北京东城区高三数学综合测试一含答案Word下载.docx
《北京东城区高三数学综合测试一含答案Word下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《北京东城区高三数学综合测试一含答案Word下载.docx(14页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
![北京东城区高三数学综合测试一含答案Word下载.docx](https://file1.bdocx.com/fileroot1/2022-10/25/c418dbe9-663b-4bb0-884e-d5232570abb7/c418dbe9-663b-4bb0-884e-d5232570abb71.gif)
(A)
(B)
(C)
(D)
(6)已知,那么在下列不等式中,不成立的是
(A)(B)
(7)在平面直角坐标系中,动点在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动,每分钟转动一周.若点的初始位置坐标为,则运动到分钟时,动点所处位置的坐标是
(A)(B)
(C)(D)
(8)已知三角形,那么“”是“三角形为锐角三角形”的
(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件
(9)设为坐标原点,点,动点在抛物线上,且位于第一象限,是线段的中点,则直线的斜率的范围为
(A)(B)(C)(D)
(10)假设存在两个物种,前者有充足的食物和生存空间,而后者仅以前者为食物,则我们称前者为被捕食者,后者为捕食者.现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型.假设捕食者的数量以表示,被捕食者的数量以表示.下图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系,其中箭头方向为时间增加的方向.下列说法正确的是:
(A)若在时刻满足:
,则;
(B)如果数量是先上升后下降的,那么的数量一定也是先上升后下降;
(C)被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值;
(D)被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时,被捕食者的数量也会达到最大值.
第二部分(非选择题共110分)
2、填空题共5小题,每小题5分,共25分。
(11)已知向量,若与共线,则实数.
(12)在的展开式中常数项为.(用数字作答)
(13)圆心在轴上,且与直线和都相切的圆的方程为___.
(14)是等边三角形,点在边的延长线上,且,,则,.
(15)设函数给出下列四个结论:
1对,,使得无解;
2对,,使得有两解;
3当时,,使得有解;
4当时,,使得有三解.
其中,所有正确结论的序号是.
注:
本题给出的结论中,有多个符合题目要求。
全部选对得5分,不选或有错选得0分,其他得3分。
三、解答题共6小题,共85分。
解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
(16)(本小题14分)
如图,在四棱锥中,面,底面为平行四边形,,,.
(Ⅰ)求证:
平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值的大小.
(17)(本小题14分)
已知函数,且满足.
(Ⅰ)求函数的解析式及最小正周期;
(Ⅱ)若关于的方程在区间上有两个不同解,求实数的取值范围.
从①的最大值为,②的图象与直线的两个相邻交点的距离等于,③的图象过点这三个条件中选择一个,补充在上面问题中并作答.
如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分。
(18)(本小题14分)
中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统,预计2020年北斗全球系统建设将全面完成.下图是在室外开放的环境下,北斗二代和北斗三代定位模块,分别定位的个点位的横、纵坐标误差的值,其中“”表示北斗二代定位模块的误差的值,“+”表示北斗三代定位模块的误差的值.(单位:
米)
(Ⅰ)从北斗二代定位的个点位中随机抽取一个,求此点横坐标误差的值大于米的概率;
(Ⅱ)从图中四个点位中随机选出两个,记为其中纵坐标误差的值小于的点位的个数,求的分布列和数学期望;
(Ⅲ)试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小.(结论不要求证明)
(19)(本小题14分)
已知椭圆,它的上,下顶点分别为,,左,右焦点分别为,,若四边形为正方形,且面积为.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设存在斜率不为零且平行的两条直线,与椭圆分别交于点,且四边形是菱形,求出该菱形周长的最大值.
(20)(本小题15分)
已知函数().
(Ⅰ)若,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)若有两个极值点,求实数的取值范围;
(Ⅲ)若,求在区间上的最小值.
(21)(本小题14分)
数列,对于给定的,记满足不等式:
的构成的集合为.
(Ⅰ)若数列,写出集合;
(Ⅱ)如果均为相同的单元素集合,求证:
数列为等差数列;
()如果为单元素集合,那么数列还是等差数列吗?
如果是等差数列,请给出证明;
如果不是等差数列,请给出反例.
(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)
数学参考答案及评分标准2020.5
一、选择题(共10小题,每小题4分,共40分)
(1)D
(2)B(3)A(4)D(5)A
(6)D(7)C(8)B(9)C(10)C
二、填空题(共5小题,每小题5分,共25分)
(11) (12)
(13) (14)
(15)④
(16)(本小题14分)
解:
(Ⅰ)如图,因为四边形为平行四边形,
所以,
因为平面,平面,
所以平面.…………6分
(Ⅱ)取为坐标原点,过点的平行线为轴,
依题意建立如图所示的空间直角坐标系.
由题意得,,,,.
所以,,.
设平面的法向量为,
则即
令,则,.
所以.
因为为平行四边形,且,
因为面,
又因为,
所以面.
所以平面的法向量为,
由题意可知二面角的平面角为钝角,
所以二面角余弦值的大小为.………………………………14分
(17)(本小题14分)
(Ⅰ)因为
所以函数的最小正周期.
因为,所以函数的最大值和最小值分别为.
若选①,则,函数;
若选②,则为函数的最小值,从而,函数;
选③,,从而,函数.……8分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知函数的最大值为;
因为关于的方程在区间上有两个不同解,
当时,.
所以,解得.
所以,实数的取值范围是.………………………………14分
(18)(本小题14分)
解(Ⅰ)由图知,在北斗二代定位的个点中,横坐标误差的绝对值大于米有3个点,
所以从中随机选出一点,此点横坐标误差的绝对值大于米的概率为.…………4分
(Ⅱ)由图知,四个点位中纵坐标误差值小于的有两个点:
.
所以所有可能取值为.
.
所以的分布列为
所以的期望.…………12分
(Ⅲ)北斗二代定位模块纵坐标误差的方差大于北斗三代.…………14分
(19)(本小题14分)
(Ⅰ)因为,
所以.
因为四边形为正方形,且面积为,
所以,.
所以椭圆.…………4分
(Ⅱ)设平行直线,,
不妨设直线与交于,
由,得,
化简得:
,
其中,即.
所以,,
由椭圆的对称性和菱形的中心对称性,可知,
所以,,,
所以当且仅当时,的最大值为.
此时四边形周长最大值为.…………14分
(20)(本小题15分)
(Ⅰ)当时,,
所以.
所以切线方程为,即.…………4分
(Ⅱ),
设,
当时,易证在单调递增,不合题意.
当时,
令,得,
当时,,在上单调递增,
当时,,在上单调递减,
所以在处取得极大值.
依题意,函数有两个零点,
则即,
解得.
又由于,,,
由得
实数的取值范围为时,有两个极值点.…………13分
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当时,,
所以在上单调递减,
在区间上的最小值为.………15分
(Ⅰ)由于,为满足不等式的构成的集合,
所以有:
当时,上式可化为,
当时,上式可化为.
所以为.…………4分
(Ⅱ)对于数列,若中均只有同一个元素,不妨设为.
下面证明数列为等差数列.
当时,有;
由于
(1),
(2)两式对任意大于1的整数均成立,
所以有成立,从而数列为等差数列.…………8分
()对于数列,不妨设,,,
由可知:
,即,
从而,
设,则,
这说明如果,则.
因为对于数列,中均只有一个元素,
首先考察时的情况,不妨设,
因为,又为单元素集,
再证,证明如下:
由的定义可知:
,,
所以
又由的定义可知,
所以,
若,即,
则存在正整数,使得,
由于
所以,这与矛盾.
同理可证,
即数列,为等差数列.…………14分