

∴AB∥CO，∠BCO＝∠OAB＝90°

．

∴∠EBQ＝∠DOQ．

在△BEQ和△ODQ中，

∴△BEQ≌△ODQ（ASA）．

∴EQ＝DQ．

∴点Q是ED的中点．

∵∠QNO＝∠BCO＝90°

，

∴QN∥BC．

∴△ONQ∽△OCB．

∴（）2＝（）2．

∴S△ONQS△OCB．

∵S矩形OABC＝6，

∴S△OCB＝S△OAB＝3．

∴S△ONQ．

∵点F是ED的中点，

∴点F与点Q重合．

∴S△ONF．

∵点E、F在反比例函数y上，

∴S△OAE＝S△ONF．

∵S△OAB＝3，

∴AB＝4AE．

∴BE＝3AE．

由轴对称的性质可得：

OE＝BE．

∴OE＝3AE．OA2AE．

∴S△OAEAO•AE2AE×

AE．

∴AE．

∴OA＝2AE．

【变式1-2】

（2019•惠山区一模）如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心在反比例函数y（k≠0，x＞0）上，若矩形ABCD的面积为8，则k的值为（　　）

A．4B．2C．2D．8

【分析】设A点的坐标为（m，n）则根据矩形的性质得出矩形中心的纵坐标为，根据中心在反比例函数y上，求出中心的横坐标为，进而可得出BC的长度，根据矩形ABCD的面积即可求得．

【解析】如图，延长DA交y轴于点E，

∵四边形ABCD是矩形，

设A点的坐标为（m，n）则根据矩形的性质得出矩形中心的纵坐标为，

∵矩形ABCD的中心都在反比例函数y上，

∴x，

∴矩形ABCD中心的坐标为（，）

∴BC＝2（）2m，

∵S矩形ABCD＝8，

∴（2m）•n＝8．

4k﹣2mn＝8，

∵点A（m，n）在y上，

∴mn＝k，

∴4k﹣2k＝8

解得：

k＝4

A．

【类型2】反比例函数点的坐标特征

【例2】

（2019•锡山区一模）如图，在反比例函数y的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足AC＝BC，当点A运动时，点C始终在函数y的图象上运动，若tan∠CAB＝2，则k的值为（　　）

A．﹣6B．﹣12C．﹣18D．﹣24

【分析】连接OC，作CM⊥x轴于M，AN⊥x轴于N，如图，利用反比例函数的性质得OA＝OB，根据等腰三角形的性质得OC⊥AB，利用正切的定义得到2，再证明∴Rt△OCM∽Rt△OAN，利用相似的性质得4，然后根据k的几何意义求k的值．

【解析】连接OC，作CM⊥x轴于M，AN⊥x轴于N，如图，

∵A、B两点为反比例函数与正比例函数的两交点，

∴点A、点B关于原点对称，

∴OA＝OB，

∵CA＝CB，

∴OC⊥AB，

在Rt△AOC中，tan∠CAO2，

∵∠COM+∠AON＝90°

，∠AON+∠OAN＝90°

∴∠COM＝∠OAN，

∴Rt△OCM∽Rt△OAN，

∴（）2＝4，

而S△OAN|3|，

∴S△CMO＝6，

∵|k|＝6，

而k＜0，

∴k＝﹣12．

B．

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：

反比例函数y（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．也考查了反比例函数的性质和相似三角形的判定与性质．

【变式2-1】

（2019•宜兴市一模）已知反比例函数y的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2，那么下列结论中，正确的是（　　）

A．y1＜y2

B．y1＞y2

C．y1＝y2

D．y1与y2之间的大小关系不能确定

【分析】根据反比例函数y中k的符号判断该函数所在的象限及其单调性，然后分类讨论x1与x2所在的象限，从而根据该函数在该象限内的单调性来判断y1与y2的大小关系．

【解析】∵k＝6，

∴反比例函数y的图象经过第一三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；

①当x1＜x2＜0时，y1＞y2；

②当0＜x1＜x2时，y1＞y2；

③当x1＜0＜x2时，y1＜y2；

综合①②③，y1与y2的大小关系不能确定．

【变式2-2】

（2019•昆山市一模）如图，将边长为10的等边三角形OAB位于平面直角坐标系第一象限中，OA落在x轴正半轴上，C是AB边上的动点（不与端点A、B重合），作CD⊥OB于点D，若点C、D都在双曲线y（k＞0，x＞0）上，则k的值为（　　）

