教学设计《简单的线性规划问题》人教Word文档下载推荐.docx
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寻求线性规划问题的最优解。
（一）新课导入
某工厂用A，B两种配件生产甲，乙两种产品，每生产一件甲种产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙种产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么?
若生产1件甲种产品获利2万元，生产1件乙种产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大?
把问题1的有关数据列表表示如下:
设甲，乙两种产品分别生产x，y件，由己知条件可得到哪些不等式呢？
（二）新课讲授
设甲，乙两种产品分别生产x，y件，由己知条件可得:
将上面不等式组表示成平面上的区域，区域内所有坐标为整数的点P（x，y），安排生产任务x，y都是有意义的。
问题：
求利润2x+3y的最大值。
若设利润为z，则z=2x+3y，这样上述问题转化为:
当x，y在满足上述约束条件时，z的最大值为多少?
把z＝2x＋3y变形为y＝－x＋，在y轴上的截距为，当点P在可允许的取值范围变化时，
求截距的最值，即可得z的最值。
如图：
由图可以看出，
当直线y＝－x＋经过直线x＝4与直线x＋2y－8＝0的交点M（4，2）时，截距的值最大，
此时2x＋3y＝14。
在上述问题中，不等式组是一组对变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件。
Z=2x+3y称为目标函数，（因这里目标函数为关于x，y的一次式，又称为线性目标函数）。
一般地，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题。
满足线性约束条件的解（x，y）叫可行解。
由所有可行解组成的集合叫做可行域。
其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。
在上述问题的图中，阴影部分叫可行域，阴影区域中的每一个点对应的坐标都是一个可行解，其中能使②式取最大值的可行解称为最优解。
（三）例题探究
例1 设变量x，y满足约束条件求目标函数z＝2x＋5y的最小值。
[解析] 由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为y＝－x＋z，在图中画出直线y＝－x，平移该直线，易知经过点A时z最小。
又知点A的坐标为（3，0），∴zmin＝2×
3＋5×
0＝6。
注：
图解法是解决线性规划问题的有效方法，基本步骤：
①确定线性约束条件，线性目标函数；
②作图——画出可行域；
③平移——平移目标函数对应的直线z＝ax＋by，看它经过哪个点（或哪些点）时最先接触可行域或最后离开可行域，确定最优解所对应的点的位置；
④求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值。
跟踪训练1 已知1≤x＋y≤5，－1≤x－y≤3，求2x－3y的取值范围。
解：
作出二元一次不等式组所表示的平面区域（如图）即为可行域。
设z＝2x－3y，变形得y＝x－z，
则得到斜率为，且随z变化的一组平行直线。
－z是直线在y轴上的截距，
当直线截距最大时，z的值最小，
由图可知，
当直线z＝2x－3y经过可行域上的点A时，截距最大，即z最小。
解方程组得A的坐标为（2，3），
∴zmin＝2x－3y＝2×
2－3×
3＝－5。
当直线z＝2x－3y经过可行域上的点B时，截距最小，即z最大。
解方程组得B的坐标为（2，－1）。
∴zmax＝2x－3y＝2×
（－1）＝7。
∴－5≤2x－3y≤7，即2x－3y的取值范围是[－5，7]。
例2 已知x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋y的最大值有无数个最优解，求实数a的值。
约束条件所表示的平面区域如图：
由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z。
当a＝0时，最优解只有一个，过A（1，1）时取得最大值；
当a＞0时，当y＝－ax＋z与x＋y＝2重合时，最优解有无数个，此时a＝1；
当a＜0时，当y＝－ax＋z与x－y＝0重合时，最优解有无数个，此时a＝－1。
综上，a＝1或a＝－1。
跟踪训练2 给出平面可行域（如图），若使目标函数z＝ax＋y取最大值的最优解有无穷多个，则a等于（ ）
A。
B。
C。
4D。
答案：
B
解析：
由题意知，当直线y＝－ax＋z与直线AC重合时，最优解有无穷多个，则－a＝＝－，即a＝，故选B。
例3 已知实数x，y满足约束条件试求z＝的最大值和最小值。
作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，
由于z＝＝，
故z的几何意义是点（x，y）与点M（－1，－1）连线的斜率，
因此的最值是点（x，y）与点M（－1，－1）连线的斜率的最值，
由图可知，直线MB的斜率最大，直线MC的斜率最小，
又∵B（0，2），C（1，0），
∴zmax＝kMB＝3，zmin＝kMC＝。
∴z的最大值为3，最小值为。
跟踪训练3已知实数x，y满足约束条件设z＝，求z的取值范围。
由于z＝·
，其中k＝的几何意义为点（x，y）与点N连线的斜率。
由图易知，
kNC≤k≤kNB，即≤k≤，
∴≤k≤7，∴z的取值范围是[，7]。
例4 设x，y满足条件，求u＝x2＋y2的最大值与最小值。
画出满足条件的可行域如图所示。
