圆在几何图形上滚动的数学上Word格式文档下载.docx

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2、在圆内滚动

a、转的圈数

b、转的长度

D、圆滚动扫过的面积

1、圆在封闭图形外滚动扫过的面积

2、圆在封闭图形内滚动扫过的面积

E、综合练习

在直线上的滚动

例1、如图，一个半径为r厘米的圆形硬币，沿着桌面一条长厘米的直线作无滑动的滚动，从头到尾，硬币要滚动几周？

【解】：

如图中所示，下面的实线表示平面上的直线，上面的虚线是表示硬币圆心运动的轨迹。

已知圆形硬币的半径为r厘米，它的周长是，桌面上的直线长厘米，所以，硬币从一端滚动到另一端，滚动了：

÷

＝3（周）

观察如上图形，有两点事实是特别值得我们关注的：

一是圆在直线上滚动，从起点到终点，一直不曾改变过运动的方向：

二是圆在直线上滚动，它的圆心也是沿着直线运动的。

它运动的轨迹长度与圆周滚动的路程是相等的，即圆滚动一周，圆心也走过这个圆的周长的路程。

由此，我们还可以推断：

不管圆在何处滚动，圆周上的一点的转动的长度，一定等于该圆的圆心所运动的轨迹长度的。

所以，要求得一个圆滚动的周数，就得要找到这个圆的圆心运动轨迹。

2、在圆上滚动的距离

题2、如图，⊙O，⊙O，⊙O，⊙O的半径都1，其中⊙O与⊙O外切，⊙O，⊙O，⊙O两两外切，并且O，O，O三点在同一直线上．

（1）请直接写出O2O的长；

因为O、O的半径都为1，知OO＝1＋1＝2

（2）若⊙O沿图中箭头所示方向在⊙O的圆周上滚动，最后⊙O滚动到⊙O的位置上，试求在上述滚动过程中圆心O移动的距离（精确到0.01）．（2008年泉州市中考试题）

连接OO，

∵OO＝OO＝OO＝1＋1＝2，

∴△OOO为等边三角形，则∠OOO＝60︒，

∴∠OOO＝180︒－∠OOO＝120︒．

又OO＝OO＝2，

∴圆心O移动的距离为：

＝≈4.19．

例3、A、B两个圆形的硬纸片，B圆的半径是5厘米，是A圆的半径的三分之一，如果让B圆绕A圆无滑动地滚一圈，那么B圆的圆心移动的路程长度是多少厘米？

解答这道题，根据前面的归纳，是十分简单的。

A圆的半径是：

5÷

＝15（厘米）

A、B两个圆形的硬纸片的半径的和是：

15＋5＝20（厘米）

所以，B圆的圆心移动的路程长度是：

3.14×

20×

2＝125.6（厘米）

例4、下图是由7个半径均为r的圆形连贯而成的图形。

若半径为r的⊙O沿着7个半径均为r的圆形连贯而成图形的边缘滚动，这时滚动的圆沿着怎样的轨迹运动？

滚动的距离是多少？

用L表示弧长，在半径是r的圆中，因为360°

的圆心角所对的弧长就是圆的周长，所以n°

的圆心角所对的弧长为：

L＝＝。

因为⊙A，⊙B，⊙C两外切，知，AB＝BC＝AC＝2r，

∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60︒，∴∠BAO＝120︒．

滚动的路径之和L＝5弧BD＋2弧OB

＝5×

＋2×

＝＋＝＝6π

所以，滚动的距离是6π。

例5、如图，将4枚半径为1cm的硬币按如图的方式放在桌上，其圆心在同一直线上，且从左至右依次外切．现固定其中的第1、2、3枚，而第4枚沿着它们的边缘从⊙O的位置无滑动的滚动到⊙O′的位置，则第4枚硬币的圆心滚过的路径长是多少厘米？

