直线与平面平行经典题目Word文件下载.docx

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则a∥b且a∥c，

∴b∥c.

又bα，α∩β=l，∴b∥l.∴a∥l.

C

4.（06重庆卷）对于任意的直线l与平同a,在平面a内必有直线m,使m与l

A.平行　　　　B.相交C.垂直D.互为异面直线

对于任意的直线与平面，若在平面α内，则存在直线m⊥；

若不在平面α内，

且⊥α，则平面α内任意一条直线都垂直于，若不在平面α内，且于α不垂直，则它的射影在平面α内为一条直线，在平面内必有直线垂直于它的射影，则与垂直，

综上所述，选C.

5.已知平面和直线，给出条件：

①；

②；

③；

④；

⑤.

（i）当满足条件③⑤时，有；

（ii）当满足条件②⑤时，有.

（填所选条件的序号）

●典例剖析

【例1】如下图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB且AM=FN，求证：

MN∥平面BCE.

证法一：

过M作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足（如上图），连结PQ.

∵MP∥AB，NQ∥AB，∴MP∥NQ.

又NQ=BN=CM=MP，∴MPQN是平行四边形.

∴MN∥PQ，PQ平面BCE.而MN平面BCE，∴MN∥平面BCE.

证法二：

过M作MG∥BC，交AB于点G（如下图），连结NG.

∵MG∥BC，BC平面BCE，MG平面BCE，∴MG∥平面BCE.

又==，∴GN∥AF∥BE，同样可证明GN∥平面BCE.

又面MG∩NG=G，∴平面MNG∥平面BCE.又MN平面MNG.∴MN∥平面BCE.

特别提示

证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：

①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；

②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行.

【例2】已知正四棱锥P—ABCD的底面边长及侧棱长均为13，M、N分别是PA、BD上的点，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.

（1）求证：

直线MN∥平面PBC；

（2）求直线MN与平面ABCD所成的角.

（1）证明：

∵P—ABCD是正四棱锥，

∴ABCD是正方形.连结AN并延长交BC于点E，连结PE.

∵AD∥BC，∴EN∶AN=BN∶ND.

又∵BN∶ND=PM∶MA，

∴EN∶AN=PM∶MA.∴MN∥PE.

又∵PE在平面PBC内，∴MN∥平面PBC.

（2）解：

由

（1）知MN∥PE，∴MN与平面ABCD所成的角就是PE与平面ABCD所成的角.

设点P在底面ABCD上的射影为O，连结OE，则∠PEO为PE与平面ABCD所成的角.

由正棱锥的性质知PO==.

由

（1）知，BE∶AD=BN∶ND=5∶8，∴BE=.

在△PEB中，∠PBE=60°

，PB=13，BE=，

根据余弦定理，得PE=.

在Rt△POE中，PO=，PE=，

∴sin∠PEO==.

故MN与平面ABCD所成的角为arcsin.

【例3】如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点，

（I）求证：

AC⊥BC1；

（）求证：

AC1//平面CDB1；

（）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．

（）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4,AB=5，

∴AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴AC⊥BC1；

（）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵D是AB的中点，

E是BC1的中点，∴DE//AC1，

∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1，

∴AC1//平面CDB1；

（）∵DE//AC1，∴∠CED为AC1与B1C所成的角，在△CED中，

ED=AC1=，CD=AB=，CE=CB1=2，

∴，

∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.

●闯关训练

夯实基础

1.（07福建理）已知m、n为两条不同的直线，为两个不同的平面，

则下列命题中正确的是

A.∥，n∥∥B.∥，，m∥n

C.m⊥，m⊥nn∥D.n∥m,n⊥m⊥

A中m、n少相交条件，不正确；

B中分别在两个平行平面的两条直线不一定平行，不正确；

C中n可以在内，不正确，选D

2.（06福建卷）对于平面和共面的直线m、n，下列命题中真命题是

A.若m⊥，m⊥n，则n∥B.若m∥，n∥，则m∥n

C.若m，n∥，则m∥nD.若m、n与所成的角相等，则n∥m

解：

对于平面和共面的直线、真命题是“若则”，选C.

3.（06湖南卷）过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中点

作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有（）

A.4条B.6条C.8条D.12条

如图，过平行六面体任意两条棱的中点

作直线,其中与平面平行的直线共有12条，选D.

