中考数学冲刺代几综合问题巩固练习提高.docx

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中考数学冲刺代几综合问题巩固练习提高

中考冲刺：

代几综合问题—知识讲解（提高）

【巩固练习】

一、选择题

1.（2016•鄂州）如图，O是边长为4cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中点，动点P由A开始沿折线A﹣B﹣M方向匀速运动，到M时停止运动，速度为1cm/s．设P点的运动时间为t（s），点P的运动路径与OA、OP所围成的图形面积为S（cm2），则描述面积S（cm2）与时间t（s）的关系的图象可以是（　　）

A．B．C．D．

2.如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为（）

二、填空题

3.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（4，10），点C在y轴上，且△ABC

是直角三角形，则满足条件的C点的坐标为______________．

4.（2016•梧州）如图，在坐标轴上取点A1（2，0），作x轴的垂线与直线y=2x交于点B1，作等腰直角三角形A1B1A2；又过点A2作x轴的垂线交直线y=2x交于点B2，作等腰直角三角形A2B2A3；…，如此反复作等腰直角三角形，当作到An（n为正整数）点时，则An的坐标是　　．

三、解答题

5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒（t＞0）．

（1）连接DP，经过1秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？

请说明理由；

（2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行．为什么？

（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形．

6．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（3，4），点C在y轴的正半轴上．动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A点出发到B点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）．

（1）求线段AB的长；当t为何值时，MN∥OC？

（2）设△CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值？

若有最小值，最小值是多少？

7.条件：

如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．

问题：

在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．

方法：

作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．

模型应用：

（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是　　；

（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；

（3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．

8.如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=15，OC=9，在AB上取一点M，使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作N点．

（1）求N点、M点的坐标；

（2）将抛物线y=x2﹣36向右平移a（0＜a＜10）个单位后，得到抛物线l，l经过点N，求抛物线l的解析式；

（3）①抛物线l的对称轴上存在点P，使得P点到M、N两点的距离之差最大，求P点的坐标；

②若点D是线段OC上的一个动点（不与O、C重合），过点D作DE∥OA交CN于E，设CD的长为m，△PDE的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并说明S是否存在最大值？

若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

9.如图，直线y=kx﹣1与x轴、y轴分别交于B、C两点，tan∠OCB=．

（1）求B点的坐标和k的值；

（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx﹣1上的一个动点．当点A运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；

（3）探索：

在

（2）的条件下：

①当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是；

②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？

若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．

10.（2015•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：

y=kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．

（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；

（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；

（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？

若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

11.如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．

（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？

点F是否在直线NE上？

请直接写出结论，不必证明或说明理由；

（2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，

（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？

若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；

（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断

（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？

若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．

【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】A.

【解析】分两种情况：

①当0≤t＜4时，

作OG⊥AB于G，如图1所示：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠B=90°，AD=AB=BC=4cm，

∵O是正方形ABCD的中心，

∴AG=BG=OG=AB=2cm，

∴S=AP•OG=×t×2=t（cm2），

②当t≥4时，作OG⊥AB于G，

如图2所示：

S=△OAG的面积+梯形OGBP的面积=×2×2+（2+t﹣4）×2=t（cm2）；

综上所述：

面积S（cm2）与时间t（s）的关系的图象是过原点的线段，故选A．

2.【答案】A.

三、填空题

3.【答案】（0，0），（0，10），（0，2），（0，8）

4．【答案】（2×3n﹣1，0）.

