数学必修第一册课件课后作业一元二次函数方程和不等式第二章232第2课时人教A版Word格式.docx

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移项得－2≤0，

左边通分并化简得≤0，即≥0，

它的同解不等式为

∴x<

2或x≥5.

2或x≥5}．

解法二：

原不等式可化为≥0，

此不等式等价于①或②

解①得x≥5，解②得x<

2，

（1）对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．

（2）对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分（不要去分母），使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．

[针对训练]

1．解下列不等式：

（1）≥0；

（2）>

1.

[解]　

（1）原不等式可化为

解得

－或x≥，

∴原不等式的解集为.

原不等式可化为

或

解得或

∴－3<

x<

－，

原不等式可化为>

化简得>

0，即<

∴（2x＋1）（x＋3）<

0，解得－3<

－.

题型二有关一元二次不等式恒成立的问题

【典例2】　已知不等式ax2＋（a－1）x＋a－1<

0对于所有的实数x都成立，求a的取值范围．

[思路导引]　原不等式对所有的实数x都成立，即原不等式（关于x）的解集为R.注意到二次项的系数为参数a，故应分a＝0与a≠0两种情况分类讨论．

[解]　若a＝0，则原不等式为－x－1<

0，即x>

－1，不合题意，故a≠0.

令y＝ax2＋（a－1）x＋a－1，

∵原不等式对任意x∈R都成立，

∴二次函数y＝ax2＋（a－1）x＋a－1的图象在x轴的下方，

∴a<

0且Δ＝（a－1）2－4a（a－1）<

即

[变式]　若将本例改为：

不等式ax2＋（a－1）x＋a－1≥0的解集为空集，如何求a的取值范围？

[解]　不等式ax2＋（a－1）x＋a－1≥0的解集为空集，

即不等式ax2＋（a－1）x＋a－1<

0的解集为R，也就是不等式ax2＋（a－1）x＋a－1<

0对任意的x∈R恒成立．故a的取值范围是a<

不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>

0，它的解集为R的条件为

一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为

一元二次不等式ax2＋bx＋c>

0的解集为∅的条件为

2．设a≠0，不等式ax2－x＋a>

0的解集为R，求实数a的取值范围．

[解]　由题意得，

解得：

a>

.∴a的取值范围为a>

.

题型三一元二次不等式的实际应用

【典例3】　某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳锐10元（又称征税率为10个百分点），计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x（x≠0）个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．

（1）写出税收y（万元）与x的函数关系式；

（2）要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．

[思路导引]　

（1）按“税收＝收购总金额×

税率”可建立y与x的函数关系式；

（2）将不等关系用不等式表示，从而求解．

[解]　

（1）降低税率后的税率为（10－x）%，

农产品的收购量为a（1＋2x%）万担，

收购总金额为200a（1＋2x%）万元．

依题意：

y＝200a（1＋2x%）（10－x）%

＝a（100＋2x）（10－x）（0<

10）．

（2）原计划税收为200a·

10%＝20a（万元）．

依题意得：

a（100＋2x）（10－x）≥20a×

83.2%，

化简得，x2＋40x－84≤0，

∴－42≤x≤2.

又∵0<

10，∴0<

x≤2，

∴x的取值范围是0<

x≤2.

一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．

3．在一个限速40km/h以内的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m．又知甲、乙两种车型的刹车距离Sm与车速xkm/h之间分别有如下关系：

S甲＝0.1x＋0.01x2，S乙＝0.05x＋0.005x2.问超速行驶谁应负主要责任．

[解]　由题意列出不等式

S甲＝0.1x＋0.01x2>

12，

S乙＝0.05x＋0.005x2>

10.

分别求解，得

－40，或x>

30.

－50，或x>

40.

由于x>

0，从而得x甲>

30km/h，x乙>

40km/h.

经比较知乙车超过限速，应负主要责任．

课堂归纳小结

1．解不等式的过程实际上就是不断转化的过程，是同解不等式的逐步代换，基本思路是：

代数化、分式整式化、有理化、低次化、低维化，最后转化到可解的常见一元一次不等式、一元二次不等式上来.

2.当一元二次不等式ax2＋bx＋c>

0（a>

0）的解集为R时，意味着ax2＋bx＋c>

0恒成立．由图象可知：

关于这类恒成立问题只需考虑开口方向与判别式Δ即可.