如图所示，滚动的路径：

120︒的弧2个，

60︒的弧1个。

所以，第4枚硬币的圆心滚过的路径长为：

＋＋＝（厘米）．

可以这样说：

圆在曲线上运动的路程均为几段弧的长度之和。

解决问题的关键在于：

确定弧所在圆的圆心角的度数及哪几段弧．

我们知道，滚动圆滚动的周数，取决于滚动圆的圆心运动的路程。

例6、半径都为r的7个圆，排成一条直线。

第一个圆为动圆，其余6个为定圆。

第一个圆从A的位置，从第二个圆起，顺次滚过这6个圆，直到B点停下。

在这一过程中，第一个圆自身绕圆心旋转了多少圈？

第一个圆滚过第二个圆和第七个圆时，滚过的角度是120︒，滚过第三、四、五和第六个圆时，滚过的角度是60︒，

弧长＝ 

＝

小圆的周长为：

2

所以，自身绕圆心旋转了：

2＝（圈）

例7、在右下图中，有2016个半径为r的圆紧密排列成一条直线，半径为r的动圆C从图示位置，无滑动地绕着排在其右边的这2015个圆滚动一周，最后回到它原来的位置，则动圆C自身转动了几周？

圆C从第一个位置开始，滚过与它相同的其它2014个圆的上部，到达最右的位置．则圆C共滚过了2015段弧长，其中有2段是半径为2r，圆心角为120度，2013段是半径为2r，圆心角为60度的弧长。

可知其弧长和为：

×

2＋×

2013＝＋1342＝1344

然后，又从这2015个圆的下面滚回原来的位置，其来回的总路程为：

1344×

2＝2689，

所以动圆C自身转动的周数为：

2689÷

2＝1344（周）。

例8、有甲、乙两枚1元硬币。

现将硬币甲固定，让硬币乙沿硬币甲的圆周滚动，当硬币乙滚回到原来位置时，硬币乙旋转了几圈？

甲硬币固定不动，乙硬币沿甲硬币的圆周作无滑动地滚动，乙硬币的圆心所经过的轨迹（虚线），就是一个以甲硬币的圆心的一个新圆。

如右图，乙币从甲币的上方开始，按逆时针方向沿甲币圆周滚动。

当乙币的圆周滚动到它周长的时，刚好在甲币的正左方，乙币再旋转周长的，就滚到了甲币周长的一半，乙币再继续滚动它周长的两个时，就回到了原来的位置。

根据一个圆的圆心所经过路径（轨迹）的长度，等于这个圆所滚动过的路径的长度的推断，我们来观察乙币圆心运动的轨迹。

虚线所成的新圆的半径，恰好为甲、乙两个硬币半径的和，如果设两枚硬币的半径分别为r，则：

r＋r＝2r，它的周长＝，即乙硬币的圆心所经过轨迹的长度为。

乙币的周长为，所以，当乙币沿甲币的圆周滚动一周后再回到起始点时，乙币一共旋转的周数为：

＝2（周）。

归纳起来，可以这样说：

圆在圆上无滑动地滚动，动圆的圆心运动的轨迹，是以定圆的圆心为圆心，以动圆和定圆的半径的和为半径的。

因此，要求动圆滚动的周数，可以是：

（r＋R）÷

r

例9、如图，两个圆形纸片，圆A的半径是圆B半径的5倍。

如果让B纸片绕A纸片无滑动地滚一圈，那么B纸片一共转了周。

本题，如果按“（r＋R）÷

r”来解答，则

（圆A的半径＋B半径）÷

B半径＝（1＋5）÷

1＝6（周）。

现在，我们也可以从两圆运动的角度来探讨。

让圆B绕圆A的圆周作无滑动地滚一圈，在滚动的过程中，圆B在不停地旋转，这种旋转运动就叫做“自转”；

由于圆B纸片是在A圆的圆弧上运动，随时随地都在改变它的运行的角度，这种圆B围绕圆A的运动叫做“公转”。

已知圆A纸片的半径是圆B纸片半径的5倍，知圆A纸片的周长也是圆B纸片周长的5倍。

所以，B纸片绕A纸片的圆周作无滑动地滚一圈，自转了5÷

1＝5（周）。

圆B滚动一周是360︒，累计自转5周共旋转了：

360︒×

5＝1800︒。

B纸片绕A纸片的圆弧滚动，在这自转5周的过程中，每当旋转到360︒时，就要累计改变自己运行的角度360×

＝72︒。

所以，当B纸片绕A纸片自转5周，以原来的样子回到了原来的位置时，改变它运行的角度共有5个72︒，因此又旋转了：

72︒×

5＝360︒，即一周。

所以，B纸片一共转了：

（1800︒＋360︒）÷

360︒＝6（周）。

其实，这一解答方法，说白了和“（r＋R）÷

r”是同根同源，只不过是另一种表达方式而已。

例10、A、B、C、D是四个半径为1厘米的圆，B、C、D三个圆是定圆，A圆是个动圆，当它绕着B、C、D按顺时针方向无滑动地滚动一周后回到原来的位置时，A圆自己一共转了几圈？

