年大连市高等数学竞赛试题B答案Word格式文档下载.docx
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4.=1.
5.若则
二、（本题10分）设求.
解当时，为一初等函数，这时
（6分）
当时，由于
（8分）
所以在处不连续，由此可知在处不可导。
（10分）
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
总分
分数
二、三、（本题8分）求函数的间断点，并判断类型.
解：
为间断点。
（3分）
当时，
由于
而
所以是跳跃间断点。
（5分）
所以是可去间断点。
（7分）
所以是无穷间断点。
（8分）
考生注意：
考试时间150分钟试卷总分100分共四页第1页
四、（本题10分）曲线上哪一点处的法线在轴上的截距最小
解设在处的法线方程为，
因为，所以，法线方程为，（4分）
整理后为，
法线在轴上的截距为。
求此函数的极值：
令，解得（舍去）;
故为极小值。
由于驻点唯一，知它即是最小值，因此曲线在点处的法线在轴上截距最小。
五、（本题6分）求的阶导数.
解
（2分）
（3分）
（4分）
所以（6分）
六、（本题10分）讨论方程（其中）有几个实根
设，则，故为的驻点（2分）。
当时，，当时，，所以为最大值。
（4分）
当时，即,即时，由于
，
所以当时，此时方程有两个根。
当时，即时，此时方程有一个根。
（9分）
当时，即时，方程无根.（10分）
共四页第2页
七、（本大题共3小题，每小题6分，总计18分）
（1）
解（2分）
（2）
所以（5分）
故（6分）
（3）
解由于，（2分）
而（4分）
所以
（6分）
八、（本题10分）设在上连续，且，证明：
证
两式相减，得
，（5分）
所以（7分）
即（10分）
共四页第3页
九、（本题8分）已知函数具有二阶导数，且，，证明：
存在点，使得.
证明：
由，得，，（2分）
函数在[0，1]连续，（0，1）可导，，由罗尔定理，至少存在使。
（6分）
函数在连续，可导，，由罗尔定理，至少存在使（10分）
十、（本题10分）设为连续函数，且满足，求.
解将上式两边对x求导，得，（2分）
再对上式求导，得，即。
由已知条件，可知。
因此所求函数满足下列初值问题
，
其通解为（8分）。
根据初值条件，得。
从而所求的函数为（10分）
共四页第4页
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