【解析】∵点B1、B2、B3、…、Bn在直线y=2x的图象上，

∴A1B1=4，A2B2=2×（2+4）=12，A3B3=2×（2+4+12）=36，A4B4=2×（2+4+12+36）=108，…，

∴AnBn=4×3n﹣1（n为正整数）．

∵OAn=AnBn，

∴点An的坐标为（2×3n﹣1，0）．

故答案为：

（2×3n﹣1，0）．

三、解答题

5．【答案与解析】

解：

（1）能，如图1，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动，t=1秒，

∴AP=1，BQ=1.25，

∵AC=4，BC=5，点D在BC上，CD=3，

∴PC=AC-AP=4-1=3，QD=BC-BQ-CD=5-1.25-3=0.75，

∵PE∥BC，

解得PE=0.75，

∵PE∥BC，PE=QD，

∴四边形EQDP是平行四边形；

（2）如图2，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动，

∴PC=AC-AP=4-t，QC=BC-BQ=5-1.25t，

∴

∴PQ∥AB；

（3）分两种情况讨论：

①如图3，当∠EQD=90°时，显然有EQ=PC=4-t，

又∵EQ∥AC，

∴△EDQ∽△ADC

∴，

∵BC=5，CD=3，

∴BD=2，

∴DQ=1.25t-2，

∴

解得t=2.5（秒）；

②如图4，当∠QED=90°时，作EM⊥BC于M，CN⊥AD于N，则EM=PC=4-t，

在Rt△ACD中，

∵AC=4，CD=3，

∴AD=，

∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°，

∴△EDQ∽△CDA，

∴t=3.1（秒）．

综上所述，当t=2.5秒或t=3.1秒时，△EDQ为直角三角形．

6.【答案与解析】

解：

（1）过点B作BD⊥OA于点D，

则四边形CODB是矩形，

BD=CO=4，OD=CB=3，DA=3

在Rt△ABD中，．

当时，，

，．

∵，，

∴，

即（秒）．

（2）过点作轴于点，交的延长线于点，

∵，

∴，．

即，．

，

．

，

∴

．

即（）．

由，得．

当时，S有最小值，且．

7．【答案与解析】

解：

（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴AC垂直平分BD，

∴PB=PD，

由题意易得：

PB+PE=PD+PE=DE，

在△ADE中，根据勾股定理得，DE=；

（2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，

PA+PC的最小值即为A′C的长，

∵∠AOC=60°

∴∠A′OC=120°

作OD⊥A′C于D，则∠A′OD=60°

∵OA′=OA=2

∴A′D=

∴；

（3）分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接OM、ON、MN，MN交OA、OB于点Q、R，连接PR、PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN．

由轴对称性质可得，OM=ON=OP=10，∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，

∴∠MON=2∠AOB=2×45°=90°，

在Rt△MON中，MN===10．

即△PQR周长的最小值等于10．

8.【答案与解析】

解：

（1）∵CN=CB=15，OC=9，

∴ON==12，∴N（12，0）；

又∵AN=OA﹣ON=15﹣12=3，

设AM=x

∴32+x2=（9﹣x）2，∴x=4，M（15，4）；

（2）解法一：

设抛物线l为y=（x﹣a）2﹣36

则（12﹣a）2=36

∴a1=6或a2=18（舍去）

∴抛物线l：

y=（x﹣6）2﹣36

解法二：

∵x2﹣36=0，

∴x1=﹣6，x2=6；

∴y=x2﹣36与x轴的交点为（﹣6，0）或（6，0）

由题意知，交点（6，0）向右平移6个单位到N点，

所以y=x2﹣36向右平移6个单位得到抛物线l：

y=（x﹣6）2﹣36；

（3）①由“三角形任意两边的差小于第三边”知：

P点是直线MN与对称轴x=6的交点，

设直线MN的解析式为y=kx+b，

则，解得，

∴y=x﹣16，

∴P（6，﹣8）；

②∵DE∥OA，

∴△CDE∽△CON，

∴；

∴S=

∵a=﹣＜0，开口向下，又m=﹣

∴S有最大值，且S最大=﹣．

9.【答案与解析】

解：

（1）∵y=kx﹣1与y轴相交于点C，

∴OC=1；

∵tan∠OCB=，∴OB=；∴B点坐标为：

；

把B点坐标为：

代入y=kx﹣1得：

k=2；

（2）∵S=，y=kx﹣1，

∴S=×|2x﹣1|；∴S=|x﹣|；

（3）①当S=时，x﹣=，∴x=1，y=2x﹣1=1；

∴A点坐标为（1，1）时，△AOB的面积为；

②存在．

满足条件的所有P点坐标为：

P1（1，0），P2（2，0），P3（，0），P4（，0）．

10.【答案与解析】

解