4.（06重庆卷）若是平面外一点，则下列命题正确的是

A.过只能作一条直线与平面相交B.过可作无数条直线与平面垂直

C.过只能作一条直线与平面平行D.过可作无数条直线与平面平行

过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行，

且这个平面内的任一条直线都与已知平面平行。

故选D

5.如图，在三棱柱ABC—A′B′C′中，点E、F、H、K分

别为AC′、CB′、A′B、B′C′的中点，G为△ABC的

重心.从K、H、G、B′中取一点作为P，使得该棱柱恰有

2条棱与平面PEF平行，则P为（C）

A．KB．HC．GD．B′

6.已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是①两条平行直线；

②两条互相垂直的直线；

③同一条直线；

④一条直线及其外一点.

在上面结论中，正确结论的编号是__________.（写出所有正确结论的编号）

A1D与BC1在平面ABCD上的射影互相平行；

AB1与BC1在平面ABCD上的射影互相垂直；

DD1与BC1在平面ABCD上的射影是一条直线及其外一点.

①②④

7.已知Rt△ABC的直角顶点C在平面α内，斜边AB∥α，AB=2，AC、BC分别和平面α

成45°

和30°

角，则AB到平面α的距离为__________.

分别过A、B向平面α引垂线AA′、BB′，垂足分别为A′、B′.

设AA′=BB′=x，则AC2=（）2=2x2，

BC2=（）2=4x2.又AC2+BC2=AB2，∴6x2=

（2）2，x=2.答案：

2

8、（07江西）右图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，

截面为ABC．已知A1B1＝B1C1＝l，∠AlBlC1＝90°

，AAl＝4，BBl＝2，CCl＝3。

（I）设点O是AB的中点，证明：

OC∥平面A1B1C1；

（II）求二面角B—AC—A1的大小；

（Ⅲ）求此几何体的体积；

解法一：

作交于，连．

则．因为是的中点，

所以．

则是平行四边形，因此有．

平面且平面，

则面．

（2）如图，过作截面面，分别交，于，．

作于，连．

因为面，所以，则平面．

又因为，，．

所以，根据三垂线定理知，所以就是所求二面角的平面角．

因为，所以，故，

即：

所求二面角的大小为．

（3）因为，所以．

．

所求几何体体积为．

解法二：

（1）如图，以为原点建立空间直角坐标系，

则，，，因为是的中点，

所以，．

易知，是平面的一个法向量．

因为，平面，所以平面．

（2），，

设是平面的一个法向量，则

则，得：

取，．

显然，为平面的一个法向量．

则，结合图形可知所求二面角为锐角．

所以二面角的大小是．

（3）同解法一．

培养能力

9.如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCＤ中，

∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=,

点E在PD上，且PE:

ED=2:

1.

（I）证明PA⊥平面ABCD；

（II）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；

（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点F，使BF//平面AEC？

证明你的结论.

（Ⅰ）证明因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°

，

所以AB=AD=AC=a，在△PAB中，

由PA2+AB2=2a2=PB2知PA⊥AB.

同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.

（Ⅱ）解作EG//PA交AD于G，

由PA⊥平面ABCD.

知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H，连结EH，

则EH⊥AC，∠EHG即为二面角的平面角.

又PE:

ED=2:

1，所以

从而

（Ⅲ）解法一以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为

所以

设点F是棱PC上的点，则

令得

解得即时，

亦即，F是PC的中点时，、、共面.

又BF平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC.

解法二当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC，证明如下，

证法一取PE的中点M，连结FM，则FM//CE.①

由知E是MD的中点.

连结BM、BD，设BDAC=O，则O为BD的中点.

所以BM//OE.②

由①、②知，平面BFM//平面AEC.

又BF平面BFM，所以BF//平面AEC.

证法二

因为

所以、、共面.

又BF平面ABC，从而BF//平面AEC.

探究创新

10.如下图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB，点E、M分别为A1B、C1C的中点，过点A1、B、M三点的平面A1BMN交C1D1于点N.

EM∥平面A1B1C1D1；

（2）求二面角B—A1N—B1的正切值；

（3）设截面A1BMN把该正四棱柱截成的两个几何体的体积分别为V1、V2（V1＜V2），

求V1∶V2的值.

设A1B1的中点为F，连结EF、FC1.

∵E为A1B的中点，∴EFB1B.

又C1MB1B，∴EFMC1.

∴四边形EMC1F为平行四边形.

∴EM∥FC1.∵EM平面A1B1C1D1，

FC1平面A1B1C1D1，∴EM∥平面A1B1C1D1.

作B1H⊥A1N于H，连结BH.

∵BB1⊥平面A1B1C1D1，∴BH⊥A1N.

∴∠BHB1为二面角B—A1N—B1的平面角