《圆》自编教材.docx

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《圆》自编教材

第一讲圆的初步

一、知识梳理

1.圆的基本概念

（1）圆的定义：

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，

另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫

做圆心，线段OA叫做半径.

（2）圆的几何表示：

以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”.

（3）弦：

连接圆上任意两点的线段叫做弦.（如图中的AB）

（4）直径：

经过圆心的弦叫做直径（如图中的CD）.直径等于半径的2倍.

（5）弧、半圆、优弧、劣弧：

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.

弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”.

半圆：

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆.

大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）.

（6）弦心距：

从圆心到弦的距离叫做弦心距.

（7）圆心角：

顶点在圆心的角叫做圆心角.

（8）圆周角：

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.

（9）等圆，同圆：

能够重合的两个圆叫做等圆，同一个圆叫做同圆.等圆的半径，周长，面积均相等.

（10）等弧：

能够重合的两条弧叫做等弧.

例1一个圆的最长弦长为10cm，则此圆的半径是_________.

例2A、B是半径为2的⊙O上不同两点，则弦AB长的取值范围是.

例3下列说法中：

（1）直径是弦；

（2）弦是直径；（3）半圆是弧，但弧不一定是半圆；（4）半径相等的两个半圆是等弧；（5）长度相等的两条弧是等弧；（6）周长相等的圆是等圆；（7）面积相等的圆是等圆．正确的序号有.

例4下列说法正确的是（）

A.优弧一定比劣弧长B.圆上的点到圆心的距离都相等

C.顶点在圆上，且一边和圆相交的角叫做圆周角D.过圆心的线段是直径

2.圆心角定理及其推论，圆的对称性

（1）圆心角定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等.

（2）推论：

在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.简记为“知一推三”.

（3）圆的对称性：

圆的轴对称性：

圆是一个轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；

圆的中心对称性：

圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；

圆的旋转不变性：

圆绕它的圆心旋转任意角度所得到的圆与原来的圆重合.

例5下列说法不正确的是（）

A.若两弧相等，则弧所对的圆心角相等

B.在同圆或等圆中，若两弦相等，则两弦所对的弧相等

C.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形

D.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等

例6如图，AB是⊙O的直径，AB=2，BC，CD，DA是⊙O的弦，且

BC=CD=DA，则四边形ABCD的面积为.

例7大部分汽车的方向盘设计成圆形是利用了圆的（）

A.轴对称性B.旋转不变性

C.中心对称性D.以上都不是

例8如图，OA是⊙O的半径，=，

求证：

AO平分∠BAC.

例9如图，已知⊙O与△ABC三边均相交，在三边上截得的线段DE=FG=HK，∠A=50°，求∠BOC

的度数.

3.圆周角定理及其推论

（1）圆周角定理

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

推论1：

同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；

推论2：

半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；

推论3：

如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

（2）圆内接四边形的对角互补.

例10如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，且∠A=30°，∠O=48°，则∠E=.

例11如图，点A，B，C，D均在⊙O上，∠AOD=64°，AO∥DC，则∠B=.

例12如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于E，若CD=6，AC=8，则CE的长为.

（例10图）（例11图）（例12图）（例13图）

例13四边形ABCD的顶点都在⊙O上，直线AD与BC相交于点E，直线AB与DC相交于点F，已知

∠E=m，∠F=n，那么∠A可以用m，n表示为.

例14四边形ABCD的顶点都在⊙O上，AC是∠BAD的平分线．

（1）如图1，若BD是⊙O的直径，AB=4，AD=3，求BC的长；

（2）如图2，若∠ABD的平分线交AC于点E，求证：

BC=CE．

（图1）（图2）

二、能力提升

1.M，N，P三点在平面直角坐标系内的坐标分别为M（2，0），N（4，0），P（0，5），点Q在第一象限内，且

∠MQN=45°，求线段PQ长的最小值.

2.如图所示，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值为多少？

第二讲垂径定理

一、知识梳理

1.垂径定理及其推论

（1）垂径定理：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

（2）推论1：

①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.

（3）垂径定理及其推论1可概括为：

过圆心

垂直于弦

直径平分弦知二推三

平分弦所对的优弧

平分弦所对的劣弧

（4）推论2：

圆的两条平行弦所夹的弧相等.

例1⊙O中120°劣弧所对的弦是厘米，则⊙O的半径

是厘米；

例2如图，在⊙O中，弦AB=2a，点C是弧的中点，CD

⊥AB，CD=b，则⊙O的半径R可用a，b表示为；（例2图）

例3如图，⊙O的半径为5，P是圆外一点，PO=8，∠P=30°，

求AB、PB的长.

（例3图）

例4如图，在⊙O的直径MN上任取一点P，过点P作弦AC、BD，使∠APN=∠BPN.

求证：

PA=PB.