x2＋y2＝u表示一组同心圆（圆心为原点O），且对同一圆上的点x2＋y2的值都相等，
由图可知：
当（x，y）在可行域内取值时，当且仅当圆O过C点时，u最大，过（0，0）时，u最小。
又C（3，8），所以u最大值＝73，u最小值＝0。
跟踪训练4 变量x、y满足约束条件设z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的取值范围。
作出可行域如图阴影部分（含边界）所示。
由z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝（x＋3）2＋（y－2）2的几何意义是可行域上的点到点（－3，2）的距离的平方。
结合图形可知，可行域上的点到点（－3，2）的距离中，最小值是与直线AC相切时取得，最大值是与点B的距离，由解得B（5，2）。
所以dmin＝1－（－3）＝4，dmax＝＝8。
所以16≤z≤64。
例5 某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料。
生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：
现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨。
在此基础上生产甲、乙两种肥料。
已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；
生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元。
分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数。
（1）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（2）问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？
并求出此最大利润。
原料
肥料
A
C
甲
4
8
3
乙
5
10
（1）由已知，x，y满足的数学关系式为
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分。
（2）设利润为z万元，则目标函数为z＝2x＋3y。
考虑z＝2x＋3y，将它变形为y＝－x＋，它的图象是斜率为－，随z变化的一族平行直线，为直线在y轴上的截距，当取最大值时，z的值最大。
根据x，y满足的约束条件，由图②可知，当直线z＝2x＋3y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大。
解方程组
得点M的坐标为（20，24），
所以zmax＝2×
20＋3×
24＝112。
答：
生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元。
（四）课堂检测
1、若变量x，y满足约束条件则x＋2y的最大值是（ ）
A、－B、0C、D、
画出可行域如图阴影部分（含边界）。
设z＝x＋2y，即y＝－x＋z，平行移动直线y＝－x＋z，当直线y＝－x＋过点B时，z取最大值，所以（x＋2y）max＝。
2、在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界），目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（ ）
A、－3B、3C、－1D、1
－＝＝，∴a＝－3。
3、某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘。
根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（ ）
A、5种B、6种C、7种D、8种
设购买软件x片，磁盘y盒。
则画出线性约束条件表示的平面区域，如图阴影部分（含边界）所示。
落在阴影部分（含边界）区域的整点有（3，2），（3，3），（3，4），（4，2），（4，3），（5，2），（6，2）共7个整点。
即有7种选购方式。
4、已知点P（x，y）的坐标满足条件点O为坐标原点，那么|PO|的最小值等于________，最大值等于________。
点P（x，y）满足的可行域为△ABC区域，A（1，1），C（1，3）。
由图可得，|PO|最小值＝|AO|＝；
|PO|最大值＝|CO|＝。
（五）课堂总结
1、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）作图——画出约束条件（不等式组）所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l；
（3）平移——将直线l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；
（4）求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值。
2、作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解。
3、在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解（比如人数、车辆数等）应结合可行域与目标函数微调。
4、对于非线性目标函数，应准确翻译其几何意义，如x2＋y2是点（x，y）到点（0，0）的距离的平方，而非距离。
略。
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