解：

动圆的半径是1厘米，

则动圆圆心运动轨迹的半径是：

1＋1＝2（厘米）

动圆滚过B圆时，由图示可知旋转了180︒，滚过的路径的长度是：

2×

＝6.28（厘米）

在滚过C、D时同样也是180︒，知，

圆A滚过一周回到出发点时，滚过的路径长度总和是：

6.28×

3＝18.84（厘米）

圆A的周长是：

2＝6.28（厘米）

所以，A圆自己一共转了：

18.84÷

6.28＝39（圈）

例11、在2003年“《小学生数学报》杯”江苏省第三届小学生探索与应用能力竞赛的决赛试题中，有这样一道题：

“右图1，有6个完全相同的圆，其中A、B、C、D、E被固定在玻璃桌面上，第6个圆F紧贴着A、B、C、D、E这五个固定的圆，慢慢地沿着顺时针方向滚动，滚动的过程中不发生任何滑动。

当圆F再滚回到出发点P时，它自身绕圆心旋转了多少圈？

”（此题也是2011年第十一届“中环杯”六年级决赛试题）

十多年来，在互联网上，关于这道题的解答，五花八门，众说纷纭，让人莫衷一是。

这类一圆绕等圆群滚动一周的问题，与一圆在直线上滚动既有相似之处，又有本质上的区别。

相似之处是指：

动圆圆周滚动的长度等于它圆心轨迹的长度，也就是说，解答这类圆滚动的问题，都得要从研究动圆圆心轨迹的长度入手；

不同的是：

在直线上滚动，只是朝一个方向运行，不改变运行的角度，而在圆上滚动，动圆从定圆的某一相切点出发，滚动一圈，然后不改变朝向地回到出发时的位置，滚动的圆在运行的过程中，随时随地都在改变它的运行的角度。

其实，解答圆在圆上作无滑动地滚动的问题，只要把握了研究动圆圆心运动轨迹的这个根本，解答的途径不是唯一的。

纵观这些解答，他们只关注动圆的圆周与定圆的切点所经过的路径，而忽略了动圆是围绕定圆“公转”的基本事实。

下面我们以本题为例，探讨一个圆绕等圆群滚动一周的一般解法；

解法一：

从圆F在等圆群上滚动的角度入手，根据其圆心运行轨迹的角度来解答。

如右图，联结圆F与A、B、C、D、E五个圆的圆心，知△AB、△BC、△CD、△DE、AE因为都是两圆半径的和，所以都是等边三角形。

圆F顺时针方向滚动时，都是分别以A、B、C、D、E的圆心为圆心，分别以A、B、C、D、E和圆F的半径的和为半径的。

因此，圆F圆心运行的轨迹由到经过的是圆B，其角度是180︒；

由到经过的是圆C，其角度是：

180︒－90︒×

2＝60︒，

由到经过的是圆D，其角度是180︒，

由到经过的是圆E，其角度是180︒－60︒＝120︒，

由到，经过的是圆A，其角度是180︒－60︒＝120︒，回到了出发点。

由出发到回到原出发点，绕A、B、C、D、E五个圆旋转一周，其角度的和为：

180︒＋60︒＋180︒＋120︒＋120︒＝660︒

因为圆F圆心运动轨迹的半径，分别是A、B、C、D、E五个圆半径的2倍，其弧长也分别是A、B、C、D、E这相对应的弧长的两倍。

660︒×

2÷

360︒＝3（圈）

解法二：

我们也可以仿照引例设具体数来解答。

设定圆A、B、C、D、E的半径均为1厘米，其周长为：

2厘米，

圆F圆心运动轨迹的半径为：

1＋1＝2（厘米），其周长为：

4厘米，

圆F圆心运行的轨迹由到经过的是圆B，其角度是180︒，知其弧长是：

4×

＝2（厘米）

由到经过