A．9B．18C．25D．9

【分析】根据等边三角形的性质表示出D，C点坐标，进而利用反比例函数图象上点的坐标特征得出答案．

【解析】过点D作DE⊥x轴于点E，过C作CF⊥x轴于点F，如图所示．

可得：

∠ODE＝30∠BCD＝30°

设OE＝a，则OD＝2a，DEa，

∴BD＝OB﹣OD＝10﹣2a，BC＝2BD＝20﹣4a，AC＝AB﹣BC＝4a﹣10，

∴AFAC＝2a﹣5，CFAF（2a﹣5），OF＝OA﹣AF＝15﹣2a，

∴点D（a，a），点C[15﹣2a，（2a﹣5）]．

∵点C、D都在双曲线y（k＞0，x＞0）上，

∴a•a＝（15﹣2a）（2a﹣5），

a＝3或a＝5．

当a＝5时，DO＝OB，AC＝AB，点C、D与点B重合，不符合题意，

∴a＝5舍去．

∴点D（3，3），

∴k＝3×

39．

【类型3】：

反比例函数和一次函数相结合问题

【例3】

（2019•海门市二模）如图，正比例函数y＝﹣2x与反比例函数y的图象相交于A（m，4），B两点．

（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；

（2）当﹣2x时，请直接写出x的取值范围．

【分析】

（1）将A坐标代入正比例函数y＝﹣2x求出m的值，将A（﹣2，4）代入反比例解析式求k的值，根据A、B关于O点对称即可确定出B坐标；

（2）根据图象和交点坐标找出正比例函数图象位于反比例函数图象下方时x的范围即可．

【解析】

（1）将A（m，4）代入正比例函数y＝﹣2x得：

4＝﹣2m，

解得m＝﹣2，

∴A（﹣2，4），

∵反比例函数y的图象经过A（﹣2，4），

∴k＝﹣2×

4＝﹣8，

则反比例解析式为y，

∵A、B关于O点对称

∴B（2，﹣4）；

（2）由图象得：

当﹣2x时，x的取值范围为﹣2≤x＜0或x≥2．

【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：

坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

【变式3-1】

（2019•如皋市一模）定义：

把函数y（m＞0）的图象叫做正值双曲线．把函数y（m＜0）的图象叫做负值双曲线．

（1）请写出正值双曲线的两条性质；

（2）如图，直线l经过点A（﹣1，0），与负值双曲线y（m＜0）交于点B（﹣2，﹣1）．P是射线AB上的一点，过点P作x轴的平行线分别交该负值双曲线于M，N两点（点M在点N的左边）．

①求直线l的解析式和m的值；

②是否存在点P，使得S△AMN＝4S△APM？

若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；

若不存在，请说明理由．

（1）根据反比例函数的性质解答即可；

（2）①运用待定系数法求出直线l的解析式；

②若存在，设点P的坐标为（p，p+1），则点M（，p+1），点N（，p+1），再根据三角形的面积公式可得△AMN的面积，然后分3种情况讨论：

若点P在线段AB上；

若点P与点B重合；

若点P在线段AB的延长线上．

（1）①当x＜0时，y随x的增大而增大；

当x＞0时，y随x的增大而减小；

②无论x取何值，y＞0；

③图象与坐标轴没有交点；

④图象分布在第一、二象限，等等；

（2）①设直线l的解析式为y＝kx+b．

∵直线l过点A（﹣1，0）和点B（﹣2，﹣1），

∴解得，

∴直线l的解析式为y＝x+1．

∵双曲线y（m＜0）交于点B（﹣2，﹣1），

∴m＝2×

（﹣1）＝﹣2，

即：

m的值为﹣2；

②若存在，设点P的坐标为（p，p+1），则点M（，p+1），点N（，p+1）．