Matlab求解微分方程组及偏微分方程组Word文件下载.docx
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求解器
ODE类型
特点
说明
ode45
非刚性
单步算法：
4、5阶Runge-Kutta方程；
累计截断误差
大部分场合的首选算法
ode23
2、3阶Runge-Kutta方程；
使用于精度较低的情形
ode113
多步法：
Adams算法；
高低精度可达
计算时间比ode45短
ode23t
适度刚性
采用梯形算法
适度刚性情形
ode15s
刚性
Gear’s反向数值微分；
精度中等
若ode45失效时，可尝试使用
ode23s
单步法：
2阶Rosebrock算法；
低精度
当精度较低时，计算时间比ode15s短
ode23tb
梯形算法；
ode23、ode45是极其常用的用来求解非刚性的标准形式的一阶微分方程（组）的初值问题的解的Matlab常用程序，其中：
ode23采用龙格-库塔2阶算法，用3阶公式作误差估计来调节步长，具有低等的精度.
ode45则采用龙格-库塔4阶算法，用5阶公式作误差估计来调节步长，具有中等的精度.
3．在matlab命令窗口、程序或函数中创建局部函数时，可用内联函数inline，inline函数形式相当于编写M函数文件，但不需编写M-文件就可以描述出某种数学关系.调用inline函数，只能由一个matlab表达式组成，并且只能返回一个变量，不允许[u,v]这种向量形式.因而，任何要求逻辑运算或乘法运算以求得最终结果的场合，都不能应用inline函数，inline函数的一般形式为：
FunctionName=inline（‘函数内容’,‘所有自变量列表’）
例如：
（求解F（x）=x^2*cos（a*x）-b,a,b是标量；
x是向量）在命令窗口输入:
Fofx=inline（‘x.^2*cos（a*x）-b’,‘x’,’a’,’b’）;
g=Fofx（[pi/3pi/3.5],4,1）
系统输出为：
g=-1.5483-1.7259
注意：
由于使用内联对象函数inline不需要另外建立m文件，所有使用比较方便，另外在使用ode45函数的时候，定义函数往往需要编辑一个m文件来单独定义，这样不便于管理文件，这里可以使用inline来定义函数.
二．实例介绍
1.几个可以直接用Matlab求微分方程精确解的实例
例1求解微分方程
程序：
symsxy;
y=dsolve（‘Dy+2*x*y=x*exp（-x^2）’,’x’）
例2求微分方程在初始条件下的特解并画出解函数的图形.
y=dsolve（‘x*Dy+y-exp
（1）=0’,’y
（1）=2*exp
（1）’,’x’）;
ezplot（y）
例3求解微分方程组在初始条件下的特解并画出解函数的图形.
symsxyt
[x,y]=dsolve（'
Dx+5*x+y=exp（t）'
'
Dy-x-3*y=0'
x（0）=1'
y（0）=0'
t'
）
simple（x）;
simple（y）
ezplot（x,y,[0,1.3]）;
axisauto
2.用ode23、ode45等求解非刚性标准形式的一阶微分方程（组）的初值问题的数值解（近似解）
例4求解微分方程初值问题的数值解，求解范围为区间[0,0.5].
fun=inline（'
-2*y+2*x^2+2*x'
x'
y'
）;
[x,y]=ode23（fun,[0,0.5],1）;
plot（x,y,'
o-'
例5求解微分方程的解，并画出解的图形.
分析：
这是一个二阶非线性方程，我们可以通过变换，将二阶方程化为一阶方程组求解.令，则
编写M-文件vdp.m
functionfy=vdp（t,x）
fy=[x
（2）;
7*（1-x
（1）^2）*x
（2）-x
（1）];
end
在Matlab命令窗口编写程序
y0=[1;
0]
[t,x]=ode45（@vdp,[0,40],y0）;
或[t,x]=ode45（'
vdp'
[0,40],y0）;
y=x（:
1）;
dy=x（:
2）;
plot（t,y,t,dy）
练习与思考：
M-文件vdp.m改写成inline函数程序？
3.用Euler折线法求解
Euler折线法求解的基本思想是将微分方程初值问题
化成一个代数（差分）方程，主要步骤是用差商替代微商，于是
记从而于是
例6用Euler折线法求解微分方程初值问题
的数值解（步长取0.4），求解范围为区间[0,2].
