《圆》自编教材.docx

1、圆自编教材第一讲 圆的初步一、知识梳理1. 圆的基本概念（1）圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.（2）圆的几何表示：以点O为圆心的圆记作“O”，读作“圆O”. （3）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.（如图中的AB）（4）直径：经过圆心的弦叫做直径（如图中的CD）.直径等于半径的2倍.（5）弧、半圆、优弧、劣弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.弧用符号“”表示，以A，B为端点的弧记作“ ”，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半

2、圆. 大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）.（6）弦心距： 从圆心到弦的距离叫做弦心距.（7）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. （8）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.（9）等圆，同圆：能够重合的两个圆叫做等圆，同一个圆叫做同圆.等圆的半径，周长，面积均相等.（10）等弧：能够重合的两条弧叫做等弧.例1 一个圆的最长弦长为10cm，则此圆的半径是_.例2 A、B是半径为2的O上不同两点，则弦AB长的取值范围是 .例3 下列说法中：（1）直径是弦；（2）弦是直径；（3）半圆是弧，但弧不一定是半圆；（4）半径相等的两个半圆是等弧；

3、（5）长度相等的两条弧是等弧；（6）周长相等的圆是等圆；（7）面积相等的圆是等圆正确的序号有 .例4 下列说法正确的是（ ） A.优弧一定比劣弧长 B.圆上的点到圆心的距离都相等 C.顶点在圆上，且一边和圆相交的角叫做圆周角 D.过圆心的线段是直径2. 圆心角定理及其推论，圆的对称性（1）圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等.（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.简记为“知一推三”.（3）圆的对称性：圆的轴对称性：圆是一个轴对称图形，经过圆心的每一条

4、直线都是它的对称轴；圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆的旋转不变性：圆绕它的圆心旋转任意角度所得到的圆与原来的圆重合.例5 下列说法不正确的是（ ） A.若两弧相等，则弧所对的圆心角相等 B.在同圆或等圆中，若两弦相等，则两弦所对的弧相等 C.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 D.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等例6 如图，AB是O的直径，AB=2，BC，CD，DA是O的弦，且BC=CD=DA，则四边形ABCD的面积为 .例7 大部分汽车的方向盘设计成圆形是利用了圆的（ ）A.轴对称性 B.旋转不变性 C.中心对称性 D.以上都不是例8 如图，OA是O的半径， =

5、 ， 求证：AO平分BAC.例9 如图，已知O与ABC三边均相交，在三边上截得的线段DE=FG=HK，A=50，求BOC的度数.3. 圆周角定理及其推论（1）圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径；推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.（2）圆内接四边形的对角互补.例10 如图，点A，B，C，D，E均在O上，且A=30，O=48，则E= .例11 如图，点A，B，C，D均在O上，AOD=64，AOD

6、C，则B= .例12 如图，AB是O的直径，C是 的中点，CEAB于E，若CD=6，AC=8，则CE的长为 . （例10图） （例11图） （例12图） （例13图）例13 四边形ABCD的顶点都在O上，直线AD与BC相交于点E，直线AB与DC相交于点F，已知E=m，F=n，那么A可以用m，n表示为 .例14 四边形ABCD的顶点都在O上，AC是BAD的平分线（1）如图1，若BD是O的直径，AB=4，AD=3，求BC的长；（2）如图2，若ABD的平分线交AC于点E，求证：BC=CE （图1） （图2）二、能力提升1. M，N，P三点在平面直角坐标系内的坐标分别为M(2，0)，N(4，0)，P(

7、0，5)，点Q在第一象限内，且MQN=45，求线段PQ长的最小值.2. 如图所示，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AEDF连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值为多少？第二讲 垂径定理一、知识梳理1.垂径定理及其推论 （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.（2）推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.（3）垂径定理及其推论1可概括为： 过圆心 垂直于弦直径 平分弦 知二推三

8、平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧（4）推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等.例1 O中120劣弧所对的弦是厘米，则O的半径是 厘米；例2 如图，在O中，弦AB=2a，点C是弧的中点，CDAB，CD=b，则O的半径R可用a，b表示为 ； （例2图）例3 如图，O的半径为5，P是圆外一点，PO=8，P=30，求AB、PB的长. （例3图） 例4 如图，在O的直径MN上任取一点P，过点P作弦AC、BD，使APN=BPN.求证：PA=PB. 例5 如图，A，B，C，D四点均在O上，OC，OD与AB相交于点E，F，AE=FB.求证： .例6 如图，在O中，AB与CD分别为O的弦，且ABCD，垂足为点E.