例5如图，A，B，C，D四点均在⊙O上，OC，OD与AB相交于点E，F，AE=FB.

求证：

.

例6如图，在⊙O中，AB与CD分别为⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为点E.连结OE，已知OE=2，

⊙O的半径为3，求的值.

二、能力提升

1.如图，在平面直角坐标系中，⊙M与y轴相交于A点，与x轴相交于B（，0），C（，0）两点，且点M的坐标为（m，2），过C点作AB的垂线交⊙M于点E，垂足为点H，CE交y轴于点F.

（1）求证：

EH=FH；

（2）求AF的长.

2.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，在AC，BC上分别有点D，E，始终保持DE=3，

若经过C，D，E三点的圆与AB相交于点P，Q，求线段PQ长的最大值.

第三讲与圆有关的位置关系

一、知识梳理

1.点与圆的位置关系

①设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：

（1）d

（2）d=r点P在⊙O上；

（3）d>r点P在⊙O外.

②过三点的圆：

（1）过三点的圆

不在同一直线上的三个点确定一个圆.

（2）三角形的外接圆

经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆.

（3）三角形的外心

三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心.

例1正方形ABCD的边长为1，以A为圆心，1为半径作⊙A，则点B在⊙A________，C点在⊙A________，D点在⊙A________.

例2在Rt△ABC中∠C=90°，AC=4，BC=3，E、F分别为AB、AC的

中点，以B为圆心、BC为半径作圆，点E在⊙B，

点F在⊙B.

例3如图所示，⊙O是是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，D是

弧AC的中点，已知∠EAD=114°，则∠CAD=°.

例4在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，AC=6，则△ABC的外接圆面积为.

2.直线与圆的位置关系

①直线和圆有三种位置关系，具体如下：

（1）相交：

直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；

（2）相切：

直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线；

（3）相离：

直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离.

②如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：

（1）直线l与⊙O相交d

（2）直线l与⊙O相切d=r；

（3）直线l与⊙O相离d>r.

例5在直角△ABO中，∠AOB=90°，OA＝4，OB=2，那么以点O为圆心、4为半径的圆与AB这条直线的位置关系是.

例6⊙O的半径是6，⊙O的一条弦AB长为6，则有一以2为半径的⊙O的同心圆，与AB的位置关系是.

例7若⊙O的直径是8，且直线l和⊙O相交，圆心O到直线l的距离是d，则d应满足的条为.

例8⊙O的半径为r，⊙O的一条弦AB长也等于r，则以O为圆心、r为半径的圆与AB的位置关系是.

3.切线的性质与判定定理

①切线的判定定理：

过半径外端且垂直于半径的直线是切线.

②切线的性质定理：

切线垂直于过切点的半径.

③切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角.

④三角形的内切圆：

与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.

⑤三角形的内心：

三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心.

例9如图，在⊙O中，AO为半径，AB为弦，BC为切线，且OA＝AB=BC，则∠OAC的度数为.

例10一个直角三角形的斜边为10厘米，内切圆半径为1厘米，则这个三角形的周长是.

例11如图，PA、PB切⊙O于点A、B，BD⊥AP于点D，BD交弧AB于点C，∠CAD=25°，则∠P的度数为.

例12如图，PA、PB、DE分别切⊙O于点A、B、C，若PO=13厘米，⊙O的半径r=5厘米，则△PDE

周长为，若∠APB=50°，∠DOE=.

（例9图）（例11图）（例12图）

例13如图，△ABC是⊙O的内接三角形，在圆上有C，D两点，使得∠CAB=2∠BCD，在AB的延长线

上有点E，使得∠E=∠ABC.

（1）求证：

DE是⊙O的切线；

（2）若BF=2，DF=，求⊙O的半径长.

例14如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O与点D，过点D的切线分别交AB、AC的延长线与点E、F．

（1）求证：

AF⊥EF．

（2）小强同学通过探究发现：

AF+CF=AB，请你帮忙小强同学证明这一结论．

二、能力提升

1.如图，AB为⊙O的直径，延长AB至点C，过C点作⊙O的切线，切点为点D.连结AD，已知OA=6，

CD=8，求AD的长.

第四讲与圆有关的计算

一、知识梳理

1.正多边形与圆

正多边形的外接圆：

经过正多边形的每个顶点的圆叫做正多边形的外接圆，此时的正多边形叫做圆的内接多边形，外接圆半径叫做正多边形的半径，每条边所对应的圆心角叫做正多边形的中心角；

正多边形的内切圆：

与正多边形的各边都相切的圆叫做正多边形的内切圆，此时的正多边形叫做圆的外切多边形，内切圆半径叫做正多边形的边心距；

任何一个正多边形总有一个外接圆和一个内切圆，它们是同心圆，它们的圆心是正多边形的中心.

例1正十八边形的中心角是（