数学的语法规则逻辑推理Word下载.docx

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　　亚里士多德以后，麦加拉-斯多葛学派研究了亚里士多德逻辑中欠缺的有关假言命题、选言命题、连言命题等属于复合命题的问题，研究了由这些命题所组成的各种推理形式及其规则，奠定了命题逻辑的基础.这是传统形式逻辑的一个重大发展，极大地丰富了传统形式逻辑、主要是演绎逻辑的内容.

在近代，法国的阿尔诺与尼科尔根据笛卡尔的哲学、逻辑和方法论观点，于1662年发表了《逻辑或思维的艺术》一书.该书成为欧洲近代逻辑的范本，是传统形式逻辑，主要是传统演绎逻辑的主要代表作之一.

17世纪末，法国哲学家莱布尼茨提出了逻辑数学化的思想，他在其1666年发表的《论组合术》一书中，提出了建立一种表意的普遍语言及思维演算，并成功地把命题表达为符号式，被公认为数理逻辑的先驱者.随后不到100年，英国数学家布尔用数学方法首倡了第一个逻辑演算系统-布尔代数，并把其中的符号解释为类时，布尔代数即为类代数，以及类逻辑的代表化，从而，把莱布尼茨的设想变成了现实，成为数理逻辑的早期形式.其后，再经德摩根、弗雷格等人的努力到20世纪初，罗素和怀德合著《数学原理》，总结了前人的研究成果，建立了一个完全的命题演算与谓词演算系统，标志着数理逻辑作为一门独立的科学达到了成熟阶段.树立逻辑是再传统逻辑基础上发展起来的，因而被是为形式逻辑的现代类型，一般也称之为现代形式逻辑或简称现代逻辑.近几十年来，现代逻辑得到迅速发展，至今已成为拥有众多分支的学科.

古代中国的逻辑学说形成于春秋战国时期，称为“名辨之学”.名家的邓析以及稍后的惠施和公孙龙，儒家的孔子，墨家的墨子，都对名辩逻辑的产生做出了重要贡献.后期墨家则在《墨经》中建立起一个逻辑体系，达到了中国古代逻辑发展的高峰.此后，荀子、韩非等也对名辩逻辑的发展起到了重要作用.可惜秦汉以后，由于种种原因，我国古代曾经兴起一时的逻辑学说却走向了衰落，没有获得进一步发展.直到近代，随着西方逻辑的传入，我国的逻辑研究才重又复兴，先秦时期的宝贵遗产也得到了重视.

数学家、逻辑学家布尔

布尔（Boole·

George）是英国数学家及逻辑学家,1815年11月2日生于林肯，1864年12月8日卒于爱尔兰的科克.

　　布尔是鞋匠之子，他完全靠自己的力量爬上去.他原想做牧师，但是他十六岁时在私立学校教数学，到1835年他自己开办一所学校.1849年，（尽管他没有学位）他被任命为科克的女王学院的数学教授，从此他才有了比较安稳的生活保证.他一直在此学院度其余生.

　　布尔的大发现就是用一套符号来进行逻辑演算，大约二百年前莱布尼兹曾经摸索过一些.他通过仔细地选择使这些符号及运算类似于代数的符号及运算.在布尔代数中，符号可以按照固定的规则来处理.而得出合乎逻辑的结果.布尔的前辈对是否进行这种研究一直犹豫不决.（它牵涉到改进亚里士多德的工作，、而人们对于改进亚里士多德的工作的尝试总有点犹豫不决.）然而布尔敢于这么干.1847年他出版了这方面的第一本书.书并不厚，但足以使他出名而使科克的学院聘他任教.1854年，他出版了《思维规律的研究》一书，其中完满地讨论了这个主题并奠定了现在所谓的符号逻辑的基础.

　　逻辑的数学化（好比亚里士多德把音乐数学化）并没有很快给当时的数学家留下印象.或许人们认为它只不过是错综复杂的文字游戏而已.然而，后来发现，‘符号逻辑对于建立数学的哲学是非常有用的（并且叹实是必不可少的）.尝试把数学建立在严格逻辑基础上（从欧几里得时起，已经整整二十一个世纪了，对于古人和一直到洛巴切夫斯基时代的追随者们，欧几里得似乎已经成功地完成这项任务）首先是弗雷格在进行，而怀特黑德和罗素使之达到顶峰：

布尔代数就是用于这个目的.

【数学应用】逆否命题用处大

四种命题间有两对互逆关系，两对互否关系，两对互为逆否的关系，互为逆否的两命题同真同假，在判断和证明中要注意它们之间的相互转化．

由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明一个命题的真假有困难时，可通过证明它的逆否命题为真来间接证明原命题为真，即正难则反的思想．

例1.主人要邀请张三、李四、王五三个人吃饭聊天，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：

“临时有急事，不能来了．”主人听了随口说了句：

“你看看，该来的没有来．”张三听了，脸色一沉，起来一声不吭地走了，主人愣了片刻，又道了句：

“哎哟，不该走的又走了．”李四听了大怒，拂袖而去．请你用逻辑学原理解释二人的离去原因．

张三走的原因是：

“该来的没有来”的等价命题是“来了不该来的”，张三觉得自己是不该来的，所以走了．李四走的原因是：

“不该走的又走了”的等价命题是“没有走的人是该走的”，李四觉得自己是应该走的．

例2.判断命题“已知,为实数，若关于的不等式的解集非空，则”的逆否命题的真假.

分析1：

写出原命题的逆否命题，直接判断其真假.

解法1：

原命题的逆否命题为“已知，为实数，若，则关于的不等式的解集为空集”.判断如下：

抛物线开口向上，

判别式.

