普通高等学校招生全国统一考试数学卷理含详解 7Word文档格式.docx

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6．若不等式对一切成立，则的最小值为（　　）

Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．

7．在的二项展开式中，若常数项为，则等于（　　）

8．袋中有40个小球，其中红色球16个、蓝色球12个，白色球8个，黄色球4个，从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为（　　）

Ａ．Ｂ．

9．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是（　　）

Ａ．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等

Ｂ．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补

Ｃ．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆

Ｄ．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上

10．已知等差数列的前项和为，若，且三点共线（该直线不过点），则等于（　　　）

Ａ．100Ｂ．101Ｃ．200Ｄ．201

11．为双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（　　）

Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．

12．某地一天内的气温（单位：

℃）与时刻（单位：

时）之间的关系如图

（1）所示，令表示时间段内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差）．与之间的函数关系用下列图象表示，则正确的图象大致是（　　）

第卷

二、填空题：

本大题4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上．

13．已知向量，，则的最大值为．

14．设的反函数为，若，则．

15．如图，已知正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为．

16．已知为双曲线的两个焦点，为双曲线右支上异于顶点的任意一点，为坐标原点．下面四个命题（　　）

Ａ．的内切圆的圆心必在直线上；

Ｂ．的内切圆的圆心必在直线上；

Ｃ．的内切圆的圆心必在直线上；

Ｄ．的内切圆必通过点．

其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．

三、解答题：

本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知函数在与时都取得极值．

（1）求的值及函数的单调区间；

（2）若对，不等式恒成立，求的取值范围．

18．（本小题满分12分）

某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：

从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球获得二得奖；

摸出两个红球获得一等奖．现有甲、乙两位顾客，规定：

甲摸一次，乙摸两次．求

（1）甲、乙两人都没有中奖的概率；

（2）甲、两人中至少有一人获二等奖的概率．

19．（本小题满分12分）

在锐角中，角所对的边分别为，已知，

（1）求的值；

（2）若，，求的值．

20．（本小题满分12分）

如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，，是的中点．

（1）求点到面的距离；

（2）求异面直线与所成的角；

（3）求二面角的大小．

21．（本小题满分12分）

如图，椭圆的右焦点为，过点的一动直线绕点转动，并且交椭圆于两点，为线段的中点．

（1）求点的轨迹的方程；

（2）若在的方程中，令，

．

设轨迹的最高点和最低点分别为和．当为何值时，为一个正三角形？

22．（本小题满分14分）

已知各项均为正数的数列，满足：

，且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，，求，并确定最小正整数，使为整数．

普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：

1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。

2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米墨水签字笔在答题卡上书写。

在试题卷上作答无效。

4．考试结束，监考人员将试题卷和答题卡一并收回。

参考公式：

如果时间A、B互斥，那么

如果时间A、B相互独立，那么

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

球的表面积公式，其中R表示球的半径

球的体积公式，其中R表示球的半径

1．已知集合，，则等于（C　　）

解：

P＝｛x|x≥1或x≤0｝，Q＝｛x|x>

1｝故选C

2．函数的最小正周期为（B　　）

T＝，故选B

3．在各项均不为零的等差数列中，若，则（　A　）

设公差为d，则an＋1＝an＋d，an－1＝an－d，由可得2an－＝0，解得an＝2（零解舍去），故2×

（2n－1）－4n＝－2，故选A

4．下列四个条件中，是的必要不充分条件的是（　D　）

A.p不是q的充分条件，也不是必要条件；

B.p是q的充要条件；

C.p是q的充分条件，不是必要条件；

D.正确

5．对于上可导的任意函数，若满足，则必有（C　　）

依题意，当x≥1时，f'

（x）≥0，函数f（x）在（1，＋∞）上是增函数；

当x<

1时，f'

（x）≤0，f（x）在（－∞，1）上是减函数，故f（x）当x＝1时取得最小值，即有

f（0）≥f

（1），f

（2）≥f

（1），故选C

6．若不等式对一切成立，则的最小值为（　C　）

设f（x）＝x2＋ax＋1，则对称轴为x＝

若≥，即a≤－1时，则f（x）在〔0，〕上是减函数，应有f（）≥0⇒

－≤x≤－1

若≤0，即a≥0时，则f（x）在〔0，〕上是增函数，应有f（0）＝1>

0恒成立，故a≥0

若0≤≤，即－1≤a≤0，则应有f（）＝恒成立，故－1≤a≤0

综上，有－≤a故选C

7．在的二项展开式中，若常数项为，则等于（　B　）

，由解得n＝6故选B

8．袋中有40个小球，其中红色球16个、蓝色球12个，白色球8个，黄色球4个，从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为（A　　）

依题意，各层次数量之比为4:

3:

2:

1，即红球抽4个，蓝球抽3个，白球抽2个，黄球抽一个，故选A

9．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是（　B　）

因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等，所以它的顶点在底面的射影到底面的四个顶点的距离相等，故A，C正确，且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等，故D正确，B不正确，如底面是一个等腰梯形时结论就不成立。

故选B

10．已知等差数列的前项和为，若，且三点共线（该直线不过点），则等于（A　　　）

依题意，a1＋a200＝1，故选A

11．为双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（　D　）

设双曲线的两个焦点分别是F1（－5，0）与F2（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时

|PM|－|PN|＝（|PF1|－2）－（|PF2|－1）＝10－1＝9故选B

时）之间的关系如图

（1）所示，令表示时间段内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差）．与之间的函数关系用下列图象表示，则正确的图象大致是（D　　）

结合图象及函数的意义可得。

13．已知向量，，则的最大值为

＝|sinθ－cosθ|＝|sin（θ－）|≤|

14．设的反函数为，若，则2．

f－1（x）＝3x－6故〔f－1（m）＋6〕∙〔f－1（x）＋6〕＝3m∙3n＝3m＋n＝27

∴m＋n＝3∴f（m＋n）＝log3（3＋6）＝2

15．如图，已知正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为10．

将正三棱柱沿侧棱CC1展开，

其侧面展开图如图所示，由图中路线可得结论。

其中真命题的代号是（A）、（D）（写出所有真命题的代号）．

设的内切圆分别与PF1、PF2切于点A、B，与F1F2切于点M，则|PA|＝|PB|，|F1A|＝|F1M|，|F2B|＝|F2M|，又点P在双曲线右支上，所以|PF1|－|PF2|＝2a，故|F1M|－|F2M|＝2a，而|F1M|＋|F2M|＝2c，设M点坐标为（x，0），则由|F1M|－|F2M|＝2a可得（x＋c）－（c－x）＝2a解得x＝a，显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴，故A、D正确。

（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f'

（x）＝3x2＋2ax＋b

由f'

（）＝，f'

（1）＝3＋2a＋b＝0得

a＝，b＝－2

f'

（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表：

x

（－∞，－）

－

（－，1）

1

（1，＋∞）

（x）

＋

f（x）

↑

极大值

↓

极小值

所以函数f（x）的递增区间是（－∞，－）与（1，＋∞）

递减区间是（－，1）

（2）f（x）＝x3－x2－2x＋c，x∈〔－1，2〕，当x＝－时，f（x）＝＋c

为极大值，而f

（2）＝2＋c，则f

（2）＝2＋c为最大值。

要使f（x）<

c2（x∈〔－1，2〕）恒成立，只需c2>

f

（2）＝2＋c

解得c<