D:
c>b>csinB,有两解.]
9.D [由余弦定理AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB,
∴12=()2+BC2-2××BC×.
整理得:
BC2-3BC+2=0.
∴BC=1或2.
当BC=1时,S△ABC=AB·BCsinB=××1×=.
当BC=2时,S△ABC=AB·BCsinB=××2×=.]
10.C [由S△ABC=BC·BAsinB=得BA=1,由余弦定理得
AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB,
∴AC=,∴△ABC为直角三角形,
其中A为直角,∴tanC==.]
11.C [由已知,得cos(A-B)+sin(A+B)=2,
又|cos(A-B)|≤1,|sin(A+B)|≤1,
故cos(A-B)=1且sin(A+B)=1,
即A=B且A+B=90°,故选C.]
12.B [由a4+b4+c4=2c2a2+2b2c2,得cos2C===cosC=±.∴角C为45°或135°.]
13.45°
解析 由正弦定理,=.
∴=.∴sinB=cosB.
∴B=45°.
14.10
解析 设AC=x,则由余弦定理得:
BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA,
∴49=25+x2-5x,∴x2-5x-24=0.
∴x=8或x=-3(舍去).
∴S△ABC=×5×8×sin60°=10.
15.8
解析 如图所示,
在△PMN中,=,
∴MN==32,
∴v==8(海里/小时).
16.
解析 由(b-c)cosA=acosC,得(b-c)·=a·,即=,由余弦定理得cosA=.
17.解 在△ACD中,∠DAC=α-β,
由正弦定理,得=,
∴AC=
∴AB=AE+EB=ACsinα+h=+h.
18.解
(1)∵a=2bsinA,∴sinA=2sinB·sinA
∴sinB=.∵0
(2)∵a=3,c=5,B=30°.
由余弦定理b2=a2+c2-2accosB=(3)2+52-2×3×5×cos30°=7.
∴b=.
19.解
(1)在△POC中,由余弦定理,得PC2=OP2+OC2-2OP·OC·cosθ=5-4cosθ,
所以y=S△OPC+S△PCD=×1×2sinθ+×(5-4cosθ)=2sin+.
(2)当θ-=,即θ=时,ymax=2+.
答 四边形OPDC面积的最大值为2+.
20.解 ①需要测量的数据有:
A点到M、N点的俯角α1、β1;B点到M、N点的俯角α2、β2;A、B的距离d(如图所示).
②第一步:
计算AM,由正弦定理AM=;
第二步:
计算AN.由正弦定理AN=;
第三步:
计算MN,由余弦定理
MN=.
21.解
(1)由余弦定理及已知条件得a2+b2-ab=4.
又因为△ABC的面积等于,
所以absinC=,由此得ab=4.
联立方程组解得
(2)由正弦定理及已知条件得b=2a.
联立方程组解得
所以△ABC的面积S=absinC=.
22.解 ∵CP∥OB,∴∠CPO=∠POB=60°-θ,∠OCP=120°.
在△POC中,由正弦定理得=,
∴=,∴CP=sinθ.
又=,∴OC=sin(60°-θ).
因此△POC的面积为
S(θ)=CP·OCsin120°
=·sinθ·sin(60°-θ)×
=sinθsin(60°-θ)
=sinθ
=2sinθ·cosθ-sin2θ
=sin2θ+cos2θ-
=sin-
∴θ=时,S(θ)取得最大值为.