1．不等式>

0的解集是（　　）

A．{x|－3<

2}B．{x|x>

2}

C．{x|x<

－3或x>

2}D．{x|x<

3}

[解析]　不等式>

0⇔（x－2）（x＋3）>

0的解集是{x|x<

2}，所以C选项是正确的．

[答案]　C

2．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝，则A∩B＝（　　）

A．{x|－1≤x<

0}B．{x|0<

x≤1}

C．{x|0≤x≤2}D．{x|0≤x≤1}

[解析]　∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0<

x≤2}，∴A∩B＝{x|0<

x≤1}．

[答案]　B

3．若不等式x2＋mx＋>

0的解集为R，则实数m的取值范围是（　　）

A．m>

2B．m<

2

C．m<

0或m>

2D．0<

m<

[解析]　由题意得Δ＝m2－4×

<

0，即m2－2m<

0，解得0<

2.

[答案]　D

4．已知不等式x2＋ax＋4<

0的解集为空集，则a的取值范围是（　　）

A．－4≤a≤4B．－4<

a<

4

C．a≤－4或a≥4D．a<

－4或a>

[解析]　依题意应有Δ＝a2－16≤0，解得－4≤a≤4，故选A.

[答案]　A

5．某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式为y＝3000＋20x－0.1x2（0<

240，x∈R），若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时最低产量是（　　）

A．100台B．120台C．150台D．180台

[解析]　3000＋20x－0.1x2≤25x

⇔x2＋50x－30000≥0，

解得x≤－200（舍去）或x≥150.

课后作业（十四）

复习巩固

一、选择题

A.

B.

C.

D.

[解析]　>

0⇔（4x＋2）（3x－1）>

0⇔x>

或x<

－，此不等式的解集为.

2．不等式<

1的解集是（　　）

A．{x|x>

1}B．{x|－1<

C.D.

[解析]　原不等式等价于－1<

0⇔<

0⇔（x＋1）·

（1－2x）<

0⇔（2x－1）（x＋1）>

0，解得x<

－1或

x>

3．不等式≥2的解集是（　　）

[解析]　∵原不等式等价于

∴∴

即.

4．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位：

m）的取值范围是（　　）

A．15≤x≤30　　B．12≤x≤25

C．10≤x≤30　　D．20≤x≤30

[解析]　设矩形的另一边长为ym，则由三角形相似知，＝，∴y＝40－x，∵xy≥300，∴x（40－x）≥300，∴x2－40x＋300≤0，∴10≤x≤30.

5．设集合P＝{m|－4<

0}，Q＝{m|mx2－mx－1<

0，x∈R}，则下列关系式成立的是（　　）

A．PQB．QP

C．P＝QD．P∩Q＝Q

[解析]　对Q：

若mx2－mx－1<

0对x∈R恒成立，则：

①当m＝0时，－1<

0恒成立．②当m≠0时，解得－4<

0.

由①②得Q＝{m|－4<

m≤0}，故PQ.

二、填空题

6．不等式≤3的解集为________．

[解析]　≤3⇔－3≤0⇔≥0⇒x（2x－1）≥0且x≠0，解得x<

0或x≥.

[答案]　

7．若不等式x2－4x＋3m<

0的解集为空集，则实数m的取值范围是________．

[解析]　由题意，知x2－4x＋3m≥0对一切实数x恒成立，所以Δ＝（－4）2－4×

3m≤0，解得m≥.

[答案]　m≥

8．若关于x的不等式x2－ax－a>

0的解集为R，则实数a的取值范围是________；

若关于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．

[解析]　由Δ1<

0即a2－4（－a）<

0得－4<

由Δ2≥0即a2－4（3－a）≥0得a≤－6或a≥2.

[答案]　－4<

0　a≤－6或a≥2

三、解答题

9．解下列分式不等式：

（1）≤1；

（2）<

[解]　

（1）∵≤1，∴－1≤0，

∴≤0，即≥0.

此不等式等价于（x－4）≥0且x－≠0，

解得x<

或x≥4.

（2）由<

0得>

此不等式等价于（x－1）>

－或x>

1，

10．若不等式（a－2）x2＋2（a－2）x－4<

[解]　当a－2＝0，即a＝2时，原不等式为－4<

所以a＝2时成立．

当a－2≠0时，由题意得

即解得－2<

综上所述可知：

－2<

a≤2.

综合运用

11．在R上定义运算⊗：

x⊗y＝x（1－y）．若不等式（x－a）⊗（x＋a）<

1对任意的实数x都成立，则a的取值范围是

________.

[解析]　根据定义得（x－a）⊗（x＋a）＝（x－a）[1－（x＋a）]＝－x2＋x＋a2－a，又（x－a）⊗（x＋a）<

1对任意的实数x都成立，所以x2－x＋a＋1－a2>

0对任意的实数x都成立，所以Δ<

0，即1－4（a＋1－a2）<

0，解得－<

[答案]　－<

12．若集合A＝{x|ax2－ax＋1<

0}