9、 连结OE，已知OE=2，O的半径为3，求的值.二、能力提升1. 如图，在平面直角坐标系中，M与y轴相交于A点，与x轴相交于B(，0)，C(，0)两点，且点M的坐标为(m，2)，过C点作AB的垂线交M于点E，垂足为点H，CE交y轴于点F. （1）求证：EH=FH； （2）求AF的长.2. 如图所示，在RtABC中，ACB=90，AC=4，BC=3，在AC，BC上分别有点D，E，始终保持DE=3，若经过C，D，E三点的圆与AB相交于点P，Q，求线段PQ长的最大值.第三讲 与圆有关的位置关系一、知识梳理1. 点与圆的位置关系设O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：（1）dr点P在O外.过三点

10、的圆： （1）过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆.（2）三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆.（3）三角形的外心三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心.例1 正方形ABCD的边长为1，以A为圆心，1为半径作A，则点B在A _，C点在A _，D点在A _.例2 在RtABC中C=90，AC=4，BC=3，E、F分别为AB、AC的中点，以B为圆心、BC为半径作圆，点E在B ，点F在B .例3 如图所示，O是是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，D是弧AC的中点，已知EAD=114，则CAD= .例4 在ABC中，A=30，B=60

11、，AC=6，则ABC的外接圆面积为 .2. 直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体如下：（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线；（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离.如果O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：（1）直线l与O相交dr.例5 在直角ABO中，AOB=90，OA4，OB=2，那么以点O为圆心、4为半径的圆与AB这条直线的位置关系是 .例6 O的半径是6，O的一条弦AB长为6，则有一以2为半径的O的同心圆，与AB的位置关系是 .

12、例7 若O的直径是8，且直线l 和O相交，圆心O到直线l的距离是d，则d应满足的条为 .例8 O的半径为r，O的一条弦AB长也等于r，则以O为圆心、r为半径的圆与AB的位置关系是 .3. 切线的性质与判定定理切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线.切线的性质定理：切线垂直于过切点的半径.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角.三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心.例9 如图，在O中，AO为半径，AB为弦，BC为切线，且OAA

13、B=BC，则OAC的度数为 .例10 一个直角三角形的斜边为10厘米，内切圆半径为1厘米，则这个三角形的周长是 .例11 如图，PA、PB切O于点A、B，BDAP于点D，BD交弧AB于点C， CAD=25 ，则P的度数为 .例12 如图，PA、PB、DE分别切O于点A、B、C，若PO=13厘米，O的半径r=5厘米，则PDE周长为 ，若APB=50，DOE= .（例9图） （例11图） （例12图） 例13 如图，ABC是O的内接三角形，在圆上有C，D两点，使得CAB=2BCD，在AB的延长线上有点E，使得E=ABC. （1）求证：DE是O的切线； （2）若BF=2，DF=，求O的半径长.例14

14、 如图，O是ABC的外接圆，AB为直径，BAC的平分线交O与点D，过点D的切线分别交AB、AC的延长线与点E、F（1）求证：AFEF（2）小强同学通过探究发现：AF+CF=AB，请你帮忙小强同学证明这一结论二、能力提升1. 如图，AB为O的直径，延长 AB至点C，过C点作O的切线，切点为点D. 连结AD，已知OA=6，CD=8，求AD的长.第四讲 与圆有关的计算一、知识梳理1. 正多边形与圆正多边形的外接圆：经过正多边形的每个顶点的圆叫做正多边形的外接圆，此时的正多边形叫做圆的内接多边形，外接圆半径叫做正多边形的半径，每条边所对应的圆心角叫做正多边形的中心角；正多边形的内切圆：与正多边形的各边都相切的圆叫做正多边形的内切圆，此时的正多边形叫做圆的外切多边形，内切圆半径叫做正多边形的边心距；任何一个正多边形总有一个外接圆和一个内切圆，它们是同心圆，它们的圆心是正多边形的中心.例1 正十八边形的中心角是（