因为，所以，即抛物线与轴无交点，所以关于的不等式的解集为空集.故逆否命题为真.

分析2：

先判断原命题的真假，再利用原命题与其逆否命题的等价关系判断原命题的真假.

解法2：

因为，为实数，且关于的不等式的解集非空，所以，所以.

因为，所以原命题为真.

又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真.

分析3：

因为问题涉及到不等式的解集，可利用集合的包含、相等关系求解.

解法3：

命题：

关于的不等式有非空解集，命题：

.所以：

关于的不等式有实数集}，：

.

因为，所以“若，则”为真，所以其逆否命题“若，则”为真，所以原命题的逆否命题为真.

公务员考试中的常用逻辑问题

每道题选给出定义，然后列出四种情况，要求你严格依据定义，从中选出一个最符合或最不符合该定义的答案.注意：

假设这个定义是正确的，不容置疑的.

1.集合概念是以事物的集合体为反映对象的概念.集合体是由许多个体组成的统一整体，集合体所具有的属性，只为该集合体所具有，而不必为这个集合体中的某一个体所具有.集合概念所涉及的关系不同于类和分子的关系，也不完全同于整体和部分的关系.组成类的各个分子都必然具有类的属性，而组成集合体的个体却不具有集合体的属性；

整体是由不同的部分组成的，而集合体则是由同类的个体组成的.

根据上述定义，下列划线语词在当前语境下所反映的概念不是集合概念的是：

A.人定胜天B.主权在民C.羊入虎口D.正义之师

2.命题可以分为四种：

①伪命题，指的是无真假可言的命题；

②永真命题，指的是不论在何种情况下都不可能假的命题；

③永假命题，指的是不论在何种情况下都不可能真的命题；

④可满足命题，指的是在有些情况下为真在有些情况下为假的命题.

根据上述定义，下列属于永真命题的是：

A.存在即合理B.思想或者是可捉摸的，或者不可捉摸的

C.人既能在不同时间跨进同一条河流，又不能在不同时间跨进同一条河流

D.地球是一直围绕太阳旋转的

3.相邻效应指的是个体或者组织的付出和其应该获得的利益之间存在不一致，但由此形成的费用差别和收益差别在社会上却没有相应的弥补来源.

根据上述定义，下列不涉及相邻效应的是：

A.某厂训练的熟练工跳槽到其他厂家工作

B.工厂的生产活动中产生的允许范围内的噪音对周边居民的生活有影响

C.甲厂生产的品牌电脑非常畅销，乙厂也盗用该品牌进行销售

D.邻居甲家养护良好的草坪花木常常使得习惯早起的乙神清气爽

4.直接证据是指能够直接证明刑事案件主要事实的证据，间接证据是指不能够单独地直接证明刑事案件主要事实，需要与其他证据相结合才能证明的证据.所谓刑事案件的主要事实，是指犯罪行为是否系犯罪嫌疑人、被告人所实

中“乙盗用品牌”、D选项中“甲养的花而获利的是乙，存在不一致”.此题选择不涉及该定义的，因而选择B选项.

4.A

双定义题，要求选择属于“直接证据”的，此定义的关键词是“能够直接证明刑事案件主要事实”，A选项符合定义的要求，监控视频可以直接证明案件事实；

B选项中“在案发前到过案发现场的证言”，只是“案发前的”不能直接证明事实；

C选项中的“在现场提取的脚印”也无法直接证明事实；

D选项中的“遭受损失的银行记录”需要结合其他证据方可证明事实，这三者属于间接证据.因而此题选择A选项.

5.C

布利丹效应的寓言故事实质反映了“人们在做决策时犹豫不决、难作决定的现象”.A、B、D选项很明显符合这一实质.而C选项强调的是“提前制定计划的重要性”，此题要求选择不符合的，因而选择C选项.

【思维导航】从集合角度理解充要条件

充要条件可以从集合的包含关系的角度来理解它们之间的对应关系，设满足条件p的对象组成的集合为P，满足条件q的对象组成的集合为Q.

（1）若，则p为q的充分条件，其中当时，p为q的充分不必要条件；

（2）若，则p为q的必要条件，其中当时，p为q的必要不充分条件；

（3）若且，即P=Q，则p为q的充要条件；

（4）如果以上三种关系均不成立，即P、Q之间没有包含或相等关系（且），此时或P、Q既有公共元素，也有非公共元素，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件.

例1．已知p:

，q:

，若非p是非q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.

解析：

由得，所以“q”所表示的集合为A=；

由得，所以“p”所表示的集合为B=，由非p是非q的必要不充分条件知，非p非q但非q非p，其逆否命题是：

但，故BA

，故m的取值范围为.

评注：

复杂的推理问题常采用等价转化思想，可使问题简单化，具体化，互为逆否命题是等价命题，再转化为集合包含关系求解，这种转化思想重要，要注意灵活应用.

蜂窝猜想

4世纪古希腊数学家佩波斯提出，蜂窝的优美形状，是自然界最有效劳动的代表.他猜想，人们所见到的、截面呈六边形的蜂窝，是蜜蜂采用最少量的蜂蜡建造成的.他的这一猜想称为"

蜂窝猜想"

，但这一猜想一直没有人能证明.

美密执安大学数学家黑尔宣称，他已破解这一猜想.蜂窝是一座十分精密的建筑工程.蜜蜂建巢时，青壮年工蜂负责分泌片状新鲜蜂蜡，每片只有针头大小而另一些工蜂则负责将这些蜂蜡仔细摆放到一定的位置，以形成竖直六面柱体.每一面蜂蜡隔墙厚度及误差都非常小.6面隔墙宽度完全相同，墙之间的角度正好