本问题的差分方程为
>
clear
f=sym（'
y+2*x/y^2'
a=0;
b=2;
h=0.4;
n=（b-a）/h+1;
x=0;
y=1;
szj=[x,y];
%数值解
fori=1:
n-1
y=y+h*subs（f,{'
},{x,y}）;
%subs，替换函数
x=x+h;
szj=[szj;
x,y];
end
szj
plot（szj（:
1）,szj（:
2））
替换函数subs例如：
输入subs（a+b,a,4）意思就是把a用4替换掉，返回4+b，也可以替换多个变量，例如：
subs（cos（a）+sin（b）,{a,b},[sym（'
alpha'
）,2]）分别用字符alpha替换a和2替换b，返回cos（alpha）+sin
（2）
特别说明：
本问题可进一步利用四阶Runge-Kutta法求解，Euler折线法实际上就是一阶Runge-Kutta法，Runge-Kutta法的迭代公式为
相应的Matlab程序为：
l1=subs（f,{'
替换函数
l2=subs（f,{'
},{x+h/2,y+l1*h/2}）;
l3=subs（f,{'
},{x+h/2,y+l2*h/2}）;
l4=subs（f,{'
},{x+h,y+l3*h}）;
y=y+h*（l1+2*l2+2*l3+l4）/6;
（1）ode45求解问题并比较差异.
（2）利用Matlab求微分方程的解.
（3）求解微分方程的特解.
（4）利用Matlab求微分方程初值问题的解.
提醒：
尽可能多的考虑解法
三．微分方程转换为一阶显式微分方程组
Matlab微分方程解算器只能求解标准形式的一阶显式微分方程（组）问题，因此在使用ODE解算器之前，我们需要做的第一步，也是最重要的一步就是借助状态变量将微分方程（组）化成Matlab可接受的标准形式.当然，如果ODEs由一个或多个高阶微分方程给出，则我们应先将它变换成一阶显式常微分方程组.下面我们以两个高阶微分方程组构成的ODEs为例介绍如何将它变换成一个一阶显式微分方程组.
Step1将微分方程的最高阶变量移到等式左边，其它移到右边，并按阶次从低到高排列.形式为：
Step2为每一阶微分式选择状态变量，最高阶除外
ODEs中所有是因变量的最高阶次之和就是需要的状态变量的个数，最高阶的微分式不需要给它状态变量.
Step3根据选用的状态变量，写出所有状态变量的一阶微分表达式
（1）求解微分方程组
其中
（2）求解隐式微分方程组
提示：
使用符号计算函数solve求，然后利用求解微分方程的方法
四．偏微分方程解法
Matlab提供了两种方法解决PDE问题，一是使用pdepe函数，它可以求解一般的PDEs,具有较大的通用性，但只支持命令形式调用；
二是使用PDE工具箱，可以求解特殊PDE问题，PDEtoll有较大的局限性，比如只能求解二阶PDE问题，并且不能解决片微分方程组，但是它提供了GUI界面，从复杂的编程中解脱出来，同时还可以通过File—>
SaveAs直接生成M代码.
1.一般偏微分方程（组）的求解
（1）Matlab提供的pdepe函数，可以直接求解一般偏微分方程（组），它的调用格式为：
sol=pdepe（m,@pdefun,@pdeic,@pdebc,x,t）
@pdefun是PDE的问题描述函数，它必须换成标准形式：
这样，PDE就可以编写入口函数：
[c,f,s]=pdefun（x,t,u,du），m,x,t对应于式中相关参数，du是u的一阶导数，由给定的输入变量可表示出c,f,s这三个函数.
@pdebc是PDE的边界条件描述函数，它必须化为形式：
于是边值条件可以编写函数描述为：
[pa,qa,pb,qb]=pdebc（x,t,u,du）,其中a表示下边界，b表示上边界.
@pdeic是PDE的初值条件，必须化为形式：
，故可以使用函数描述为：
u0=pdeic（x）
sol是一个三维数组，sol（:
:
i）表示的解，换句话说，对应x（i）和t（j）时的解为sol（i,j,k），通过sol，我们可以使用pdeval函数直接计算某个点的函数值.
（2）实例说明
求解偏微分
其中，且满足初始条件及边界条件
解：
（1）对照给出的偏微分方程和pdepe函数求解的标准形式，原方程改写为
可见
%目标PDE函数
funct
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